量子力學復習資料--華科期中考

1、目錄基本假說 . 2基本假設 . 2基本定義 . 3對易關系 . 4厄米算符 . 5一維諧振子 . 7共同本征函數(shù) . 7守恒量 . 9中心立場的徑向方程 . 9表象變換 . 11自旋 . 12微擾理論 . 13光 . 13定理-特征值與特征函數(shù) . 14-1-基本假說經(jīng)典物理學（其中兩個結論）：1. 能量永遠是連續(xù)的。2. 電磁波（包括光）是這樣產(chǎn)生的：帶電體做加速運動時，會向外射電磁波。如：回旋加速器中的軔致輻射。普朗克量子假說：輻射黑體中分子和原子的振動可視為線性諧振子，這些線性諧振子可以發(fā)射和吸收輻射能。這些諧振子只能處于某些分立的狀態(tài)，在這些狀態(tài)下，諧振子的能量不能取任意值，只能是某

2、一最小能量e的整數(shù)倍。對頻率為n的諧振子, 最小能量e為:e=h （e稱為能量子普朗克常數(shù)：h =6.6260755×10-34 J·s）玻爾的假設：(1913 “論原子分子結構” )1. 定態(tài)假設：原子系統(tǒng)只能處在一系列具有不連續(xù)能量的狀態(tài)，在這些狀態(tài)上電子雖然繞核做園周運動但并不向外輻射電磁波。這些狀態(tài)稱為原子系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)（簡稱定態(tài)）。這些定態(tài)的能量：E1,E2,L,En2. 躍遷假設：電子從一個能量為 的穩(wěn)定態(tài)躍遷到另一能量為 的穩(wěn)定態(tài)時，要吸收或發(fā)射一個頻率為 的光子，有：nkn=德布羅意假設：不僅光具有波粒二象性，一切實物粒子(如電子、原子、分子等)也都具有波粒

3、二象性; 具有確定動量p和確定能量E的實物粒子相當于頻率為和波長為l的波, 二者之間的關系如同光子和光波的關系一樣, 滿足de Broglie公式： En-Ekh 輻射頻率公式E=h p=h/l基本假設-2-量子力學基本假設之一：波函數(shù)y(r,t)表征了粒子所具有的波粒二象性，完全描述了微觀體系的狀態(tài)。量子力學基本假設之二：量子力學中，力學量用算符表示，若在經(jīng)典力學中有力學量F，r。力學量用厄米算符表示，表示力學量的則在量子力學中相應的力學量算符為F算符有組成完全系的本征函數(shù)。量子力學基本假設之三：描述體系狀態(tài)的波函數(shù)y(r,t)其時空演化行為滿足薛定諤方程。 v的本征函數(shù)F展開，其中：量子力

4、學基本假設之四：將體系的狀態(tài)波函數(shù)y用算符FnF=lF, FF=lFy=cF+cFdl則在體系y態(tài)中測量力學Fånnòllnnnlln量F得到結果為ln的概率為cn，得到結果l®l+dl范圍內的概率是2cldl。量子力學基本假設之五：在全同粒子所組成的體系中，兩全同粒子相互調換不改變體系的狀態(tài)。(全同性原理) 2基本定義絕對黑體：能完全吸收各種波長電磁波而無反射和透射的物體。熱輻射：任何物體在任何溫度下都在不斷地向外發(fā)射各種波長（頻率）的電磁波。不確定度關系是微觀粒子波粒二象性所帶來的必然結果。這是因為，對波動而言，不能提“空間某一點x的波長”。從而，對微觀粒子，

5、只要承認其具有波粒二象性，“微觀粒子在空間某一點x的動量”，這樣的提法也沒有意義。所以，對一個給定點x，動量只能是不確定的，這就是不確定度關系。不確定度（測不準）關系的嚴格證明：和B為厄米算符， 結論為：DA×DB³和px，有Dx×Dpx³h，"A對于x1A,B。 2-3-算符：作用在一個函數(shù)上得出另一個函數(shù)的運算符號，設某種運算把函數(shù)u變?yōu)関，表示u=v。 為：F利用能量算符，可以給出量子力學中的基本方程-薛定諤方程：¶h22vvvihy(r,t)=-Ñ+V(r,t)y(r,t) ¶t2m束縛態(tài)：通常把在無限遠處

6、為零的波函數(shù)所描寫的狀態(tài)稱為束縛態(tài)。一般來說，束縛態(tài)所屬的能級是分立的。態(tài)疊加原理： 一般情況下，粒子并不只是完全確定的處于其中的某一狀態(tài)，而是以某種概率處于其中的某一狀態(tài)。換句話說，粒子的狀態(tài)是所有這些分立狀態(tài)的疊加，即y(x)=åcynnn(x)。定態(tài)：由定態(tài)描述的粒子狀態(tài)，測量其能量時，得到確定值E。簡并：如果系統(tǒng)的能級是分立的，即E=En，若對同一個能級，有兩個及其以上的本征函數(shù)與其對應，則稱這個能級是簡并的。,A,A,×××)，它們擁有共同本征函數(shù)力學量完全集： 設有一組彼此對易的厄米算符(A123yk，若yk構成正交歸一完備集，使得任給體系的

7、一個量子態(tài)y，總有,A,A,×××)構成體系的一組力學量完全集。 y=åakyk，則稱(A123kZeeman效應 (1896) ：加入磁場后，體系的能級結構發(fā)生了變化，導致能級分裂。原來(B=0)的一條譜線，分裂成三條、五條、七條(B¹0)等。對易關系,B,BBy。 和y，Ay-BA對易式："AyºA坐標動量對易關系：-4-x,px=ih y,py=ih z,pz=iha,pb=ihdab=ìíih,a=bî0,a¹b a,b=x,y,z角動量的對易式：lx,x=0,lx,y=ihz

8、,lx,z=-ihy,ly,x=-ihz,ly,y=0,ly,z=ihx,lz,x=ihy,lz,y=-ihx,ly,z=0,lx,px=0,lx,py=ihpz,lx,pz=-ihpy,ly,px=-ihpz,ly,py=0,ly,pz=ihpx,lz,px=ihpy,lz,py=-ihpx,ly,pz=0,l2,lx=0, l2,ly=0, l2,lz=0對易恒等式：A,B=-B,A A,B+C=A,B+A,CA,BC=A,BC+BA,C AB,C=AB,C+A,CBA,B+C+B,C,A+C,A,B=0厄米算符定理：體系的任何狀態(tài)下，厄米算符的平均值為實數(shù)。逆定理：在任何狀態(tài)下平均值均為

9、實的算符必為厄米算符。 推論：厄米算符平方的平均值大于等于零。定理1：厄米算符的本征值必為實數(shù)。-5-定理2：厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)，彼此正交。¶¶2lx=-ihsinf+cotqcosf¶q¶f¶¶2ly=-ih-cosf+cotqsinf¶q¶f¶2lz=-ih¶f21¶¶1¶=-hL(sinq)+ sinq¶q¶qsin2q¶f222角動量z分量的本征值與本征函數(shù)：lz=mh, m=0,±1,±2&

10、#215;××是量子化的； 相應的本征函數(shù)：ym(j)=連續(xù)譜本征函數(shù)：設本征值與本征函數(shù)為px和y，本征方程為：-ih12peimj, m=0,±1,±2×××； ¶y=pxy®Cexp(ipxx/h)¶x若xÎ(-¥,+¥)，則pxÎ(-¥,+¥)，為連續(xù)變化：所以稱ypx為連續(xù)譜本征函數(shù)-不能用一般的方式進行歸一化； 222ph¶z=-一維自由粒子的哈密頓量算符為：H，能量本征方程為：2m2m¶x2h2

11、2;2±ikx22-y=Ey，解為：y(x)=Ce,E=hk/2m³0,k=2mE/h³0。 E22m¶xyE(x)=Ce±ikx也是連續(xù)譜本征函數(shù)，不能用一般的方式進行歸一化。-6-一維諧振子簡諧運動： 體系在平衡位置附近的微小振動； 一維諧振子：粒子一維情況下的簡諧運動，同時粒子的勢能可以表示為V(x)=Kx2； d22m1一維諧振子的能量本征方程：2y(x)-2(m2w2x2-E)y(x)=0 dxh2能量本征值:En=(n+1/2)hw本征函數(shù):y(x)=Ane-a2x2/2Hn(ax) a=mwh n厄密多項式Hn(x)=(-1)e1

12、2x2dn-x2e,n=0,1,2,×××. ndxAn=a/(2n!)滿足如下性質： 1nxyk=(k/2k-1+(k+1)/2k+1)/adyk=a(k/2yk-1-(k+1)/2yk+1) dx共同本征函數(shù)y=Ay,By=By， 共同本征函數(shù)：設AAABB的本征函數(shù)； 的本征函數(shù)y不能是A,B¹0，則yA不能是B若AB1注：雖然這兩個公式平時也沒怎么用到，但是在2012年春季光信量子力學期中考試的最后一題就用到了-7-和B,By=Ay,B=0，則可能存在y，使得：Ay=By稱y 為算符A若A的共同本征函數(shù)；r=(px,py,pz)的共同本征函數(shù)：

13、動量pvvvi(px+py+pz)/hip×r/h擁有共同本征態(tài)，即平面波：y(r)=e=exyz； rpvr坐標=(x,y,z)的共同本征函數(shù)：擁有共同本征態(tài)：yxyz(r)=d(r-r0)ºd(x-x0)d(y-y0)d(z-z0)000vvvl2和lz的共同本征函數(shù)： h2¶¶12¶2(sinq)+lz ,l=-球坐標下：lz=-ih2sinq¶q¶q¶jsinq共同本征函數(shù)為滿足關系： Ylm(q,j)=(-1)m2l+1(l-m)!mPl(cosq)eimj，稱為球諧函數(shù)，4p(l+m)!ì&#

14、239;l2Ylm=l(l+1)h2Ylmm=l,l-1,×××,-l+1,-l, í l=0,1,2,×××ïîlzYlm=mhYlml 軌道角動量量子數(shù) m 磁量子數(shù)2,l)表象中，lz,lx,ly和l2的表示2： 在(lzæ010ö÷hçX=ç101÷2ç÷è010øæ100öç÷Z=hç000÷ç00-1÷è&

15、#248; æ0-i0ö÷hçY=çi0-i÷2ç0÷è0iø æ100öç÷2L=2hç010÷ç001÷èø2以下的四個表示式和后面泡利算符的表達式最好都記住，考試的時候有些計算會用到，尤其是泡利算符的表示式和相互關系；-8-守恒量 d1¶A力學量平均值的時間依賴特性：(t)=A,H+； dtih¶t不顯含t，即¶t=0，有若A,H=0®若Ad1(t)=

16、A,H。 dtihd對應的力學量為體系的一個守恒量。 (t)=0，稱此時Adt中心立場的徑向方程即F和G,H¹0,H=0,G=0，但F,G定理：設體系有兩個彼此不對易的守恒量F則體系能級是簡并的。 e2氫原子中，電子的勢能函數(shù)：V(r)=-； re2a0e2-l2,0<l£1,a0為Bohr半徑。 堿金屬原子中，電子的勢能函數(shù)：V(r)=-rr它們都是球對稱的，稱之為中心力場。 h2¶2¶l2能量本征方程寫為：-r+V(r)y=Ey 222mr¶r¶r2mr2,l)的共同本征函數(shù)； ,ly(r,q,j)=Rl(r)Ylm(q,j

17、)是(Hz關于Rl(r)的徑向方程：Rl¢¢(r)+22ml(l+1)Rl¢(r)+2(E-V(r)-Rl(r)=0 rhr22ml(l+1)(E-V(r)-cl(r)=0 22hr-9-令cl(r)=rRl(r)，有：cl¢¢(r)+Rl(r)稱為徑向波函數(shù)，取決于V(r)的形式。ì0, r<a無限深球方勢阱：V(r)=í ¥, r>aîs態(tài)情況，得到： p2h2(nr+1)2能量本征值E=En=, nr=0,1,2××× 2ma2r徑向波函數(shù)：c0nr(r)=

18、(n+1)p2sinrr aa其中：能量是量子數(shù)的顯函數(shù)。 非s態(tài)情況（l>0的情況）Rnrl(r)=Cnrljnrl(knrlr), knrl=znrl/aE=Enr,l能級（2l+1）度簡并 h2=zn2r,lnr=0,1,2××××, 22ma氫原子2me2l(l+1)cl¢¢(r)+2(E+)-2cl(r)=0hrr其中m為電子的約化質量，令h=m=e=1cl¢¢(r)+2E+2l(l+1)-cl(r)=0 2rre21,n=1,2××× 得能量本征值：E=En=-22=

19、-2an22hn主量子數(shù)：n=nr+l+1，角量子數(shù)：l=0,1,2×××波函數(shù)：ynlm(r,q,j)=Rnl(r)Ylm(q,j) me41a=h2/me2 Bohr半徑-10-磁量子數(shù)：m=l,l-1,×××,-l+1,-l氫原子能級是n2度簡并 能級不簡并表象變換在自己的表象中，算符的矩陣式對角化的，對角線上的矩陣元與本征值相對應。 狄拉克符號的定義與內積：y：右矢，代表量子態(tài)y；：左矢，代表量子態(tài)y的共軛態(tài)y*；b是內積；a大于等于0，成為模方；ba是外積；內積：(y,y)=òdty*yºy；y=1

20、74;y是歸一化態(tài)矢y=0®y和f是正交的 本征態(tài)的正交歸一：kj=dkj的作用是將y在k方向上的分量挑選出來。 =kk稱為投影算符，åkk=IPPkkk態(tài)矢y在F表象中用ak=ky表示態(tài)矢y在F¢表象中用a¢b=by表示。 算符向左作用3：vvvv1. 角動量算符l=lxex+lyey+lzez，證明：在lz的任何一個本征態(tài)下，lx和ly的本征值為零；2,l) 的共同本征態(tài)，證明l和ly的平均值都為l(l+1)-m2h2/2； 2. lm為(lzx223兩個結論的推導應當要比較熟練，證明題有時候就是跟證明差不多的題目；-11-|l,m>=hl(l

21、1)m(m1)|l,m±1> 附4：L±自旋電子自旋假設：（荷蘭物理系學生Uhlenbeck和Goldsmith與1925年提出）：=±1. 電子具有自旋，形成自旋角動量，在任何方向上的投影只有兩個數(shù)值：Szh； 2的關系是M=-與S2. 自旋形成自旋磁矩MsseS； mc在空間任何方向上的投影只能取兩個值，如z方向，基于假設1，M/s=±e×h=±m，其中m為Bohr磁子。 MszBBmc2在電子自旋假設的基礎上發(fā)展起來的量子理論，不僅可以解釋史特恩蓋拉赫實驗，而且可以解釋堿金屬原子光譜的雙線結構和反常塞曼效應等，終為人們所接

22、受。它揭示出電子具有自旋這種內稟屬性，是一種量子效應，沒有經(jīng)典對應。就是說，電子的自旋是量子概念，不能同宏觀粒子的自旋機械運動簡單對應。SSxy-SySx=ihSzSSyz-SzSy=ihSxS-SS=ihSSzxxzyxsy-sysx=2iszsysz-szsy=2isx®szsx-sxsz=2isysxsy=-sysx=iszìsïysz=-szsy=isx 又ísïxsz=isyîszsx=-s01öhæ0-iöhæ10ö=hæç÷ç

23、47;÷S，S=,Sz=çxyç÷ç÷ç2è10ø2èi0ø2è0-1÷ø常用公式：zsinl eilsz=cosl+is4該公式證明的時候可能會用到；-12-微擾理論絕熱微擾：當外界的圍繞十分緩慢地作用到系統(tǒng)上時，不會改變系統(tǒng)的狀態(tài)，這樣的微擾叫做絕熱微擾；突發(fā)微擾：當外界的微擾十分突然地作用到系統(tǒng)上時，也不會改變系統(tǒng)的狀態(tài)，這樣的微擾叫突發(fā)微擾； 二級近似下：Ek=E(0)kq2S21q2S2； -=(k+)hw-22mw22mw2æk+1(

24、0)k(0)öç； +k+1-k-1÷ç÷22whmwèøqS一級近似下，yk=y(0)k電偶極矩：D=2q=2q2Smw2； 電極化率：k=DS=2q2mw2；躍遷選擇定則：在外電場的作用下，只允許Dn=1的躍遷發(fā)生，這成為躍遷的選擇定則； 禁戒躍遷：在外電場的作用下，諧振子從基態(tài)|0>不能躍遷到激發(fā)態(tài)|n>，其中n>1，稱這樣的躍遷為禁戒躍遷； 能量和時間不確定度：DEDt³h； 2能級寬度DEk，譜線寬度Dn=(DEk+DEk-1)/h；光-13-半經(jīng)典理論：如果對光的吸收、受激輻射和自發(fā)輻

25、射的理論處理采用這樣的辦法：將光波看做電磁波（而不是看做光子群），用電動力學（而不是量子力學）來描述，對原子系統(tǒng)采用量子力學來描述，這樣的理論習慣上被稱為半經(jīng)典理論。光的吸收：實驗表明，在光的照射下，原子中的電子能吸收光子，從低能級躍遷到高能級，這叫光的吸收。光的受激輻射：在光的激發(fā)下，原子中的電子能從高能級躍遷到低能級，并釋放一個光子，這叫光的受激輻射。光的自發(fā)輻射：在沒有外界因素的作用下，原子鐘的電子能自動地從高能級躍遷到低能級，并釋放一個光子，這叫光的自發(fā)輻射。定理-特征值與特征函數(shù)定理1：設y(x)是能量本征方程的一個解，其對應的能量本征值為E ，則y*(x)也是能量本征方程的一個解，其對應的能量本征值為E ；推論： 對應于能量的某個本征值E，若對應的能量本征方程的解y(x)不簡并，則這個解可取為實函數(shù)。定理2：設y(x)是能量本征方程的一個解，對應于能量的某個本征值E，總