高數(shù)下冊積分重點(diǎn)

1、微積分下冊常見六種積分考試重點(diǎn)二重積分、三重積分第一型曲線積分、曲面積分第二型曲線積分、曲面積分二重積分/累次積分1） 在有界閉區(qū)域D上進(jìn)行積分的積分符號；D Oxy平面上的有界閉區(qū)域，積分區(qū)域；f(x,y) 被積函數(shù)（其在D上連續(xù)才可積），比如可以是區(qū)域D的密度大小，也可以表示底面是D的曲頂柱體的高。2）d Oxy平面上微小區(qū)域面積，面積元素（d 微分； D中微小區(qū)域，微小曲頂柱體的底面積）。3）微小面質(zhì)量=微小面密度×微小面積；微小曲頂柱體面積=微小曲頂柱體高×微小曲頂柱體底面長度；f(x,y)d 微小面質(zhì)量或者微小面積，被積表達(dá)式。4） 曲面D的質(zhì)量，曲頂柱體面積。此

2、處應(yīng)注意：f(x,y)>0時(shí)，二重積分積分的現(xiàn)實(shí)意義才成立。5）6）二重積分的計(jì)算：化二重積分為二次積分三重積分1）在有界閉區(qū)域上進(jìn)行積分的積分符號； Oxyz空間中的有界閉區(qū)域，積分區(qū)域，代表一幾何體；f(x,y,z) 被積函數(shù)（其在上連續(xù)才可積），可以是區(qū)域的密度大小。2）dV Oxyz空間中微小區(qū)域體積，體積元素（d 微分，V 中的微小幾何體）。3）微小體質(zhì)量=微小體密度×微小體積；f(x,y,z)dV 微小體質(zhì)量，被積表達(dá)式。4） 幾何體的質(zhì)量。此處應(yīng)注意：f(x,y,z)>0時(shí)，三重積分積分的現(xiàn)實(shí) 意義才成立。5）6）三重積分的計(jì)算：化三重積分為三次積分第一型曲

3、線積分第一型曲線積分又叫作對弧長的曲線積分，或數(shù)量值函數(shù)的曲線積分1）在線段L上進(jìn)行積分的積分符號；L 當(dāng)被積函數(shù)是二元函數(shù)時(shí)，其是Oxy平面上一條光滑曲線，當(dāng)被積函數(shù)是三元函數(shù)時(shí)，其是Oxyz空間中一條光滑曲線；f(x,y,z) 被積函數(shù)，一函數(shù)值，比如可以是線L的密度大小，也可以表示底邊是L的曲邊梯形的高。2）ds 微小弧長（d 微分；s 微小線段，微小曲邊梯形的底邊長度）。3）微小線質(zhì)量=微小線密度×微小線長度；微小曲邊梯形面積=微小曲邊梯形高×微小曲邊梯 形底邊長度；f(x,y,z)ds 微小線質(zhì)量或者微小曲邊梯形面積，被積表達(dá)式。4） 線質(zhì)量，曲邊梯形面積。此處應(yīng)

4、注意：f(x,y,z)>0時(shí)，第一型曲線積分的現(xiàn)實(shí)意義才成立。5）6）第一型曲線積分計(jì)算公式第一型曲面積分第一型曲面積分又叫作對面積的曲面積分，或數(shù)量值函數(shù)的曲面積分1)在有界光滑曲面上進(jìn)行積分的積分符號；一空間有界光滑曲面；f(x,y,z) 被積函數(shù)，一函數(shù)值，比如可以是曲面的密度大小，也可以表示底面是的曲面體的高（有限制）。2）dS微小曲面面積（d 微分；S微小曲面）。3）微小曲面面質(zhì)量=微小面密度×微小面積；微小曲面體面積=微小曲面體高×微小曲面體底面長度；f(x,y,z)ds 微小體質(zhì)量或者微小曲面體體積（有限制），被積表達(dá)式。4） 面質(zhì)量，曲面體體積（有限制

5、）。此處應(yīng)注意：f(x,y,z)>0時(shí)，第一型曲線積分的現(xiàn)實(shí)意義才成立，即使如此，其現(xiàn)實(shí)意義亦不明顯。5）6）第一型曲面積分計(jì)算公式 若計(jì)算中須帶入線方程，帶入的方程應(yīng)按上線方程的前四種形式之一帶入，若計(jì)算中須帶入面方程，帶入的方程應(yīng)按上面方程的后三種種形式之一帶入，至于帶哪一種形式，須看哪一種形式利于解題。比如，若線方程可以化為圓的形式，則常常采用圓的參數(shù)形式帶入。再如，平面A截柱面B得的面，其方程不是二者聯(lián)立解得的方程，因?yàn)槠湎嘟坏牟糠质蔷€而不是面，解得的方程是交線的方程；顯然B的方程不能作為截得的面的方程，因?yàn)槎吖膊糠质且粭l線，而A包含截得的面，因而截得的面的方程可以用A的方程

6、表示。注：二重積分與第一型曲面積分只是在積分區(qū)域上有差別。二重積分，積分區(qū)域在Oxy面上，而第一型曲面積分積分區(qū)域在Oxyz空間中。第二型曲線積分第二型曲線積分又叫作對坐標(biāo)的曲線積分，或向量值函數(shù)的曲線積分1）在有向線段上進(jìn)行積分的積分符號； 當(dāng)被積函數(shù)是二元函數(shù)時(shí)，其是Oxy平面上一條有向光滑曲線，當(dāng)被積函數(shù)是三元函數(shù)時(shí)，其是Oxyz空間中一條有向光滑曲線；P(x,y,z)、Q(x,y,z) 、R(x,y,z) 被積函數(shù)，力的三個(gè)分向值。2）微小功=力×微小線長度()；P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy +R(x,y,z)dz 微小功。3） 力在有向線段上做的功。4）兩種曲

7、線積分的關(guān)系5）第二型曲線積分計(jì)算公式第二型曲面積分第二型曲面積分又叫作對坐標(biāo)的曲面積分，或向量值函數(shù)的曲面積分1)在取定了側(cè)的有界光滑曲面上進(jìn)行積分的積分符號； 取定了側(cè)的空間有界光滑曲面；P(x,y,z)、Q(x,y,z) 、R(x,y,z) 被積函數(shù)，場強(qiáng)的三個(gè)分向值。2）微小通量=場強(qiáng)×微小面積()；P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx +R(x,y,z)dxdy 微小通量。3） 場在取定了側(cè)的上的通量。4)兩種曲面積分的關(guān)系5） 第二型曲線積分計(jì)算公式Green公式設(shè)平面閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，如果函數(shù)證明：公式左端直接展開按二重積分計(jì)算可化為右端的計(jì)

8、算式，過程略。應(yīng)用：在Green公式中，令P=-y，Q=x得平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件設(shè)G是平面上的單連通域，如果，則下面四個(gè)條件等價(jià)：（1） 沿D內(nèi)的任意一條光滑的閉曲線L，有（2） 曲線積分在D內(nèi)與路徑無關(guān)(此處L在D內(nèi)任取，無須閉合)（3） 是D內(nèi)某個(gè)二元函數(shù)u(x,y)的全微分，即在D內(nèi)有（4） 在D內(nèi)每點(diǎn)處成立證明：采用循環(huán)證法，過程略。注意：設(shè)G是平面上的單連通域，這兩個(gè)條件是極為關(guān)鍵的。單連通域：平面區(qū)域內(nèi)任意一條閉曲線所圍成的部分都屬于該區(qū)域復(fù)連通域：平面區(qū)域內(nèi)存在至少一條閉曲線所圍成的部分不屬于該區(qū)域正向：沿閉曲線給定方向走，其所圍區(qū)域在左手側(cè)負(fù)向：沿閉曲線給定方向走，其所圍區(qū)域在右手側(cè)Gauss公式設(shè)平面閉區(qū)域由分段光滑的曲面圍成，如果函Stokes公式設(shè)為分段光滑的空間有向閉曲線，是以為邊界的分段光滑的有界曲面，的正向與的側(cè)向符合右手規(guī)則，函數(shù)P