非齊次線性方程組

1、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)的進(jìn)一步討論 摘要：本文通過(guò)矩陣的初等變換及非齊次線性方程組的解的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)一步討論了非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，雖然非齊次線性方程組的解向量的全體不能構(gòu)成向量空間，也沒(méi)有基礎(chǔ)解系，但我們找到了類似齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的解向量組，這個(gè)解向量組線性無(wú)關(guān)。并且的任意一個(gè)解都可以由這個(gè)解向量組線性表示。最后，給出了非齊次線性方程組有全非零解的充要條件，并給出了相應(yīng)例題。 關(guān)鍵字：非零解，基礎(chǔ)解系，線性無(wú)關(guān)，初等變換引言 非其次線性方程組 （）的矩陣形式為.取,得到其次線性方程組稱為非其次線性方程組的導(dǎo)出組。我們知道非其次線性方程組的解有以下的一些性質(zhì)：（1） 若是非其

2、次線性方程組的一個(gè)解，是其導(dǎo)出組的一個(gè)解，則也是的一個(gè)解。證明：因?yàn)槭欠瞧浯尉€性方程組的一個(gè)解，所以有，同理有，則由.所以是非其次線性方程組的解。（2） 若是非其次線性方程組的兩個(gè)解，則是其導(dǎo)出組的解證明：由,所以有,故為其導(dǎo)出組的解。2.定理 （非其次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理）若是非其次線性方程組的一個(gè)解，是其導(dǎo)出組的通解，則是非其次線性方程組的通解。證明：由性質(zhì)（1）可知加上其導(dǎo)出組的一個(gè)解仍是非其次線性方程組的一個(gè)解，所以只需證明，非其次線性方程組的任意一個(gè)解，一定是與其導(dǎo)出組某一個(gè)解的和，取由性質(zhì)（2）可知，是導(dǎo)出組的一個(gè)解，于是得到，即非其次線性方程組的任意一個(gè)解與其導(dǎo)出組的某一個(gè)解的

3、和。由上面這個(gè)定理我們可以知道，一個(gè)其次線性方程組的解的全體可以用基礎(chǔ)解系來(lái)表示。因此，根據(jù)定理我們可以用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系來(lái)表示出一般方程組的一般解，如果是方程組（）的一個(gè)特解，是其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，那么（）的任一個(gè)解都可以表示成：3.由上面2的證明過(guò)程，我們可以知道其次線性方程組的全部解可由基礎(chǔ)解系線性表示出（其基礎(chǔ)解系含有個(gè)解向量），即為任意實(shí)數(shù)。那么，當(dāng)非其次線性方程組有解時(shí)，則至多有多少個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量？的全部解又如何表示？ 定理若其次線性方程組的基礎(chǔ)解系為，當(dāng)非其次線性方程組有解時(shí)，則它至多且一定有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，的通解可以表示為為滿足關(guān)系式，的任意實(shí)數(shù)。證明：（）若是非其

4、次線性方程組的解，則為非零解向量，那么向量組，線性無(wú)關(guān)（否則可由線性表示，與是的解矛盾）。那么，易證都是的解，并且線性無(wú)關(guān)。這說(shuō)明至少有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量。 下面再證至多有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量。反證：若有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，那么易證均為的解，并且線性無(wú)關(guān)。這樣具有線性無(wú)關(guān)的解向量矛盾，所以，至多且一定有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量。（）對(duì)于的任意一個(gè)解，一定可以表示成它的一個(gè)特解與其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系的線性組合，即為任意常數(shù)那么（為任意實(shí)數(shù)，且組合系數(shù)之和等于1.這說(shuō)明，的任意解都可以表示成這樣的形式。另一方面，由于都是的解，對(duì)于，只要滿足仍然是的解，所以，的通解可以表示成，且為滿足關(guān)系式，的任意實(shí)數(shù)。例2

5、設(shè)是線性方程組的一個(gè)解，是它導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，令。證明：線性方程組的任一一個(gè)解，其中。證明：由題可設(shè)方程組的任一解可以表示成（為常數(shù)）令，則（1） 引理：設(shè)為矩陣，用初等行變換，把化為階梯形矩陣，并使該梯形矩陣的每一個(gè)非零行的第一個(gè)非零元素（從左算起）為1，且該元素所在列的其他元素為零，這樣的階梯形矩陣的為的行簡(jiǎn)化階梯形矩陣。定理：非齊次線性方程組存在全非零解的充要條件是，它的增廣矩陣的秩與系數(shù)矩陣的秩相等，且的行簡(jiǎn)化階梯型矩陣中每個(gè)非零行的非零元素個(gè)數(shù)大于或等于2.證明：必要性 方程組有全非零解，則必須滿足方程組的條件，因而，.不妨設(shè)其秩為且的簡(jiǎn)化階梯矩陣為： （2）且其對(duì)應(yīng)的方程組為若

6、對(duì)某個(gè) 有則，這和方程組（2）有全非零全部解矛盾，故對(duì)每個(gè)（），至少存在一個(gè)（）使或，即（2）中第（）行至少有兩個(gè)非零元素。 充分性：設(shè)N是充分大的正數(shù)，令，將其帶入（2）得：（），當(dāng)（），時(shí)，顯然成立；當(dāng)上式右端至少存在一個(gè)非零系數(shù)，設(shè)第一個(gè)非零系數(shù)為，則因?yàn)樗?，故存在充分大的正?shù)，使（）；取，可使（） 這樣，就得到方程組的一個(gè)全非零解例1方程組 有全非零解的充要條件？解:其增廣矩陣的簡(jiǎn)化階梯形矩陣為 故由上述定理可知，該方程組有全非零解的充要條件是為任意實(shí)數(shù)。例2已知非齊次線性方程組有三個(gè)線性五官的解，（）證明方程組系數(shù)矩陣的秩,()求的值及方程組的通解。解：（）設(shè)是非齊次線性方程組的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則是導(dǎo)出