[高一數(shù)學]高一人教A版數(shù)學課件：113集合的基本運算第2課時補集及綜合應用

1、11.3集合的基本運算集合的基本運算(第第2課時補集及綜合應用課時補集及綜合應用)1并集、交集的定義ABx|xA或xB；ABx|xA且xB2并集、交集的運算性質(zhì)AB ，AB ；A ，A ；ABB ，ABB .BABAAABBA自然自然語言語言對于一個集合對于一個集合A，由全集，由全集U中中 的所有的所有元素組成的集合稱為集合元素組成的集合稱為集合A相對于全集相對于全集U的補的補集，記作集，記作 UA符號符號語言語言 UA _圖形圖形語言語言1全集如果一個集合含有我們 ，那么就稱這個集合為全集，通常記作 .2補集研究問題涉及的所有元素研究問題涉及的所有元素U不屬于不屬于Ax|xU且且x A1全集

2、一定包含任何一個元素嗎？【提示】全集僅包含我們研究問題所涉及的全部元素，而非任何元素2AC與BC相等嗎？【提示】不一定若AB，則ACBC，否則不相等已知全集U、集合A1,3,5,7,9，UA2,4,6,8，UB1,4,6,8,9，求集合B.【思路點撥】由題目可獲取以下主要信息：A與UA已知；B的補集已知解答本題可由A及UA求出全集U，再由補集定義求出集合B，或利用Venn圖求出集合B.【解析解析】借助Venn圖，如右圖所示，得U=1,2,3,4,5,6,7,8,9， UB=1,4,6,8,9，B=2,3,5,7(1)根據(jù)補集定義，借助Venn圖，可直觀地求出全集，此類問題，當集合中元素個數(shù)較少

3、時，可借助Venn圖；當集合中元素無限時，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解(2)補集的幾個性質(zhì)：UU，UU，AUAU，解題時要注意使用1.設(shè)全集U1,3,5,7，集合M1，|a5|，MU，UM5,7，則a的值為()A2或8B8或2C2或8 D2或8【解析解析】由UM5,7，得M1,3，所以|a5|3，即a2或a8.故選D.【答案答案】D已知全集Ux|x5，集合Ax|2x2，Bx|3x3求UA，AB，U(AB)，(UA)B.【思路點撥】由題目可獲取以下主要信息：全集U，集合A、B均為無限集；所求問題為集合間交、并、補運算解答此題可借助數(shù)軸求解【解析解析】把全集U和集合A，B在數(shù)軸上表示如下：由圖可

4、知， UA=x|x-2或2x5，AB=x|-2x2， U(AB)=x|x-2或2x4，( UA)B=x|-3x-2或2x3求解與不等式表示的數(shù)集間的集合運算時，一般要借助于數(shù)軸求解，此法的特點是簡單直觀，同時要注意各個端點的畫法及取到與否2.本例中，若將條件“Ax|2x2”改為“Ax|4x2”，求UA，AB，U(AB)，(UA)B.【解析解析】把全集U和A、B集合在數(shù)軸上表示如下：由圖可知 UA=x|x-4或2x5AB=x|-3x2 U(AB)=x|x-4或2x5( UA)B=x|2x3已知集合Ax|xa，Bx|1x2，且A(RB)R.則實數(shù)a的取值范圍是()Aa2 Ba1Ca2 Da2【思路

5、點撥】由題目可獲取以下主要信息：集合A不確定，集合B確定；A(RB)R.解答本題可結(jié)合數(shù)軸求解【解析解析】Bx|1x2，RBx|x1或x2由A(RB)R，如下圖所示可知a2，故選C.【答案】C對于數(shù)集運算，可借助數(shù)軸，根據(jù)集合間的關(guān)系求解，具體操作時，要注意端點值的“取”與“不取”3.(1)本例中，若將條件“A(RB)R”改為“ARB”，則a的范圍又是什么？(2)本例若變?yōu)椤耙阎螦x|2a2xa，Bx|1x2，且ARB”，則a的取值范圍是什么？【解析解析】(1)RBx|x1或x2，若ARB，則a1(如圖所示)(2) RB=x|x1或x2，A RB，分A=和A兩種情況討論，若A=，A RB，

6、此時有2a-2a，a2.若A，則有 或 ，a1或a，綜上所述，a1或a2.1全集與補集概念的理解全集與補集概念的理解(1)補集既是集合之間的一種關(guān)系，同時也是集合之間的一種運算求集合A的補集的前提是A是全集U的子集，隨著所選全集的不同，得到的補集也是不同的，因此，它們是互相依存、不可分割的兩個概念(2)若xU，則xA和xUA二者必居其一，不僅如此，結(jié)合Venn圖及全集與補集的概念，不難得到如下性質(zhì)：A(UA)U，A(UA)，U(UA)A.2交集、并集、補集的關(guān)系(1)U(AB)(UA)(UB)(如下圖所示)(2) U(AB)=( UA)( UB)(如下圖所示如下圖所示)設(shè)全集U2,3，a22a

7、3，A|2a1|,2，UA5，求實數(shù)a的值【錯解錯解】因為UA5，所以5U且5 A，所以a22a35，且|2a1|5，解得a2或a4，即實數(shù)a的值是2或4.【錯因錯因】本題解答錯誤在于忽略了集合A的元素|2a1|是由a確立的，事實上，當a2時，|2a1|3，A2,3，符合題意，而當a4時，A9,2，不是U的子集【正解正解】因為UA5，則5U且5 A，且|2a1|3.解得：a2，即a的取值是2.也可以采用錯解中的步驟，最后加上錯因分析中的驗證一步集合的基本運算(二)1一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為_，通常記作_.全集U2對于一個集合 A，由全集 U

8、中不屬于集合_的所有元素的集合稱為集合 A 相對于_的補集，簡稱為集合 A 的補集，記作_，即UAx|xU，且 x_AA全集UU A4已知全集 U1,2,3,4,5,6,7，A2,4,5，B1,3,5,7，則 AUB_；(UA)(UB)_2,465已知全集 UR，集合 Ax|12x99，則UA_x|x4 或 x0解析：Ax|12x99x|4x0，UAx|x-4 或x03補集與全集的性質(zhì)：(1)UU_；(2)U _；(3)U(UA)_；A(4)AUA_；(5)AUA_.U U重點如何求子集 A 在全集 U 中的補集從全集 U 中去掉所有屬于 A 的元素，剩下的元素組成的集合即為 A 在 U 中的

9、補集另外，原題若是無限集，在實數(shù)范圍內(nèi)求補集，我們則可以充分利用數(shù)軸的直觀性來求解難點對全集和補集的理解(1)全集是一個相對概念，它含有與所研究問題有關(guān)的各個集合的全部元素，因此全集因研究問題而異；(3)UA 表示 U 為全集時 A 的補集，如果全集換成其他集合(如 R)時，則記號中“U”也必須換成相應的集合(即RA)補集符號UA 有三層含義：A 是 U 的一個子集，即 AU；UA 表示一個集合，且UAU；UA 是由U 中所有不屬于 A 的元素組成的集合理解集合的補集定義例 1：設(shè) U2,3，a22a3，A2，b，UA5，求實數(shù) a 和 b 的值思維突破：由題中UA55U 且5 A,3U 但3

10、 UA3A.解：由題意，可得方程組 b3 a22a35 ， 將式變形為 a22a80，解得 a4 或 2. 11.設(shè)U0,1,2,3，AxU|x2mx0，若UA1,2求實數(shù) m.解：UA1,2，A0,3，代入方程 x2mx0.m-3.12.設(shè)全集U3,6,m2m1，A|32m|,6，UA5，求實數(shù)m的值集合的混合運算例 2：設(shè) AxZ|x|6，B1,2,3，C3,4,5求：(1)A(BC)；(2)AA(BC)思維突破：集合的交、并、補運算是同級運算，因此在進行集合的混合運算時，有括號的先算括號內(nèi)的，然后按照從左到右的順序進行計算進行集合運算首先要弄清楚各集合是由什么元素構(gòu)成的，然后再根據(jù)交集、

11、并集、補集的概念進行計算21.設(shè)全集 UxN*|x6，集合 A1,3，B3,5，)C則 U(AB)(A1,4C2,4B1,5D2,522.設(shè)集合 A4,5,6,7,9，B3,4,7,8,9，全集 UAB，則集合U(AB)中的元素共有( )A3 個C5 個B4 個D6 個B23.如圖 1，U 是全集，M、P、S 是 U 的 3 個子集，則陰影部分所表示的集合是( )圖 1A(MP)SC(MP)USB(MP)SD(MP)US解析：圖中陰影表示 M、P 的交集與 S 關(guān)于 U 的補集的交集的集合，故選 C.C數(shù)形結(jié)合法求集合的運算1數(shù)軸法例 3：已知全集 UR，Ax|4x2，Bx|1x3，解：將集合

12、 A、B、P 表示在數(shù)軸上，如圖 2.Ax|4x2，Bx|12m-1，即，即m2， 此時總有此時總有AB=A=A成立成立.（2）若）若B，則，則 解得解得2m3. 綜合綜合(1)(2)知知,m的取值范圍是的取值范圍是m|m2m|2m3=m|m3. 51212121mmmm【評析】由【評析】由AB=A可得可得BA,而而BA包括兩種情況，包括兩種情況，即即B=和和B.本題常犯的錯誤是把本題常犯的錯誤是把B=漏掉而只討論漏掉而只討論B這一種情況這一種情況.設(shè)集合設(shè)集合A=a2, a+1,-3,B=a-3,2a-1,a2+1,AB=-3,求實數(shù)求實數(shù)a的值的值.解：解：AB=-3,-3B.a-3= -

13、3或或2a-1= -3,a=0或或a= -1.當當a=0時時,A=0,1,-3,B=-3,-1,1,此時此時AB=1,-3,與與AB=-3矛盾矛盾,故舍去故舍去.當當a= -1時時,A=1,0,-3,B=-4,-3,2,滿足滿足AB=-3,a= -1.學點三學點三 VennVenn圖的應用圖的應用【分析】【分析】關(guān)于集合的交、并、補的問題關(guān)于集合的交、并、補的問題,通常可以由分析法通?？梢杂煞治龇ㄕ页黾现幸欢ㄓ谢蛞欢]有的元素找出集合中一定有或一定沒有的元素,對它們逐一檢驗對它們逐一檢驗;或利用或利用Venn圖圖,把元素一一放入圖中相應位置把元素一一放入圖中相應位置,從而寫出所從而寫出所求集

14、合求集合.【解析】【解析】解法一：利用解法一：利用Venn圖圖,在圖中在圖中標出各個元素的相應位置標出各個元素的相應位置,可以直接寫可以直接寫出出A與與B,A=2,3,5,7,B=1,2,9.若集合若集合U=x|x是小于是小于10的正整數(shù)的正整數(shù),AU,BU,且且(CUA)B=1,9,AB=2,(CUA)(CUB)=4,6,8,試求試求A與與B.解法二：解法二：AB=2,(CUA)B=1,9,B=（AB）(CUA)B=1,2,9.AB=CU(CUA)(CUB)=1,2,3,5,7,9,又又B=1，2，9，AB=2,A=2,3,5,7.【評析】事實上【評析】事實上,在解決這類問題時在解決這類問題

15、時,將將Venn圖的使用與分圖的使用與分析法相結(jié)合更準確簡捷析法相結(jié)合更準確簡捷.設(shè)設(shè)A，B都是不超過都是不超過8的正整數(shù)組成的全集的正整數(shù)組成的全集U的子集的子集AB=3,(CUA)(CUB)=1,8,(CUA)B=4,6,求集合求集合A，B.解解：U=1,2,3,4,5,6,7,8，在，在Venn圖中將圖中將1,2,3,4,5,6,7,8分別填入到相應的位置中去，分別填入到相應的位置中去，則由則由AB=3,CUACUB=1,8,(CUA)B=4,6得得A(CUB)=2,5,7.A=2,3,5,7,B=3,4,6.學點四學點四 集合運算的應用集合運算的應用已知集合已知集合S=1,3,x3+3

16、x2+2x,A=1,|2x-1|,如果如果CSA=0,則這樣的實數(shù)則這樣的實數(shù)x是否存在是否存在?若存在若存在,求出求出x;若不存在若不存在,說明理由說明理由.【分析】【分析】解決此問題的關(guān)鍵是正確理解解決此問題的關(guān)鍵是正確理解CSA=0的意義的意義,它有兩層含義它有兩層含義,即即0S,但但0A,這樣解題思路就清楚了這樣解題思路就清楚了.【解析】【解析】CSA=0,0S,但但0A, x3+3x2+2x=0,即即x(x+1)(x+2)=0,解得解得x1=0,x2= -1,x3= -2. 當當x=0時時,|2x-1|=1,A中已有元素中已有元素1,不滿足集合的性質(zhì)不滿足集合的性質(zhì);當當x=-1時時

17、,|2x-1|=3,3S;當當x= -2時時,|2x-1|=5,但但5S.實數(shù)實數(shù)x的值存在的值存在,且它只能是且它只能是-1.【評析】解答此題時【評析】解答此題時,我們由我們由CSA=0求出求出x1=0,x2=-1,x3=-2之后之后,驗證其是否符合題目的隱含條件驗證其是否符合題目的隱含條件AS是必要的是必要的,否則否則就會誤認為就會誤認為x1=0或或x3=-2也是所求的實數(shù)也是所求的實數(shù)x,從而得出錯誤的從而得出錯誤的結(jié)論結(jié)論.集合概念及其基本理論是近、現(xiàn)代數(shù)學的最基礎(chǔ)的集合概念及其基本理論是近、現(xiàn)代數(shù)學的最基礎(chǔ)的內(nèi)容之一內(nèi)容之一,學好這部分知識的目的之一就是在于應用學好這部分知識的目的之

18、一就是在于應用. 因此，因此，一定要學會讀懂集合的語言和符號一定要學會讀懂集合的語言和符號,并能運用集合的觀點并能運用集合的觀點研究、判斷和處理簡單的實際問題研究、判斷和處理簡單的實際問題.解解：（：（1）如）如A=1,2,3,B=2,3,4,則則A-B=1.（2）不一定相等，由（）不一定相等，由（1）知）知B-A=4，而，而A-B=1，B-AA-B.再如再如A=1，2，3，B=1,2,3,A-B=，B-A= ,此時此時A-B=B-A.故故A-B與與B-A不一定相等不一定相等.（3）因為）因為A-B=x|x6, B-A=x|-6x4, A-(A-B)=x|4x6, B-(B-A)=x|4x4,

19、B=x|x|6，求，求A-（A-B）及）及B-（B-A），由此），由此你可以得到什么更一般的結(jié)論？（不必證明）你可以得到什么更一般的結(jié)論？（不必證明）1.1.在解題時如何用好集合語言在解題時如何用好集合語言? ?解集合問題解集合問題, ,不僅僅是運用集合語言不僅僅是運用集合語言, ,更重要的是明確集合語言更重要的是明確集合語言所蘊含的真實的數(shù)學含義所蘊含的真實的數(shù)學含義, ,集合語言的轉(zhuǎn)換過程集合語言的轉(zhuǎn)換過程, ,實質(zhì)就是在進實質(zhì)就是在進行數(shù)學問題的等價轉(zhuǎn)換時行數(shù)學問題的等價轉(zhuǎn)換時, ,向著我們熟悉的能夠解決的問題轉(zhuǎn)向著我們熟悉的能夠解決的問題轉(zhuǎn)化化. .2.2.在學習時應注意什么問題在學習

20、時應注意什么問題? ?(1)(1)對于交集、并集、全集、補集等概念的理解對于交集、并集、全集、補集等概念的理解, ,要注意教材中要注意教材中的實例和的實例和VennVenn圖的直觀作用圖的直觀作用. .(2)(2)要善于將三者進行比較記憶要善于將三者進行比較記憶, ,找出它們之間的聯(lián)系與區(qū)別找出它們之間的聯(lián)系與區(qū)別. .(3)(3)注意在集合運算中注意在集合運算中, ,運用運用VennVenn圖圖, ,借助于數(shù)軸等幾何方借助于數(shù)軸等幾何方法直觀理解法直觀理解. .(4)(4)學會集合語言的運用學會集合語言的運用, ,并逐漸學會用集合的觀點研究并逐漸學會用集合的觀點研究事物的內(nèi)涵與外延事物的內(nèi)涵

21、與外延. .3.3.怎樣理解全集和補集？怎樣理解全集和補集？全集并非包羅萬象，含有任何元素的集合，它僅僅含有全集并非包羅萬象，含有任何元素的集合，它僅僅含有我們所要研究的問題中所涉及的所有元素，如研究方程我們所要研究的問題中所涉及的所有元素，如研究方程實根，全集取為實根，全集取為R;R;研究整數(shù)，全集取為研究整數(shù)，全集取為Z Z，同時，要理，同時，要理解補集的定義的解補集的定義的 用法用法. .1.1.交集與并集是集合的兩種不同運算交集與并集是集合的兩種不同運算, ,對它們概念的理對它們概念的理解要特別注意解要特別注意“且且”與與“或或” ” 的區(qū)別的區(qū)別. .交集和并集的交集和并集的符號符號“”“”“”既有相同的地方