131線段的垂直平分線(教案)

1、§1.3.1線段的垂直平分線（教案） 教學(xué)目標(biāo)(一)教學(xué)知識點1經(jīng)歷探索、猜測過程，能夠運用公理和所學(xué)過的定理證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理2能夠利用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線(二)思維訓(xùn)練要求1經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識和能力2體驗解決問題策略的多樣性，發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新精神3學(xué)會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果(三)情感與價值觀要求1能積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，對數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲2在數(shù)學(xué)活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心教學(xué)重點1能夠證明線段的垂直平分線的性質(zhì)定理、判定定理及其相關(guān)結(jié)論2能夠利用尺規(guī)作已知線段的垂直平

2、分線教學(xué)難點寫出線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題并證明它教具準(zhǔn)備多媒體演示、直尺、圓規(guī)教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實情境，引入新課教師用多媒體演示：如圖，A、B表示兩個倉庫，要在A、B一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置？ 生碼頭應(yīng)建在線段AB的垂直平分線與在A，B一側(cè)的河岸邊的交點上師同學(xué)們認(rèn)同他的看法嗎？生是的師認(rèn)為對的說說你的理由是什么呢？生（回憶定理）我們以前曾學(xué)過線段垂直平分線的一個性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等所以在這個問題中，要求在“A、B一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等”利用此性質(zhì)就能完成師（邊說邊用折紙的方法再現(xiàn)定理）

3、這位同學(xué)分析得很好，我們在七年級時研究過線段的性質(zhì)，線段是一個軸對稱圖形，其中線段的垂直平分線就是它的對稱軸我們曾經(jīng)像這樣利用折紙的方法得到“線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等”這一簡單事實，但是用這種觀察的方式是很難說服別人的，你能用公理或?qū)W過的定理來證明這一結(jié)論嗎？教師演示線段垂直平分線的性質(zhì)：定理 線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等講述新課第一部分 線段垂直平分線的性質(zhì)定理師我們從折紙的過程中得到了線段垂直平分線的性質(zhì)定理，大家知道這是不夠的，還必須利用公理及已學(xué)過的定理推理、證明它那么如何證明呢？師（引導(dǎo)）問題一：要證“線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等”

4、，可線段垂直平分線上的點有無數(shù)多個，需一個一個依次證明嗎？（強(qiáng)調(diào)）我們只需在線段垂直平分線上任取一點代表即可，因為線段垂直平分線上的點都具有相同的性質(zhì)（開始讓學(xué)生有這樣的數(shù)學(xué)思想）你能根據(jù)定理畫圖并寫出已知和求證嗎？誰能幫老師分析一下證明思路？生（思考回答） 師生共析已知：如圖，直線MNAB，垂足是C，且ACBC，P是MN上的點求證：PAPB分析：要想證明PAPB，可以考慮包含這兩條線段的兩個三角形是否全等證明：MNAB，PCAPCB90°ACBC，PCPC，PCAPCB(SAS)PAPB(全等三角形的對應(yīng)邊相等)第二部分 線段垂直平分線的判定定理教師用多媒體完整演示證明過程同時，用

5、多媒體呈現(xiàn)：想一想你能寫出上面這個定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？師（引導(dǎo)、并提問兩學(xué)生）問題二：這個命題是否屬于“如果那么”的形式？你能分析原命題的條件和結(jié)論，將原命題寫成“如果那么”的形式嗎？最后再把它的逆命題寫出來生A（思考分析）原命題的條件是“有一個點是線段垂直平分線上的點”結(jié)論是“這個點到線段兩個端點的距離相等”師有了這位同學(xué)的精彩分析，逆命題就很容易寫出來生B如果有一個點到線段兩個端點的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上師很好，能否把它描述得更簡捷呢？生B到線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上師good!當(dāng)我們寫出逆命題時，就想到判斷它的真假如果真，則需證明它

6、；如果假，則需用反例說明請同學(xué)們類比原命題自己獨立寫出已知、求證（給學(xué)生思考空間）已知：線段AB，點P是平面內(nèi)一點且PAPB求證：P點在AB的垂直平分線上（分組討論，鼓勵學(xué)生多想證明方法，并派代表上黑板寫寫本組的證明過程）師看學(xué)生的具體情況，做適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)證法一：證明：過點P作已知線段AB的垂線PCPAPB，PCPC，RtPACRtPBC(HL定理)ACBC，即P點在AB的垂直平分線上證法二：證明：取AB的中點C，過PC作直線APBP，PCPC，ACCB，APCBPC(SSS)PCAPCB(全等三角形的對應(yīng)角相等)又PCAPCB180°，PCAPCB90°，即PCABP點在A

7、B的垂直平分線上證法三：證明：過P點作APB的角平分線APBP，12，PCPC，APCBPC(SAS)ACDC，PCAPCB(全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等)又PCAPCB180°，PCAPCB90°P點在線段AB的垂直平分線上師先肯定學(xué)生的思考，再對證明過程嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男〗M加以表揚，不足的加以點評和糾正。師從同學(xué)們的推理證明過程可知線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題是真命題，我們把它稱做線段垂直平分線的判定定理到現(xiàn)在我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理，下面小試牛刀教師多媒體演示：P26隨堂練習(xí)（搶答）：如圖：已知AB是線段CD的垂直平分線，E是AB上的一點，如果

8、EC=7cm，那么ED=_cm，如果ECD60°,那么EDC_°（讓學(xué)生說出理由）第三部分 用尺規(guī)作線段垂直平分線答對了上面的題，咱們來輕松一下，一起來欣賞一組美麗的數(shù)學(xué)圖。教師多媒體演示：做一做用尺規(guī)作線段的垂直平分線師（邊演示圖邊講講作圖有關(guān)的數(shù)學(xué)史）大家知道這些圖是用什么工具作出來的嗎？（資料：古希臘以來，平面幾何中的作圖工具習(xí)慣上限用直尺和圓規(guī)兩種.其中，直尺假定直而且長，但上面無任何刻度，圓規(guī)則假定其兩腿足夠長并能開閉自如.作圖工具的這種限制，最先大概是恩諾皮德斯(Oenopides，約公元前465年)提出的，以后又經(jīng)過柏拉圖(Plato，公元前427347)大力

9、提倡.柏拉圖非常重視數(shù)學(xué)，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)幾何對訓(xùn)練邏輯思維能力的特殊作用，主張對作圖工具要有限制，反對使用其他機(jī)械工具作圖.之后，歐幾里得(Euclid，約公元前330275)又把它總結(jié)在幾何原本一書中。于是，限用尺規(guī)進(jìn)行作圖就成為古希臘幾何學(xué)的金科玉律。）師其實同學(xué)們也能用圓規(guī)、直尺畫出優(yōu)美的圖形，下面咱們就一起來學(xué)用尺規(guī)作線段的垂直平分線。（分析：要作出線段的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的判定定理，到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，那么我們必須找到兩個到線段兩個端點距離相等的點，這樣才能確定已知線段的垂直平分線）類似于證明題要寫出已知、求證和證明，作圖題也要根據(jù)條件寫出已知、求作和作法，下面我們一同來寫出已知、求作、作法，體會作法中每一步的依據(jù)教師示范，請學(xué)生同時練習(xí)已知：線段AB(如圖)求作：線段AB的垂直平分線作法：1分別以點A和B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點C和D2作直線CD直線CD就是線段AB的垂直平分線師根據(jù)上面作法中的步驟，請你說明CD為什么是AB的垂直平分線嗎？請與同伴進(jìn)行交流生從作法的第一步可知ACBC，ADBDC、D都在AB的垂直平分線上(線段垂直平分線的判定定理)CD就是線段AB的垂直平分線(兩點確定一條直線)師我們曾用刻度尺找線段的中點，當(dāng)我們學(xué)習(xí)了線段垂直平分線的作法時，一旦垂直平分線作出，線段與線段垂直平分線的交點就是