2015年秋期期中考試理科試卷

1、四川省宜賓市高中協同提升責任區(qū)聯考2014-2015學年高二上學期期中數學試卷（理科） 一.選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的.1（5分）在空間直角坐標系中，點A（1，0，1）關于坐標原點的對稱點的坐標為（）A（1，0，1）B（1，0，1）C（0，1，1）D（1，0，1）2（5分）如圖是2014年某大學自主招生面試環(huán)節(jié)中，七位評委為某考生打出的分數的莖葉統(tǒng)計圖，該數據的中位數和眾數依次為（）A86，84B84，84C84，86D85，863（5分）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，異面直線BC1和CD1所成角為（）ABC

2、D4（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出i的值為（）A2B3C4D55（5分）如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓周上不同于A、B的任意一點，則圖中直角三角形的個數為（）A1B2C3D46（5分）一組數據中每個數據都減去80構成一組新數據，則這組新數據的平均數是1.2，方差是4.4，則原來一組數的方差為（）A5.6B4.8C4.4D3.27（5分）已知m，n為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）Am，n，m，nB，m，n，mnCm，mnnDmn，nm8（5分）如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中：BM與ED異面； CNBE；CN與BF成60

3、6;角； DMBN以上四個命題中，正確的命題序號是（）ABCD9（5分）點A、B、C、D在同一個球的球面上，且AB=CD=，BC=2AC=2BD=2，則該球的表面積為（）A16B12C8D410（5分）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為，動點P在對角線BD1上，過點P作垂直于BD1的平面，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長為y，設BP=x，則當時，函數y=f（x）的值域為（）ABCD二.填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11（5分）某班有男生25名，女生15名，采用分層抽樣的方法從這40名學生中抽取一個容量為8的樣本，則應抽取的女生人數為名12（5分）如圖是一個幾何

4、體的三視圖，該幾何體的體積是13（5分）如圖，已知三棱柱ABCA1B1C1的體積為V，則三棱錐A1ABC1的體積是14（5分）如圖，已知二面角l的大小是60°，線段ABBl，AB與l所成的角為30°，則AB與平面所成的角的正弦值是15（5分）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E，F，且EF=1，則下列結論中正確的有（填寫你認為正確的序號）AC面BEF；AF與BE相交；若P為AA1上的一動點，則三棱錐PBEF的體積為定值；在空間與直線DD1，AC，B1C1都相交的直線只有1條三、解答題（共6個題，共75分，要求寫出解答過程）16（12分）

5、如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E為DD1的中點（）證明：ACBD1；（）證明：BD1平面ACE17（12分）如圖，在四面體ABCD中，CB=CD，ADBD，點E，F分別是AB，BD的中點（ I）求證：BD平面EFC；（）當AD=CD=BD=1，且EFCF時，求三棱錐CABD的體積VCABD18（12分）教育部，體育總局和共青團中央號召全國各級各類學校要廣泛，深入地開展全國億萬大，中學生陽光體育運動，為此，某校學生會對2014-2015學年高二年級2014年9月與10月這兩個月內參加體育運動的情況進行統(tǒng)計，隨機抽取了100名學生作為樣本，得到這100名學生在該月參加體育運動總時間的小時

6、數，根據此數據作出了如下的頻數和頻率的統(tǒng)計表和 頻率分布直方圖：（I）求a，p的值，并補全頻率分布直方圖；（）根據上述數據和直方圖，試估計運動時間在小時的學生體育運動的平均時間；分組運動時間（小時）頻數頻率150.0519（12分）已知一幾何體的三視圖如圖所示，請在答題卷上作出該幾何體的直觀圖，并回答下列問題（）求直線CE與平面ADE所成角的大??；（）設點F，G分別為AC，DE的中點，求證：FG平面ABE20（13分）如圖，在梯形PDCB中，BC=PD，DCPB，PB=3DC=3，PD=，DAPB，將PAD沿AD折起，使得PAAB，得到四棱錐PABCD，點M在棱PB上（） 證明：平面PAD平面

7、PCD；（） 如果AMPB，求二面角CAMB的正切值；（）當PD平面AMC時，求三棱錐PABC與三棱錐MABC的體積之比21（14分）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ACBC，AA1=2，AB=2，M為AA1的中點（1）若點N是線段AC上異于A、C的一動點，求異面直線BC與A1N所成角的大?。唬?）若二面角CBMA的大小為60°，求BC的長；（3）在（2）的條件下，求AB1與面BCM所成角的正弦值四川省宜賓市高中協同提升責任區(qū)聯考2014-2015學年高二上學期期中數學試卷（理科）參考答案與試題解析一.選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出

8、的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的.1（5分）在空間直角坐標系中，點A（1，0，1）關于坐標原點的對稱點的坐標為（）A（1，0，1）B（1，0，1）C（0，1，1）D（1，0，1）考點：空間中的點的坐標 專題：空間位置關系與距離分析：坐標A（x，y，z）關于原點對稱，的坐標為（x，y，z），寫出結果即可解答：解：在空間直角坐標系中，點A（1，0，1）關于坐標原點的對稱點的坐標為（1，0，1）故選：A點評：本題考查空間點與點的位置關系，對稱知識的應用，考查計算能力2（5分）如圖是2014年某大學自主招生面試環(huán)節(jié)中，七位評委為某考生打出的分數的莖葉統(tǒng)計圖，該數據的中位數和眾數依次為（）A8

9、6，84B84，84C84，86D85，86考點：莖葉圖 專題：概率與統(tǒng)計分析：根據莖葉圖，把數據按從小到大的順序排列，找出中位數與眾數即可解答：解：根據莖葉圖，得；七位評委為某考生打出的分數從小到大依次是77，84，84，84，86，87，93；該組數據的中位數是84，眾數是84故選：B點評：本題考查了莖葉圖的應用問題，也考查了中位數與眾數的應用問題，是基礎題3（5分）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，異面直線BC1和CD1所成角為（）ABCD考點：異面直線及其所成的角 專題：空間角分析：建立空間直角坐標系，利用坐標法求異面直線所成的角解答：解：以B為原點，BA，BC，BB1所在直線分

10、別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，設正方體棱長為1，則B（0，0，0），C（0，1，0），C1（0，1，1），D1（1，1，1），所以=（0，1，1），=（1，0，1），并且BC1=，CD1=，所以=，所以異面直線BC1和CD1所成角；故選B點評：本題借助于向量的數量積求異面直線所成的角，正確建立空間直角坐標系，明確對應向量的坐標是關鍵另外：本題可以連接AD1，AC，得到ACD1是等邊三角形，而角AD1C是異面直線BC1和CD1所成角，從而得到答案4（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出i的值為（）A2B3C4D5考點：程序框圖 專題：算法和程序框圖分析：列出循環(huán)過程中i的數值，滿足判斷框的

11、條件即可結束循環(huán)解答：解：第1次判斷后i=2，第2次判斷后i=3，第3次判斷后i=4，滿足判斷框的條件，結束循環(huán)，輸出結果：4故選C點評：本題考查循環(huán)框圖的應用，注意判斷框的條件的應用，考查計算能力5（5分）如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓周上不同于A、B的任意一點，則圖中直角三角形的個數為（）A1B2C3D4考點：直線與平面垂直的性質 專題：空間位置關系與距離分析：利用直徑所對的圓周角為直角和線面垂直的判定定理和性質定理即可判斷出答案解答：解：AB是圓O的直徑，則ACBC，由于PA平面ABC，則PABC，即有BC平面PAC，則有BCPC，則PBC是直角三角形；由于PA平

12、面ABC，則PAAB，PAAC，則PAB和PAC都是直角三角形；再由ACBC，得ACB=90°，則ACB是直角三角形綜上可知：此三棱錐PABC的四個面都是直角三角形故選D點評：熟練掌握直徑所對的圓周角的性質、線面垂直的判定和性質定理是解題的關鍵6（5分）一組數據中每個數據都減去80構成一組新數據，則這組新數據的平均數是1.2，方差是4.4，則原來一組數的方差為（）A5.6B4.8C4.4D3.2考點：極差、方差與標準差 專題：計算題分析：根據方差的公式求解，本題新數據由原數據減去80所得，故必須考慮它們的平均數和方差的關系求解解答：解：設樣本x1，x2，xn的平均數是，其方差是4.4

13、，有S2=ABCD考點：空間中直線與直線之間的位置關系 專題：空間位置關系與距離分析：將展開圖復原為正方體，如圖，根據正方體的幾何牲，分別判斷四個命題的真假，容易判斷選項的正誤，從而求出結果解答：解：展開圖復原的正方體ABCDEFMN如圖，由正方體ABCDEFMN的結構特征，得：BM與ED是異面直線，故正確；CN與BE是平行線，故正確；CNBE，EBF=45°是CN與BF所成角，故錯誤；設正方體ABCDEFMN的棱長為1，以D為原點建立空間直角坐標系，D（0，0，0），M（0，1，1），B（1，1，0），N（0，0，1），=（0，1，1），=（1，1，1），=01+1=0，DMBN，

14、故正確故選：B點評：本題考查異面直線的判定，異面直線及其所成的角，空間中直線與直線之間的位置關系，幾何體的折疊與展開，考查空間想象能力，是中檔題9（5分）點A、B、C、D在同一個球的球面上，且AB=CD=，BC=2AC=2BD=2，則該球的表面積為（）A16B12C8D4考點：球的體積和表面積 專題：空間位置關系與距離分析：結合題意，畫出圖形，根據圖形求出該球的直徑，即可求出球的表面積解答：解：AB=CD=，BC=2AC=2BD=2，如圖所示；AB2+AC2=BC2，BAC=；同理BDC=，又點A、B、C、D在同一個球的球面上，該球的直徑為2R=BC=2，該球的表面積為S=4R2=4故選：D點

15、評：本題考查了空間中的求與內接四面體的應用問題，解題的關鍵是求出球的直徑來，是基礎題10（5分）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為，動點P在對角線BD1上，過點P作垂直于BD1的平面，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長為y，設BP=x，則當時，函數y=f（x）的值域為（）ABCD考點：棱柱的結構特征 專題：函數的性質及應用；空間位置關系與距離分析：驗證x=BP=，1，時，y=f（x）的值是什么，分析函數y=f（x）的變化情況，從而得出正確的判斷解答：解：正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為，BD1=AB=3，當BP=時，如圖所示；三棱錐BEFG的底面是正三角形，設邊長EF=a

16、，則BE=，a2=；解得a=，y=f（x）=；當EF=AB=時，y=f（x）=3，如圖所示；BP=，此時BP=1；當BP=時，截面為六邊形EFGHIJ，且EF=FG=GH=HI=IJ=JE=AC=，如圖所示；此時y=f（x）=；時，函數y=f（x）的值域應為故選：B點評：本題考查了空間幾何體的應用問題，也考查了作圖和讀圖的能力，解題時應根據幾何體的特征和條件進行分析變化情況，是難題二.填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11（5分）某班有男生25名，女生15名，采用分層抽樣的方法從這40名學生中抽取一個容量為8的樣本，則應抽取的女生人數為3名考點：分層抽樣方法 專題：概率與統(tǒng)計分析：

17、設應抽取的女生人數為x名，由分層抽樣的性質，能求出結果解答：解：設應抽取的女生人數為x名，由分層抽樣的性質，得：，解得x=3應抽取的女生人數為3名故答案為：3點評：本題考查樣本應抽取的女生人數的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意分層抽樣的性質的合理運用12（5分）如圖是一個幾何體的三視圖，該幾何體的體積是30考點：由三視圖求面積、體積 專題：空間位置關系與距離分析：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以側視圖為底面的三棱柱，計算出棱柱的底面面積和高，代入棱柱體積公式，可得答案解答：解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以側視圖為底面的三棱柱，底面面積S=×4×3=6，

18、棱柱的高h=5，故幾何體的體積V=Sh=6×5=30，故答案為：30點評：本題考查的知識點是由三視圖求幾何體的體積或表面積，由三視圖正確恢復原幾何體是解題的關鍵13（5分）如圖，已知三棱柱ABCA1B1C1的體積為V，則三棱錐A1ABC1的體積是V考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積 專題：計算題；空間位置關系與距離分析：由題意，三棱柱ABCA1B1C1被分割成三個等體積的三棱錐，即可得出結論解答：解：由題意，三棱柱ABCA1B1C1被分割成三個等體積的三棱錐，三棱柱ABCA1B1C1的體積為V，三棱錐A1ABC1的體積是V故答案為：V點評：本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查學生的計算能力

19、，比較基礎14（5分）如圖，已知二面角l的大小是60°，線段ABBl，AB與l所成的角為30°，則AB與平面所成的角的正弦值是考點：直線與平面所成的角 專題：計算題；空間角分析：過點A作平面的垂線，垂足為C，在內過C作l的垂線垂足為D，連接AD，從而ADC為二面角l的平面角，連接CB，則ABC為AB與平面所成的角，在直角三角形ABC中求出此角即可解答：解：過點A作平面的垂線，垂足為C，在內過C作l的垂線垂足為D連接AD，有三垂線定理可知ADl，故ADC為二面角l的平面角，為60°又由已知，ABD=30°連接CB，則ABC為AB與平面所成的角設AD=2，則

20、AC=，CD=1，AB=4sinABC=故答案為點評：本題主要考查了平面與平面之間的位置關系，以及直線與平面所成角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題15（5分）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E，F，且EF=1，則下列結論中正確的有（填寫你認為正確的序號）AC面BEF；AF與BE相交；若P為AA1上的一動點，則三棱錐PBEF的體積為定值；在空間與直線DD1，AC，B1C1都相交的直線只有1條考點：空間中直線與直線之間的位置關系 專題：計算題；空間位置關系與距離分析：連接BD，交AC于O，由線面垂直的性質定理和判定定理，即可判斷；由兩異

21、面直線的判定方法，即可得到AF與BE為異面直線，進而判斷；運用棱錐的體積公式，由于EF=1，矩形BDD1B1內B到EF的距離為1，則三角形BEF的面積為，再由P在棱AA1上，P到平面BEF的距離，即為A到平面BDD1B1的距離，即可得到體積，從而判斷；由于平面BDD1B1與直線DD1，AC，B1C1都有交點，則所求直線在平面BDD1B1，由于平面BDD1B1與直線AC交于O，與直線C1B1交于B1，即可判斷解答：解：對于，連接BD，交AC于O，則ACBD，又BB1平面ABCD，則ACBB1，則有AC平面BDD1B1，即AC面BEF，故對；對于，由于BE是平面BDD1B1內一直線，F不在直線BE

22、上，且F在平面BDD1B1內，點A不在平面BDD1B1內，由異面直線的判定可得，AF與BE為異面直線，故錯；對于，三棱錐PBEF的體積為SBEFh，由于EF=1，矩形BDD1B1內B到EF的距離為1，則三角形BEF的面積為，由于P在棱AA1上，P到平面BEF的距離，即為A到平面BDD1B1的距離，由于AC平面BDD1B1，則h=AO=，則三棱錐PBEF的體積為，故對；對于，由于平面BDD1B1與直線DD1，AC，B1C1都有交點，則所求直線在平面BDD1B1，由于平面BDD1B1與直線AC交于O，與直線C1B1交于B1，連接OB1，延長與D1D延長交于Q，即為所求直線，故對故答案為：點評：本題

23、考查空間直線與平面的位置關系，考查線面垂直的判定和性質，兩直線的位置關系，考查三棱錐體積的求法，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題和易錯題三、解答題（共6個題，共75分，要求寫出解答過程）16（12分）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E為DD1的中點（）證明：ACBD1；（）證明：BD1平面ACE考點：直線與平面垂直的性質；直線與平面平行的判定 專題：證明題；空間位置關系與距離分析：（I）證明ACBD，且ACDD1，即可證明AC平面BDD1，從而證明ACBD1；（ II）如圖所示，證明OEBD1，即可證明BD1平面ACE解答：解：（I）證明：在正方體ABCD中，連結BD，ACBD，又D

24、D1平面ABCD，且AC平面ABCD，ACDD1，又BDDD1=D，AC平面BDD1；又BD1平面BDD1，ACBD1；如圖所示；（ II）證明：設BDAC=O，連結OE，在BDD1中，O、E分別為BD、DD1的中點，OEBD1；又OE平面ACE，且BD1平面ACE，BD1平面ACE點評：本題考查了空間中的垂直與平行關系的證明問題，解題時應結合圖形，弄清空間中的平行與垂直的條件與結論是什么，是中檔題目17（12分）如圖，在四面體ABCD中，CB=CD，ADBD，點E，F分別是AB，BD的中點（ I）求證：BD平面EFC；（）當AD=CD=BD=1，且EFCF時，求三棱錐CABD的體積VCABD

25、考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定 專題：綜合題；空間位置關系與距離分析：（）ABD中，根據中位線定理，得EFAD，結合ADBD得EFBD再在等腰BCD中，得到CFBD，結合線面垂直的判定定理，得出BD面EFC；（）確定CF平面ABD，SABD=，利用體積公式，即可得出結論解答：（）證明：ABD中，E、F分別是AB，BD的中點，EFADADBD，EFBDBCD中，CB=CD，F是BD的中點，CFBDCFEF=F，BD面EFC；（）解：CB=CD，F是BD的中點，CFBD，EFCF，EFBD=F，CF平面ABD，CB=CD=BD=1，CF=，AD=BD=1，ADBD，SABD=，

26、VCABD=點評：本題考查線面垂直的判定定理，考查三棱錐CABD的體積，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題18（12分）教育部，體育總局和共青團中央號召全國各級各類學校要廣泛，深入地開展全國億萬大，中學生陽光體育運動，為此，某校學生會對2014-2015學年高二年級2014年9月與10月這兩個月內參加體育運動的情況進行統(tǒng)計，隨機抽取了100名學生作為樣本，得到這100名學生在該月參加體育運動總時間的小時數，根據此數據作出了如下的頻數和頻率的統(tǒng)計表和 頻率分布直方圖：（I）求a，p的值，并補全頻率分布直方圖；（）根據上述數據和直方圖，試估計運動時間在小時的學生體育運動的平均時間；分組運動時間

27、（小時）頻數頻率150.05考點：散點圖 專題：概率與統(tǒng)計分析：（）根據頻數總和是樣本容量求出a，然后利用頻數與樣本容量的比是頻率求p；（）利用各矩形底邊中點的橫坐標乘以矩形的面積之和解得平均數解答：解：（）因為隨機抽取了100名學生作為樣本，所以a=100202015105=30；b=0.3；頻率分布直方圖如下：（）根據表格數據和直方圖得到運動時間在小時的學生體育運動的平均時間為27.5×0.2+32.5×0.3+37.5×0.2+42.5×0.15+47.5×0.1+52.5×0.05=5.5+9.75+7.5+6.375+4.7

28、5+2.625=36.5（小時）；點評：本題考查了頻率分布直方圖以及頻率分布表，根據是正確視圖19（12分）已知一幾何體的三視圖如圖所示，請在答題卷上作出該幾何體的直觀圖，并回答下列問題（）求直線CE與平面ADE所成角的大小；（）設點F，G分別為AC，DE的中點，求證：FG平面ABE考點：直線與平面平行的判定；直線與平面所成的角 專題：空間位置關系與距離；空間角分析：（1）要求直線CE與平面ADE所成角的大小需要CE在平面ADE內的射影，取AD的中點H，則HE就是CE在平面ADE內的射影，CEH即為所求（2）要證FG平面ABE，據線面平行的判定定理，需要在平面ABE找一條直線與FG平行，取AB

29、中點M，則MEFG以上兩問都可以通過建立空間直角坐標系來求解答：解：該幾何體是四棱錐ABCDE，底面BCDE為正方形，側棱AC面BCDE，AC=CD，直觀圖如下：（1）取AD中點H且連接CH，AC=CD，CHADAC面BCDE，ACED，又BCDE是正方形，CDED，ED面ACD又CH面ACD，EDCH，又EDAD=D，CH面ADE于點H，連接EH，則EH是直線CE在平面ADE內的射影，所以CEH就是直線CE與ADE所成的角設AC=1，在Rt三角形CHE中，CE=，CH=，CHE=90°，sinCEH=CEH=30°，所以直線CE與平面ADE所成角為30°（2）取

30、AB中點M，連接MF，F是AC中點，MFBC，且MF=BC，又G是ED中點，EG=BC，MF=EG，MFEG，MFGE是平行四邊形FGME，又FG面ABE，ME面ABE，FGABE點評：本題考查了線面角的求法，以及線面平行的判定，屬于基礎題20（13分）如圖，在梯形PDCB中，BC=PD，DCPB，PB=3DC=3，PD=，DAPB，將PAD沿AD折起，使得PAAB，得到四棱錐PABCD，點M在棱PB上（） 證明：平面PAD平面PCD；（） 如果AMPB，求二面角CAMB的正切值；（）當PD平面AMC時，求三棱錐PABC與三棱錐MABC的體積之比考點：與二面角有關的立體幾何綜合題；棱柱、棱錐、

31、棱臺的體積；平面與平面垂直的判定 專題：空間位置關系與距離；空間角分析：（）由圖1中DAPB，可得折疊后DAAB，DAPA，進而DCPA，DCDA，由線面垂直的判定定理得到DC平面PAD，再由面面垂直的判定定理得到平面PAD平面PCD；（） 以A為坐標原點，建立空間坐標系，分別求出平面ACM和平面ABM的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角CAMB的余弦值，進而根據同角三角函數關系，可得二面角CAMB的正切值；（）當PD平面AMC時，根據平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質，可得=，即三棱錐PABC與三棱錐MABC的高之比為，即三棱錐PABC與三棱錐MABC的體積之比為解答：證明：（）因為在圖a的等腰梯形PDCB中，DAPB，所以在四棱錐PABCD中，DAAB，DAPA又PAAB，且DCAB，所以DCPA，DCDA，而DA平面PAD，PA平面PAD，PADA=A，所以DC平面PAD因為DC平面PCD，所以平面PAD平面PCD（II）以A為坐標原點，建立空間坐標系，如下圖所示：PB=3DC=3，PD=，故AD=1，A