物理-L28-萬有引力計(jì)算天體質(zhì)量和密度問題（課堂PPT）

1、1 萬有引力計(jì)算天體質(zhì)量和密度萬有引力計(jì)算天體質(zhì)量和密度物物 理理 專專 題題2 一、天體質(zhì)量計(jì)算的幾種方法一、天體質(zhì)量計(jì)算的幾種方法 萬有引力定律從動(dòng)力學(xué)角度解決了天體運(yùn)動(dòng)問題天體運(yùn)動(dòng)遵循與地面上物體相同的動(dòng)力學(xué)規(guī)律行星(或衛(wèi)星)的運(yùn)動(dòng)可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由恒星對(duì)其行星(或行星對(duì)其衛(wèi)星)的萬有引力提供向心力 應(yīng)用萬有引力定律，不僅可以計(jì)算太陽的質(zhì)量，還可以計(jì)算其他天體的質(zhì)量下面以地球質(zhì)量的計(jì)算為例，介紹幾種計(jì)算天體質(zhì)量的方法：3 (1)若已知月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，半徑為r，根據(jù)萬有引力等于向心力， 即 m月 r2，可求得地球質(zhì)量M地 . (2)若已知月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半

2、徑r和月球運(yùn)動(dòng)的線速度v，由于地球?qū)υ虑虻囊Φ扔谠虑蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)牛頓第二定律，得 G m月 . 解得地球的質(zhì)量為M地rv2/G.4 (3)若已知月球運(yùn)行的線速度v和運(yùn)行周期T，由于地球?qū)υ虑虻囊Φ扔谠虑蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)牛頓第二定律，得 G m月v G m月. 以上兩式消去r，解得 M地v3T/(2G) (4)若已知地球的半徑R和地球表面的重力加速度g，根據(jù)物體的重力近似等于地球?qū)ξ矬w的引力，得 mgG ， 解得地球質(zhì)量為M地 .5 由以上論述可知，在萬有引力定律這一章中，求天體質(zhì)量的方法主要有兩種：一種方法是根據(jù)天體表面的重力加速度來求天體質(zhì)量，即gG ，則M

3、，另一種方法是根據(jù)天體的圓周運(yùn)動(dòng)，即根據(jù)天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力提供，列出方程： G m rm m2r來求得質(zhì)量M 用第二種方法只能求出圓心處天體質(zhì)量(即中心天體)6 二、二、天體密度的計(jì)算天體密度的計(jì)算 (1)利用天體表面的重力加速度來求天體的自身密度 由mg 和M R3， 得 . 其中g(shù)為天體表面重力加速度，R為天體半徑7 (2)利用天體的衛(wèi)星來求天體的密度 設(shè)衛(wèi)星繞天體運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，周期為T，天體半徑為R，則可列出方程： G m r，M R3， 得 . 當(dāng)天體的衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌道半徑r等于天體半徑R， 則天體密度為： .8 例題例題1 已知海王星的直徑為地球

4、直徑的4倍，海王星表面的重力加速度與地球表面重力加速度大致相等，試估算海王星的質(zhì)量(已知地球質(zhì)量M地6.01024 kg) 9 解析： 設(shè)海王星質(zhì)量M海，半徑為R海，地球質(zhì)量M地，半徑R地，對(duì)海王星而言，處于海王星表面的物體受到海王星作用的重力就是海王星與物體之間的萬有引力 即mg海G 可得 g海 同理地球表面的重力加速度g地 因g海g地，所以G G M海16M地9.61025 kg.10 例題例題2 在某行星上宇航員用彈簧秤測(cè)質(zhì)量為m的物體的重力為F，乘宇宙飛船在靠近該行星的空間飛行，測(cè)得其環(huán)繞周期為T，根據(jù)這些數(shù)據(jù)求該星球的質(zhì)量 解題思路：解題思路：在行星表面的物體的重力等于行星對(duì)它的萬有

5、引力， 在行星附近飛行的飛船，由萬有引力提供其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力11 解析： 設(shè)行星的質(zhì)量為M，半徑為R，表面的重力加速度為g，由萬有引力定律得 Fmg 飛船沿星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得 m R 聯(lián)立以上兩式得12 例題例題3 假設(shè)在半徑為R的某天體上發(fā)射了一顆該天體的衛(wèi)星，若它貼近該天體的表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T0.已知萬有引力常量為G，則該天體的平均密度是多少？若這顆衛(wèi)星距該天體表面的高度為h，測(cè)得在該處做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，則該天體的密度又是多少？13 解析： 利用公式M ，計(jì)算出天體質(zhì)量，再利用 計(jì)算天體的密度 其中r為天體運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，R為中心天體的半徑， 只有貼

6、近中心天體表面運(yùn)行時(shí)才有rR.設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m， 天體的質(zhì)量為M，衛(wèi)星在天體表面運(yùn)行時(shí)，G m R ， 得M 根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)星球的體積V4/3 R3. 所以天體的密度M/V 若衛(wèi)星距天體表面高為h處運(yùn)行，則有14本課小結(jié)本課小結(jié)動(dòng)力學(xué)分析計(jì)算方法典型例題15下節(jié)課 再見16 一、計(jì)算天體的質(zhì)量一、計(jì)算天體的質(zhì)量 1地球質(zhì)量的計(jì)算 利用地球表面的物體，若不考慮地球自轉(zhuǎn)，質(zhì)量為m的物體的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，即mg ，則M ，由于g、R已經(jīng)測(cè)出，因此可計(jì)算出地球的質(zhì)量17 2太陽質(zhì)量的計(jì)算 利用某一行星：由于行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)，可看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，行星與太陽間的萬有引力 充當(dāng)向心力，即G m2

7、r，而 ，則可以通過測(cè)出行星繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)的周期和軌道 半徑，得到太陽質(zhì)量M . 3其他行星質(zhì)量的計(jì)算 利用繞行星運(yùn)轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，測(cè)出該衛(wèi)星繞行星運(yùn)轉(zhuǎn)的周期和軌道半徑同樣可得出行星的質(zhì)量18 一、天體質(zhì)量的估算（以地球質(zhì)量的計(jì)算為例）一、天體質(zhì)量的估算（以地球質(zhì)量的計(jì)算為例） 1.已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，半徑為，半徑為r，19 二、天體密度的估算二、天體密度的估算 1.密度公式密度公式 只要先得出天體的質(zhì)量和半徑就可代入此式計(jì)算天體的密度只要先得出天體的質(zhì)量和半徑就可代入此式計(jì)算天體的密度. 2.計(jì)算天體密度的兩種常用方法計(jì)算天體密度的兩種常用方法

8、（1）由天體表面的重力加速度）由天體表面的重力加速度g和半徑和半徑R求此天體的密度求此天體的密度.343MR，32433.4MmmgGMRRgGR由由和和，得得20 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)1：宇航員在某星球表面，將一小球從離地面為：宇航員在某星球表面，將一小球從離地面為h高處以初速度高處以初速度v0水平拋水平拋出，測(cè)出小球落地點(diǎn)與拋出點(diǎn)間的水平位移為出，測(cè)出小球落地點(diǎn)與拋出點(diǎn)間的水平位移為s，若該星球的半徑為，若該星球的半徑為R，萬有引力，萬有引力恒量為恒量為G，求該星球的質(zhì)量多大？，求該星球的質(zhì)量多大？21 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)2：地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半徑為：地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半徑為1.49 101

9、1m，公轉(zhuǎn)的周期是，公轉(zhuǎn)的周期是3.16107s，太陽的質(zhì)量是多少？，太陽的質(zhì)量是多少？22 解析：設(shè)該星球表面重力加速度為解析：設(shè)該星球表面重力加速度為g，物體水平拋出后經(jīng)時(shí)間，物體水平拋出后經(jīng)時(shí)間t落地，則落地，則hgt2 sv0t 該星球質(zhì)量該星球質(zhì)量M：g 由由式得式得M.23 （2）若天體的某個(gè)衛(wèi)星的軌道半徑為）若天體的某個(gè)衛(wèi)星的軌道半徑為r，周期為，周期為T，則由，則由 特別提醒特別提醒 要注意要注意R、r的區(qū)分的區(qū)分.R指中心天體的半徑，指中心天體的半徑，r指行星或衛(wèi)星的軌道半徑指行星或衛(wèi)星的軌道半徑.若繞近地軌道若繞近地軌道運(yùn)行，則有運(yùn)行，則有R=r.232232344,33.

10、MmGmrMRrTrGT R和和得得242526 M 根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)星球的體積根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)星球的體積VR3. 所以天體的密度所以天體的密度. 若衛(wèi)星距天體表面高為若衛(wèi)星距天體表面高為h處運(yùn)行，則有處運(yùn)行，則有 Gm(Rh)27 1.天文學(xué)家根據(jù)觀察研究得出：銀河系中心可能存在一個(gè)大“黑洞”，距“黑洞”6109km的星球以2.0106 m/s速度繞它旋轉(zhuǎn)已知萬有引力常量G6.67 1011Nm2/kg2，求該“黑洞”的質(zhì)量28 2太空中有一顆繞恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的行星，此行星上一晝夜的時(shí)間是太空中有一顆繞恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的行星，此行星上一晝夜的時(shí)間是6h，在，在行星的赤道處用彈簧測(cè)力計(jì)測(cè)量物體的重力的讀數(shù)比在兩極時(shí)測(cè)量的讀數(shù)小行星的赤道處用彈簧測(cè)力計(jì)測(cè)量物體的重力的讀數(shù)比在兩極時(shí)測(cè)量的讀數(shù)小10%.已知引力常量已知引力常量G6.71011Nm2/kg2，求此行星的平均密度，求此行星的平均密度