抽象函數(shù)解題題型大全(例題含答案)參考

1、文檔供參考，可復(fù)制、編制，期待您的好評與關(guān)注！ 高考抽象函數(shù)技巧總結(jié)由于函數(shù)概念比較抽象，學(xué)生對解有關(guān)函數(shù)記號的問題感到困難，學(xué)好這部分知識，能加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解，更好地掌握函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)靈活性；提高解題能力，優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維素質(zhì)?，F(xiàn)將常見解法及意義總結(jié)如下：一、求表達(dá)式：1.換元法：即用中間變量表示原自變量的代數(shù)式，從而求出，這也是證某些公式或等式常用的方法，此法解培養(yǎng)學(xué)生的靈活性及變形能力。例1：已知 ,求.解：設(shè),則2.湊合法：在已知的條件下，把并湊成以表示的代數(shù)式，再利用代換即可求.此解法簡潔，還能進(jìn)一步復(fù)習(xí)代換法。 例2：已知，求解：又，(|1)3.待定系數(shù)法：先確定函數(shù)類型

2、，設(shè)定函數(shù)關(guān)系式，再由已知條件，定出關(guān)系式中的未知系數(shù)。例3 已知二次實函數(shù)，且+2+4,求.解:設(shè)=，則=比較系數(shù)得4.利用函數(shù)性質(zhì)法:主要利用函數(shù)的奇偶性,求分段函數(shù)的解析式.例4.已知=為奇函數(shù),當(dāng) >0時,求解:為奇函數(shù)，的定義域關(guān)于原點對稱，故先求<0時的表達(dá)式。->0,為奇函數(shù)，當(dāng)<0時例5一已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且有+， 求,.解：為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，,不妨用-代換+= 中的,即顯見+即可消去,求出函數(shù)再代入求出5.賦值法：給自變量取特殊值，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出的表達(dá)式例6：設(shè)的定義域為自然數(shù)集，且滿足條件,及=1,求解：的定義域為N，取=1,則有=1,=

3、+2,以上各式相加，有=1+2+3+=二、利用函數(shù)性質(zhì)，解的有關(guān)問題1.判斷函數(shù)的奇偶性：例7 已知,對一切實數(shù)、都成立，且,求證為偶函數(shù)。證明：令=0, 則已知等式變?yōu)樵谥辛?0則2=2 0=1為偶函數(shù)。2.確定參數(shù)的取值范圍例8：奇函數(shù)在定義域（-1，1）內(nèi)遞減，求滿足的實數(shù)的取值范圍。解：由得，為函數(shù)，又在（-1，1）內(nèi)遞減，3.解不定式的有關(guān)題目 例9：如果=對任意的有,比較的大小解：對任意有=2為拋物線=的對稱軸又其開口向上(2)最小，(1)=(3)在2，)上，為增函數(shù)(3)<(4),(2)<(1)<(4) 五類抽象函數(shù)解法1、線性函數(shù)型抽象函數(shù)線性函數(shù)型抽象函數(shù)，

4、是由線性函數(shù)抽象而得的函數(shù)。例1、已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y，均有f（xy）f（x）f（y），且當(dāng)x0時，f（x）0，f（1）2，求f（x）在區(qū)間2，1上的值域。分析：由題設(shè)可知，函數(shù)f（x）是的抽象函數(shù)，因此求函數(shù)f（x）的值域，關(guān)鍵在于研究它的單調(diào)性。解：設(shè)，當(dāng)，即，f（x）為增函數(shù)。在條件中，令yx，則，再令xy0，則f（0）2 f（0）， f（0）0，故f（x）f（x），f（x）為奇函數(shù)，f（1）f（1）2，又f（2）2 f（1）4， f（x）的值域為4，2。例2、已知函數(shù)f（x）對任意，滿足條件f（x）f（y）2 + f（xy），且當(dāng)x0時，f（x）2，f（3）5，求不等式的解

5、。 分析：由題設(shè)條件可猜測：f（x）是yx2的抽象函數(shù)，且f（x）為單調(diào)增函數(shù)，如果這一猜想正確，也就可以脫去不等式中的函數(shù)符號，從而可求得不等式的解。 解：設(shè)，當(dāng)，則， 即，f（x）為單調(diào)增函數(shù)。 ， 又f（3）5，f（1）3。， 即，解得不等式的解為1 < a < 3。2、指數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)例3、設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是（，），滿足條件：存在，使得，對任何x和y，成立。求：（1）f（0）； （2）對任意值x，判斷f（x）值的正負(fù)。分析：由題設(shè)可猜測f（x）是指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，從而猜想f（0）1且f（x）0。解：（1）令y0代入，則，。若f（x）0，則對任意，有，這與題設(shè)矛盾，

6、f（x）0，f（0）1。（2）令yx0，則，又由（1）知f（x）0，f（2x）0，即f（x）0，故對任意x，f（x）0恒成立。例4、是否存在函數(shù)f（x），使下列三個條件：f（x）0，x N；f（2）4。同時成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，說明理由。分析：由題設(shè)可猜想存在，又由f（2）4可得a2故猜測存在函數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（1）x1時，又x N時，f（x）0，結(jié)論正確。（2）假設(shè)時有，則xk1時，xk1時，結(jié)論正確。綜上所述，x為一切自然數(shù)時。3、對數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)對數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)，即由對數(shù)函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。例5、設(shè)f（x）是定義在（0，）上的單調(diào)增函數(shù)，滿足，求：

7、（1）f（1）；（2）若f（x）f（x8）2，求x的取值范圍。分析：由題設(shè)可猜測f（x）是對數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，f（1）0，f（9）2。解：（1），f（1）0。（2），從而有f（x）f（x8）f（9），即，f（x）是（0，）上的增函數(shù)，故，解之得：8x9。例6、設(shè)函數(shù)yf（x）的反函數(shù)是yg（x）。如果f（ab）f（a）f（b），那么g（ab）g（a）·g（b）是否正確，試說明理由。分析: 由題設(shè)條件可猜測yf（x）是對數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，又yf（x）的反函數(shù)是yg（x），yg（x）必為指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，于是猜想g（ab）g（a）·g（b）正確。解：設(shè)f（a）m，f（b）n，

8、由于g（x）是f（x）的反函數(shù)，g（m）a，g（n）b，從而，g（m）·g（n）g（mn），以a、b分別代替上式中的m、n即得g（ab）g（a）·g（b）。4、三角函數(shù)型抽象函數(shù)三角函數(shù)型抽象函數(shù)即由三角函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。例7、己知函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且滿足以下三條件：當(dāng)是定義域中的數(shù)時，有；f（a）1（a0，a是定義域中的一個數(shù)）；當(dāng)0x2a時，f（x）0。試問：（1）f（x）的奇偶性如何？說明理由。（2）在（0，4a）上,f（x）的單調(diào)性如何？說明理由。分析: 由題設(shè)知f（x）是的抽象函數(shù)，從而由及題設(shè)條件猜想：f（x）是奇函數(shù)且在（0，4a）上是增函

9、數(shù)（這里把a(bǔ)看成進(jìn)行猜想）。解：（1）f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且是定義域中的數(shù)時有，在定義域中。，f（x）是奇函數(shù)。（2）設(shè)0x1x22a，則0x2x12a，在（0，2a）上f（x）0，f（x1），f（x2），f（x2x1）均小于零，進(jìn)而知中的，于是f（x1） f（x2），在（0，2a）上f（x）是增函數(shù)。又，f（a）1，f（2a）0，設(shè)2ax4a，則0x2a2a，于是f（x）0，即在（2a，4a）上f（x）0。設(shè)2ax1x24a，則0x2x12a，從而知f（x1），f（x2）均大于零。f（x2x1）0，即f（x1）f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函數(shù)。綜上所述，f（x）在

10、（0，4a）上是增函數(shù)。5、冪函數(shù)型抽象函數(shù)冪函數(shù)型抽象函數(shù)，即由冪函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。 例8、已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y都有f（xy）f（x）·f（y），且f（1）1，f（27）9，當(dāng)時，。（1）判斷f（x）的奇偶性；（2）判斷f（x）在0，）上的單調(diào)性，并給出證明；（3）若，求a的取值范圍。分析：由題設(shè)可知f（x）是冪函數(shù)的抽象函數(shù)，從而可猜想f（x）是偶函數(shù)，且在0，）上是增函數(shù)。解：（1）令y1，則f（x）f（x）·f（1），f（1）1，f（x）f（x），f（x）為偶函數(shù)。（2）設(shè)，時，f（x1）f（x2），故f（x）在0，）上是增函數(shù)。（3）f（27）9，

11、又，又，故。 抽象函數(shù)常見題型解法綜述抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)。由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點之一。本文就抽象函數(shù)常見題型及解法評析如下：一、定義域問題例1. 已知函數(shù)的定義域是1，2，求f(x)的定義域。解：的定義域是1，2，是指，所以中的滿足從而函數(shù)f(x)的定義域是1，4評析：一般地，已知函數(shù)的定義域是A，求f(x)的定義域問題，相當(dāng)于已知中x的取值范圍為A，據(jù)此求的值域問題。例2. 已知函數(shù)的定義域是，求函數(shù)的定義域。解：的定義域是，意思是凡被f作用的對象都在中，由此可得所以函數(shù)的定義域是評析：這類問題

12、的一般形式是：已知函數(shù)f(x)的定義域是A，求函數(shù)的定義域。正確理解函數(shù)符號及其定義域的含義是求解此類問題的關(guān)鍵。這類問題實質(zhì)上相當(dāng)于已知的值域B，且，據(jù)此求x的取值范圍。例2和例1形式上正相反。二、求值問題例3. 已知定義域為的函數(shù)f(x)，同時滿足下列條件：；，求f(3)，f(9)的值。解：取，得因為，所以又取得評析：通過觀察已知與未知的聯(lián)系，巧妙地賦值，取，這樣便把已知條件與欲求的f(3)溝通了起來。賦值法是解此類問題的常用技巧。三、值域問題例4. 設(shè)函數(shù)f(x)定義于實數(shù)集上，對于任意實數(shù)x、y，總成立，且存在，使得，求函數(shù)的值域。解：令，得，即有或。若，則，對任意均成立，這與存在實數(shù)

13、，使得成立矛盾，故，必有。由于對任意均成立，因此，對任意，有下面來證明，對任意設(shè)存在，使得，則這與上面已證的矛盾，因此，對任意所以評析：在處理抽象函數(shù)的問題時，往往需要對某些變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁x值，這是一般向特殊轉(zhuǎn)化的必要手段。四、解析式問題例5. 設(shè)對滿足的所有實數(shù)x，函數(shù)滿足，求f(x)的解析式。解：在中以代換其中x，得：再在(1)中以代換x，得化簡得：評析：如果把x和分別看作兩個變量，怎樣實現(xiàn)由兩個變量向一個變量的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵。通常情況下，給某些變量適當(dāng)賦值，使之在關(guān)系中“消失”，進(jìn)而保留一個變量，是實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略。五、單調(diào)性問題例6. 設(shè)f(x)定義于實數(shù)集上，當(dāng)時，且對于任意實

14、數(shù)x、y，有，求證：在R上為增函數(shù)。證明：在中取，得若，令，則，與矛盾所以，即有當(dāng)時，；當(dāng)時，而所以又當(dāng)時，所以對任意，恒有設(shè)，則所以所以在R上為增函數(shù)。評析：一般地，抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式，應(yīng)看作給定的運(yùn)算法則，則變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應(yīng)盡量與已知式或所給關(guān)系式及所求的結(jié)果相關(guān)聯(lián)。六、奇偶性問題例7. 已知函數(shù)對任意不等于零的實數(shù)都有，試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性。解：取得：，所以又取得：，所以再取則，即因為為非零函數(shù)，所以為偶函數(shù)。七、對稱性問題例8. 已知函數(shù)滿足，求的值。解：已知式即在對稱關(guān)系式中取，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點（0，2002）對稱。根據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系，知函

15、數(shù)的圖象關(guān)于點（2002，0）對稱。所以將上式中的x用代換，得評析：這是同一個函數(shù)圖象關(guān)于點成中心對稱問題，在解題中使用了下述命題：設(shè)a、b均為常數(shù)，函數(shù)對一切實數(shù)x都滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點（a，b）成中心對稱圖形。八、網(wǎng)絡(luò)綜合問題例9. 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對任意實數(shù)m，n，總有，且當(dāng)x>0時，0<f(x)<1。（1）判斷f(x)的單調(diào)性；（2）設(shè)，若，試確定a的取值范圍。解：（1）在中，令，得，因為，所以。在中，令因為當(dāng)時，所以當(dāng)時而所以又當(dāng)x=0時，所以，綜上可知，對于任意，均有。設(shè)，則所以所以在R上為減函數(shù)。（2）由于函數(shù)y=f(x)在R上為減函數(shù)，所以即

16、有又，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，有由，所以直線與圓面無公共點。因此有，解得。評析：（1）要討論函數(shù)的單調(diào)性必然涉及到兩個問題：一是f(0)的取值問題，二是f(x)>0的結(jié)論。這是解題的關(guān)鍵性步驟，完成這些要在抽象函數(shù)式中進(jìn)行。由特殊到一般的解題思想，聯(lián)想類比思維都有助于問題的思考和解決。定義在R上的函數(shù)滿足：且，求的值。 解：由， 以代入，有， 為奇函數(shù)且有 又由 故是周期為8的周期函數(shù)， 例2 已知函數(shù)對任意實數(shù)都有，且當(dāng)時，求在上的值域。 解：設(shè) 且， 則， 由條件當(dāng)時， 又 為增函數(shù)， 令，則 又令 得 ， 故為奇函數(shù)， ， 上的值域為二. 求參數(shù)范圍 這類參數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運(yùn)算式中

17、，關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內(nèi)的增減性，去掉“”符號，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式組求解，但要特別注意函數(shù)定義域的作用。 例3 已知是定義在（）上的偶函數(shù)，且在（0，1）上為增函數(shù)，滿足，試確定的取值范圍。 解：是偶函數(shù)，且在（0，1）上是增函數(shù)， 在上是減函數(shù)， 由得。 （1）當(dāng)時， ，不等式不成立。 （2）當(dāng)時， （3）當(dāng)時， 綜上所述，所求的取值范圍是。例4 已知是定義在上的減函數(shù)，若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。 解： 對恒成立 對恒成立 對恒成立， 三. 解不等式 這類不等式一般需要將常數(shù)表示為函數(shù)在某點處的函數(shù)值，再通過函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號“”，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解。 例5 已知函數(shù)

18、對任意有，當(dāng)時，求不等式的解集。 解：設(shè)且 則 ， 即， 故為增函數(shù)， 又 因此不等式的解集為。四. 證明某些問題 例6 設(shè)定義在R上且對任意的有，求證：是周期函數(shù)，并找出它的一個周期。 分析：這同樣是沒有給出函數(shù)表達(dá)式的抽象函數(shù)，其一般解法是根據(jù)所給關(guān)系式進(jìn)行遞推，若能得出（T為非零常數(shù)）則為周期函數(shù)，且周期為T。 證明： 得 由（3）得 由（3）和（4）得。 上式對任意都成立，因此是周期函數(shù)，且周期為6。 例7 已知對一切，滿足，且當(dāng)時，求證：（1）時，（2）在R上為減函數(shù)。 證明：對一切有。 且，令，得， 現(xiàn)設(shè)，則， 而 ， 設(shè)且， 則 ， 即為減函數(shù)。五. 綜合問題求解 抽象函數(shù)的綜合

19、問題一般難度較大，常涉及到多個知識點，抽象思維程度要求較高，解題時需把握好如下三點：一是注意函數(shù)定義域的應(yīng)用，二是利用函數(shù)的奇偶性去掉函數(shù)符號“”前的“負(fù)號”，三是利用函數(shù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號“”。 例8 設(shè)函數(shù)定義在R上，當(dāng)時，且對任意，有，當(dāng)時。 （1）證明； （2）證明：在R上是增函數(shù)； （3）設(shè)， ，若，求滿足的條件。 解：（1）令得， 或。 若，當(dāng)時，有，這與當(dāng)時，矛盾， 。 （2）設(shè)，則，由已知得，因為，若時，由 （3）由得 由得 （2） 從（1）、（2）中消去得，因為 ， 即 例9 定義在（）上的函數(shù)滿足（1），對任意都有， （2）當(dāng)時，有， （1）試判斷的奇偶性；（2）判斷的單調(diào)

20、性； （3）求證。 分析：這是一道以抽象函數(shù)為載體，研究函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，再以這些性質(zhì)為基礎(chǔ)去研究數(shù)列求和的綜合題。 解：（1）對條件中的，令，再令可得 ，所以是奇函數(shù)。 （2）設(shè)，則 ， ，由條件（2）知，從而有，即，故上單調(diào)遞減，由奇函數(shù)性質(zhì)可知，在（0，1）上仍是單調(diào)減函數(shù)。 （3） 抽象函數(shù)問題分類解析 我們將沒有明確給出解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù)。近年來抽象函數(shù)問題頻頻出現(xiàn)于各類考試題中，由于這類問題抽象性強(qiáng)，靈活性大，多數(shù)同學(xué)感到困惑，求解無從下手。本文試圖通過實例作分類解析，供學(xué)習(xí)參考。 1. 求定義域 這類問題只要緊緊抓?。簩⒑瘮?shù)中的看作一個整體，相當(dāng)于中的x這一特性，問題就

21、會迎刃而解。 例1. 函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是_。 分析：因為相當(dāng)于中的x，所以，解得或。 例2. 已知的定義域為，則的定義域是_。 分析：因為及均相當(dāng)于中的x，所以 (1)當(dāng)時，則 (2)當(dāng)時，則 2. 判斷奇偶性 根據(jù)已知條件，通過恰當(dāng)?shù)馁x值代換，尋求與的關(guān)系。 例3. 已知的定義域為R，且對任意實數(shù)x，y滿足，求證：是偶函數(shù)。 分析：在中，令， 得 令，得 于是 故是偶函數(shù)。 例4. 若函數(shù)與的圖象關(guān)于原點對稱，求證：函數(shù)是偶函數(shù)。 證明：設(shè)圖象上任意一點為P（） 與的圖象關(guān)于原點對稱， 關(guān)于原點的對稱點在的圖象上， 又 即對于函數(shù)定義域上的任意x都有，所以是偶函數(shù)。 3. 判斷

22、單調(diào)性 根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì)，畫出函數(shù)的示意圖，以形助數(shù)，問題迅速獲解。 例5. 如果奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)且有最小值為5，那么在區(qū)間上是 A. 增函數(shù)且最小值為B. 增函數(shù)且最大值為 C. 減函數(shù)且最小值為D. 減函數(shù)且最大值為 分析：畫出滿足題意的示意圖1，易知選B。圖1 例6. 已知偶函數(shù)在上是減函數(shù)，問在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論。 分析：如圖2所示，易知在上是增函數(shù)，證明如下： 任取 因為在上是減函數(shù)，所以。 又是偶函數(shù)，所以 ， 從而，故在上是增函數(shù)。 圖2 4. 探求周期性 這類問題較抽象，一般解法是仔細(xì)分析題設(shè)條件，通過類似，聯(lián)想出函數(shù)原型，通過對函數(shù)原

23、型的分析或賦值迭代，獲得問題的解。 例7. 設(shè)函數(shù)的定義域為R，且對任意的x，y有，并存在正實數(shù)c，使。試問是否為周期函數(shù)？若是，求出它的一個周期；若不是，請說明理由。 分析：仔細(xì)觀察分析條件，聯(lián)想三角公式，就會發(fā)現(xiàn)：滿足題設(shè)條件，且，猜測是以2c為周期的周期函數(shù)。 故是周期函數(shù)，2c是它的一個周期。 5. 求函數(shù)值 緊扣已知條件進(jìn)行迭代變換，經(jīng)有限次迭代可直接求出結(jié)果，或者在迭代過程中發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有周期性，利用周期性使問題巧妙獲解。 例8. 已知的定義域為，且對一切正實數(shù)x，y都成立，若，則_。 分析：在條件中，令，得 ， 又令， 得， 例9. 已知是定義在R上的函數(shù)，且滿足：，求的值。 分析

24、：緊扣已知條件，并多次使用，發(fā)現(xiàn)是周期函數(shù)，顯然，于是 ， 所以 故是以8為周期的周期函數(shù)，從而 6. 比較函數(shù)值大小 利用函數(shù)的奇偶性、對稱性等性質(zhì)將自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用其單調(diào)性使問題獲解。 例10. 已知函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù)，時，是增函數(shù)，若，且，則的大小關(guān)系是_。 分析：且， 又時，是增函數(shù)， 是偶函數(shù)， 故7. 討論方程根的問題 例11. 已知函數(shù)對一切實數(shù)x都滿足，并且有三個實根，則這三個實根之和是_。 分析：由知直線是函數(shù)圖象的對稱軸。 又有三個實根，由對稱性知必是方程的一個根，其余兩根關(guān)于直線對稱，所以，故。 8. 討論不等式的解 求解這類問題利用函數(shù)的單調(diào)

25、性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，脫去函數(shù)符號。 例12. 已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且對一切實數(shù)x，不等式恒成立，求k的值。 分析：由單調(diào)性，脫去函數(shù)記號，得 由題意知(1)(2)兩式對一切恒成立，則有 9. 研究函數(shù)的圖象 這類問題只要利用函數(shù)圖象變換的有關(guān)結(jié)論，就可獲解。 例13. 若函數(shù)是偶函數(shù)，則的圖象關(guān)于直線_對稱。 分析：的圖象的圖象，而是偶函數(shù)，對稱軸是，故的對稱軸是。 例14. 若函數(shù)的圖象過點（0，1），則的反函數(shù)的圖象必過定點_。 分析：的圖象過點（0，1），從而的圖象過點，由原函數(shù)與其反函數(shù)圖象間的關(guān)系易知，的反函數(shù)的圖象必過定點。10. 求解析式 例15. 設(shè)函數(shù)存在反函數(shù)，與的圖象關(guān)于

26、直線對稱，則函數(shù) A. B. C. D. 分析：要求的解析式，實質(zhì)上就是求圖象上任一點的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系。 點關(guān)于直線的對稱點適合，即。 又， 即，選B。抽象函數(shù)的周期問題 2001年高考數(shù)學(xué)（文科）第22題：設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱。對任意都有。 （I）設(shè)求； （II）證明是周期函數(shù)。 解析：（I）解略。 （II）證明：依題設(shè)關(guān)于直線對稱 故 又由是偶函數(shù)知 將上式中以代換，得 這表明是上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期 是偶函數(shù)的實質(zhì)是的圖象關(guān)于直線對稱 又的圖象關(guān)于對稱，可得是周期函數(shù) 且2是它的一個周期 由此進(jìn)行一般化推廣，我們得到 思考一：設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，其圖

27、象關(guān)于直線對稱，證明是周期函數(shù)，且是它的一個周期。 證明：關(guān)于直線對稱 又由是偶函數(shù)知 將上式中以代換，得 是上的周期函數(shù) 且是它的一個周期 思考二：設(shè)是定義在上的函數(shù)，其圖象關(guān)于直線和對稱。證明是周期函數(shù)，且是它的一個周期。 證明：關(guān)于直線對稱 將上式的以代換得 是上的周期函數(shù) 且是它的一個周期 若把這道高考題中的“偶函數(shù)”換成“奇函數(shù)”，還是不是周期函數(shù)？經(jīng)過探索，我們得到 思考三：設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱。證明是周期函數(shù)，且4是它的一個周期。， 證明：關(guān)于對稱 又由是奇函數(shù)知 將上式的以代換，得 是上的周期函數(shù) 且4是它的一個周期 是奇函數(shù)的實質(zhì)是的圖象關(guān)于原點（0，0）

28、中心對稱，又的圖象關(guān)于直線對稱，可得是周期函數(shù)，且4是它的一個周期。由此進(jìn)行一般化推廣，我們得到 思考四：設(shè)是定義在上的函數(shù)，其圖象關(guān)于點中心對稱，且其圖象關(guān)于直線對稱。證明是周期函數(shù)，且是它的一個周期。 32 / 32 證明：關(guān)于點對稱 關(guān)于直線對稱 將上式中的以代換，得 是上的周期函數(shù) 且是它的一個周期 由上我們發(fā)現(xiàn)，定義在上的函數(shù)，其圖象若有兩條對稱軸或一個對稱中心和一條對稱軸，則是上的周期函數(shù)。進(jìn)一步我們想到，定義在上的函數(shù)，其圖象如果有兩個對稱中心，那么是否為周期函數(shù)呢？經(jīng)過探索，我們得到 思考五：設(shè)是定義在上的函數(shù)，其圖象關(guān)于點和對稱。證明是周期函數(shù)，且是它的一個周期。 證明：關(guān)于

29、對稱 將上式中的以代換，得 是周期函數(shù) 且是它的一個周期抽象函數(shù)解法例談 抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像,只給出一些函數(shù)符號及其滿足的條件的函數(shù),如函數(shù)的定義域,解析遞推式,特定點的函數(shù)值,特定的運(yùn)算性質(zhì)等,它是高中函數(shù)部分的難點,也是大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個銜接點,由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達(dá)式作為載體,因此理解研究起來比較困難.但由于此類試題即能考查函數(shù)的概念和性質(zhì),又能考查學(xué)生的思維能力,所以備受命題者的青睞,那么,怎樣求解抽象函數(shù)問題呢,我們可以利用特殊模型法,函數(shù)性質(zhì)法,特殊化方法,聯(lián)想類比轉(zhuǎn)化法,等多種方法從多角度,多層面去分析研究抽象函數(shù)問題,一:函數(shù)性質(zhì)法函數(shù)的

30、特征是通過其性質(zhì)(如奇偶性,單調(diào)性周期性,特殊點等)反應(yīng)出來的,抽象函數(shù)也是如此,只有充分挖掘和利用題設(shè)條件和隱含的性質(zhì),靈活進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化,抽象函數(shù)問題才能轉(zhuǎn)化,化難為易,常用的解題方法有:1,利用奇偶性整體思考;2,利用單調(diào)性等價轉(zhuǎn)化;3,利用周期性回歸已知4;利用對稱性數(shù)形結(jié)合;5,借助特殊點,布列方程等.二:特殊化方法1在求解函數(shù)解析式或研究函數(shù)性質(zhì)時,一般用代換的方法,將x換成-x或?qū)換成等2在求函數(shù)值時,可用特殊值代入3研究抽象函數(shù)的具體模型,用具體模型解選擇題,填空題,或由具體模型函數(shù)對綜合題,的解答提供思路和方法.總之,抽象函數(shù)問題求解,用常規(guī)方法一般很難湊效,但我們?nèi)绻芡ㄟ^

31、對題目的信息分析與研究,采用特殊的方法和手段求解,往往會收到事半功倍之功效,真有些山窮水復(fù)疑無路,柳暗花明又一村的快感.1 已知函數(shù)f(x)對任意x、yR都有f(x+y)f(x)+ f(y)+3xy(x+y+2)+3,且f(1)=1若t為自然數(shù),(t>0)試求f(t)的表達(dá)式滿足f(t)=t的所有整數(shù)t能否構(gòu)成等差數(shù)列?若能求出此數(shù)列,若不能說明理由若t為自然數(shù)且t4時, f(t) mt2+(4m+1)t+3m,恒成立,求m的最大值.2 已知函數(shù)f(x)= ,且f(x),g(x)定義域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是增函數(shù). g(m) · g(n)=

32、 g(m+n)(m、nR) 求證：f(x)是R上的增函數(shù)當(dāng)nN,n3時,f(n)>解: 設(shè)x1>x2 g(x)是R上的增函數(shù), 且g(x)>0 g(x1) > g(x2) >0 g(x1)+1 > g(x2)+1 >0 > >0 - >0 f(x1)- f(x2)=- =1-(1-) =->0 f(x1) >f(x2) f(x)是R上的增函數(shù) g(x) 滿足g(m) · g(n)= g(m+n)(m、nR) 且g(x)>0 g(n)= g(1)n=2n 當(dāng)nN,n3時, 2n>n f(n)=1- ，1

33、- 2n（1+1）n1+n+n+1>2n+1 2n+1>2n+2<,即1->1-當(dāng)nN,n3時,f(n)>3 設(shè)f1(x) f2(x)是(0,+)上的函數(shù),且f1(x)單增,設(shè)f(x)= f1(x) +f2(x) ,且對于(0,+)上的任意兩相異實數(shù)x1, x2恒有| f1(x1) f1(x2)| >| f2(x1) f2(x2)|求證：f (x)在(0,+)上單增.設(shè)F(x)=x f (x), a>0、b>0.求證：F(a+b)> F(a)+F(b) .證明:設(shè) x1>x2>0f1(x) 在(0,+)上單增f1(x1) f1(

34、x2)>0| f1(x1) f1(x2)|= f1(x1) f1(x2)>0| f1(x1) f1(x2)| >| f2(x1) f2(x2)|f1(x2)- f1(x1)<f2(x1) f2(x2)< f1(x1) f1(x2)f1(x1)+f2(x1)> f1(x2)+ f2(x2)f(x1)> f(x2)f (x)在(0,+)上單增F(x)=x f (x), a>0、b>0a+b>a>0,a+b>b>0F(a+b)=(a+b)f(a+b)=af(a+b)+bf(a+b)f (x)在(0,+)上單增F(a+b)&

35、gt;af(a)+bf(b)= F(a)+F(b)4 函數(shù)yf(x)滿足f(a+b)f (a)·f (b)，f(4)16, m、n為互質(zhì)整數(shù)，n0求f()的值f(0) =f(0+0)=f(0) ·f(0)=f2(0)f(0) =0或1.若f(0)=0則f(4)=16=f(0+4)=f(0) ·f(4)=0.(矛盾)f(1)=1f(4)=f(2) ·f(2)=f(1) ·f(1) ·f(1) ·f(1)=16f(1)=f2()0f(1)=2.仿此可證得f(a)0.即y=f(x)是非負(fù)函數(shù).f(0)=f(a+(-a)=f(a) ·f(-a)f(-a)=nN*時f(n)=fn(1)=2n,f(-n)=2-nf(1)=f(+)=fn()=2f()= f()=f()m= 5 定義在（-1，1）上的函數(shù)f (x)滿足 任意x、y（-1，1）都有f(x)+ f(y)f ()，x（-1，0）時，有f(x) >01) 判定f(x)在（-1，1）上的奇偶性，并說明理由2) 判定f(x)在（-1，0）上的單調(diào)性，并給出證明3) 求證：f ()f ()f ()或f ()+f ()+f ()> f () (nN*) 解:1) 定義在（-1，1）上的函數(shù)f (x)滿足任意x、y（-1，1）都有f