電動(dòng)力學(xué)計(jì)算題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一章1. 電荷Q均勻分布于半徑為a的球體內(nèi)，求各點(diǎn)的電場強(qiáng)度，并由此直接計(jì)算電場的散度（共10分）解：由高斯定理時(shí)， （2分）寫成矢量式得 （1分） 時(shí)，球面所圍電荷為 （1分） （2分）時(shí)， （） （2分） （2分）2. 電流I均勻分布于半徑為a的無窮長直導(dǎo)線內(nèi)，求空間各點(diǎn)的磁場強(qiáng)度，并由此計(jì)算磁場的旋度。解：在與導(dǎo)線垂直的平面上作一半徑為r的圓，圓心在導(dǎo)線軸上。由對(duì)稱性，在圓周各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度有相同數(shù)值，并沿圓周環(huán)繞方向。先求磁感強(qiáng)度：(1) 當(dāng)r>a時(shí)，通過圓內(nèi)的總電流為I，用安培環(huán)路定理得因此，可以得出 (r>a)式中e為圓周環(huán)繞方向單位矢量。(

2、2) 若r<a,則通過圓內(nèi)的總電流為應(yīng)用安培環(huán)路定理得因而，得出 (r<a) 用柱坐標(biāo)的公式求磁場的旋度：(1) 當(dāng)r>a時(shí)由我們求出的B得出 (r>a)(2) 當(dāng)r<a時(shí)，由上面的式子得 (r<a) 3. 有一內(nèi)外半徑分別為和的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的電容率為，使介質(zhì)球內(nèi)均勻帶靜止自由電荷，求：（1）空間各點(diǎn)的電場；（2）極化體電荷和極化面電荷分布。解：（1）設(shè)場點(diǎn)到球心距離為。以球心為中心，以為半徑作一球面作為高斯面。由對(duì)稱性可知，電場沿徑向分布，且相同處場強(qiáng)大小相同。當(dāng)時(shí)， 。當(dāng)時(shí)， ， ，向量式為 當(dāng)時(shí)， 向量式為 （2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，4. 內(nèi)外半徑分

3、別為和的無窮長中空導(dǎo)體圓柱，沿軸向流有恒定均勻自由電流，導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為，求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流。解：（1）以圓柱軸線上任一點(diǎn)為圓心，在垂直于軸線平面內(nèi)作一圓形閉合回路，設(shè)其半徑為。由對(duì)稱性可知，磁場在垂直于軸線的平面內(nèi)，且與圓周相切。當(dāng) 時(shí)，由安培環(huán)路定理得：當(dāng) 時(shí)，由環(huán)路定理得：所以 ， 向量式為 當(dāng) 時(shí)，所以 ， 向量式為 （2）當(dāng) 時(shí)，磁化強(qiáng)度為所以 在 處，磁化面電流密度為在 處，磁化面電流密度為向量式為 5. 平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)，它們的厚度分別為和，電容率為和，今在兩板接上電動(dòng)勢為E 的電池，求：（1）電容器兩極板上的自由電荷面密度和；（2）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度。(若介

4、質(zhì)是漏電的，電導(dǎo)率分別為和 當(dāng)電流達(dá)到恒定時(shí)，上述兩物體的結(jié)果如何？)解：忽略邊緣效應(yīng)，平行板電容器內(nèi)部場強(qiáng)方向垂直于極板，且介質(zhì)中的場強(qiáng)分段均勻，分別設(shè)為和，電位移分別設(shè)為和，其方向均由正極板指向負(fù)極板。當(dāng)介質(zhì)不漏電時(shí)，介質(zhì)內(nèi)沒有自由電荷，因此，介質(zhì)分界面處自由電荷面密度為取高斯柱面，使其一端在極板A內(nèi)，另一端在介質(zhì)1內(nèi)，由高斯定理得：同理，在極板B內(nèi)和介質(zhì)2內(nèi)作高斯柱面，由高斯定理得：在介質(zhì)1和介質(zhì)2內(nèi)作高斯柱面，由高斯定理得：所以有 ， 由于 E 所以 E 當(dāng)介質(zhì)漏電時(shí)，重復(fù)上述步驟，可得：， ， 介質(zhì)1中電流密度 介質(zhì)2中電流密度 由于電流恒定，再由 E 得E E EEE6. 同軸傳輸

5、線內(nèi)導(dǎo)線半徑為a，外導(dǎo)線半徑為b，兩導(dǎo)線間為均勻絕緣介質(zhì)(如圖所示)。導(dǎo)線載有電流I，兩導(dǎo)線間的電壓為U。(1) 忽略導(dǎo)線的電阻，計(jì)算介質(zhì)中的能流；(2) 若內(nèi)導(dǎo)線的電導(dǎo)率為，計(jì)算通過內(nèi)導(dǎo)線表面進(jìn)入導(dǎo)線內(nèi)的能流，證明它等于導(dǎo)線的損耗功率。解：(1)以距對(duì)稱軸為r的半徑作一圓周(a<r<b),應(yīng)用安培環(huán)路定律,由對(duì)稱性得因而導(dǎo)線表面上一般帶有電荷，設(shè)內(nèi)導(dǎo)線單位長度的電荷(電荷線密度)為，應(yīng)用高斯定理由對(duì)稱性，可得，因而能流密度為式中ez為沿導(dǎo)線軸向單位矢量。兩導(dǎo)線間的電壓為:把S對(duì)兩導(dǎo)線間圓環(huán)狀截面積積分得：UI即為通常在電路問題中的傳輸功率表達(dá)式。可見這功率是在場中傳輸?shù)摹?2)設(shè)

6、導(dǎo)線的電導(dǎo)率為，由歐姆定律,在導(dǎo)線內(nèi)有由于電場切向分量是連續(xù)的,因此在緊貼內(nèi)導(dǎo)線表面的介質(zhì)內(nèi)，電場除有徑向分量Er外，還有切向分量Ez。因此,能流S除有沿z軸傳輸?shù)姆至縎z外, 還有沿徑向的分量Sr流進(jìn)長度為l的導(dǎo)線內(nèi)部的功率為7. 根據(jù)算符的性質(zhì)，推導(dǎo)下列公式 ·解：由·· 得 ·· · 8. 由麥克斯韋方程組導(dǎo)出電流連續(xù)性方程。解：由麥?zhǔn)戏匠?上式兩邊求散度 （1） （1）左邊 且 所以有 9. 已知電容率為e的均勻介質(zhì)內(nèi)部體自由電荷密度為rf，求這種介質(zhì)的體極化電荷密度rp。解： 第二章10. 一個(gè)內(nèi)半徑和外半徑分別維R2和R3

7、的導(dǎo)體球殼，帶電荷為Q。同心地包圍著一個(gè)半徑為R1的導(dǎo)體球(R1<R2)，使半徑R1的導(dǎo)體球接地，求空間各點(diǎn)的電勢和這個(gè)導(dǎo)體球的感應(yīng)電荷。解: QR1R2R3第一步：分析題意，找出定解條件。根據(jù)題意，具有球?qū)ΨQ性，電勢不依賴于4極角和方位角，只與半徑r有關(guān)，即 (3.38)故定解條件為 (3.39)邊界條件導(dǎo)體接地有 (3.40)整個(gè)導(dǎo)體球殼為等勢體，有 (3.41)球殼帶電量為Q，根據(jù)Gauss定理 (3.42)得到 (3.43)第二步，根據(jù)定解條件確定通解和待定常數(shù)。由方程(3.39)可看出，電勢不依賴于，取n=0; 不依賴于，取，故得到導(dǎo)體球殼內(nèi)、外空間的電勢： (3.44)由(3

8、.40)式得 (3.45)從而得到 (3.46)由(3.41)式得 (3.47)由(3.42)式得 (3.48)即 (3.49)將(3.49)式代入(3.48)式，即得 (3.50)令 (3.51)因此得到 (3.52)將A, B, C, D系數(shù)代入到(3.46)式，即得電勢的解為 (3.53)導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷為 (3.54)11. 到體內(nèi)有一半徑為R的球形空腔，腔內(nèi)充滿電容率為的均勻電解質(zhì)，現(xiàn)將電荷量為q 的點(diǎn)電荷放在腔內(nèi)離球心為()處，已知導(dǎo)體電勢為0，試求：腔內(nèi)任一點(diǎn)的電勢。解：假設(shè)球內(nèi)有點(diǎn)電荷可代替球面上感應(yīng)電荷，由對(duì)稱性應(yīng)放在的連線上。選擇的位置大小，使球面上的=0，滿足唯一性定理

9、，解唯一合法。考慮兩個(gè)特殊點(diǎn)A，B （2分）A到 （2分）A到 B到 （2分）B到 ， （2分） （2分）（1分）12. 介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)球，半徑為R，被置于均勻外場中，球外為真空。求電勢分布。解:第一步，根據(jù)題意，找出定解條件。由于這個(gè)問題具有軸對(duì)稱性，取極軸z沿外電場方向，介質(zhì)球的存在使空間分為兩個(gè)均勻的區(qū)域球內(nèi)和球外。兩區(qū)域內(nèi)都沒有自由電荷。因此電勢滿足Laplace方程。以代表球外區(qū)域的電勢，代表球內(nèi)區(qū)域的電勢，故 (3.55) (3.56)第二步，根據(jù)定解條件確定通解和待定常數(shù)由于問題具有軸對(duì)稱性，即電勢與方向角無關(guān)，故 (3.57)由(3.55)式得 (3.58)比較兩邊系數(shù)，

10、得 (3.59)由(3.56)式得 (3.60)從中可見 (3.61)故有 (3.62)根據(jù)(3.55)、(3.56)式，可得 (3.63)比較的系數(shù)，得 (3.64) (3.65)由(3.65)式給出 (3.66)由(3.64)式給出 (3.67)由此得到電勢為 (3.68)相應(yīng)的球內(nèi)和球外的電場強(qiáng)度為 (3.69)其中 (3.70)第二項(xiàng)和第三項(xiàng)之和實(shí)際上是一個(gè)等效的放在原點(diǎn)的偶極子在球外產(chǎn)生的電場，其電偶極矩為 (3.71)因此，球外區(qū)域的電場為 (3.72)而 (3.73)同理得到 (3.74)由此可見，球內(nèi)的場是一個(gè)與球外場平行的恒定場。而且球內(nèi)電場比原則外場為弱，這是極化電荷造成的

11、。在球內(nèi)總電場作用下，介質(zhì)球的極化強(qiáng)度為 (3.75)介質(zhì)球的總電偶極矩為 (3.76)oR0ee0zj1j213. 半徑為，電容率為的介質(zhì)球置于均勻電場中，球外為真空，設(shè)球外電勢分布為，球內(nèi)電勢分布為，試用分離變量法求空間電勢j1和j2以及球內(nèi)的電場。解：(見教材第49頁例題2.) 取極軸通過球心沿外電場方向，以代表球外區(qū)域的電勢，代表球內(nèi)的電勢。此問題有軸對(duì)稱性，球內(nèi)外均無自由電荷，因此j1、j2滿足拉普拉斯方程，其通解為 邊界條件包括：由邊界條件（1）,得 因而 由邊界條件（2）得 由邊界條件（3）得 由邊界條件（4）得 比較系數(shù)得 由以上兩式得 比較其他項(xiàng)系數(shù)得 于是得電勢為 球內(nèi)的電

12、場為 14. 在電容率為e的無限大均勻介質(zhì)內(nèi)，有一個(gè)半徑為R0的球形空腔，和一個(gè)外加均勻電場。用分離變量法求空腔內(nèi)電勢分布。（14分）e0Ze解：（將教材第49頁例題2的e與e0交換即為本題）設(shè)球腔內(nèi)、外電勢分別為j1、j2，應(yīng)具有軸對(duì)稱性。（1）球內(nèi)外均無自由電荷，因此j1、j2滿足拉普拉斯方程，其通解為 （2）取原點(diǎn)電勢為有限值，可設(shè)為0邊界條件： （3）由邊值關(guān)系1 Þ bn=0；1分由邊值關(guān)系2 Þ c1=-E0, cn=0, n¹1 1分由邊值關(guān)系3 Þ 由邊值關(guān)系4 Þ （5）在(a)、(b)中比較系數(shù) Þ an = 0

13、dn = 0, n¹1 （6）空腔內(nèi)電勢分布為： 15. 在均勻外電場中置入半徑為R0的導(dǎo)體球，導(dǎo)體球上接有電池，使球與地保持電勢差F0，求導(dǎo)體球外真空中的電勢j2。解：以導(dǎo)體球心作原點(diǎn)建立球坐標(biāo)。微分方程及其通解： 選擇電勢參考點(diǎn)：導(dǎo)體置入前原點(diǎn)電勢為j0邊界條件： 確定j2中的待定系數(shù)an、bn ：由1）；由2）Þ 以上取j0=0亦可。（若無求解系數(shù)的的過程，只寫出正確答案則扣2分。）16. 均勻介質(zhì)球的中心置一點(diǎn)電荷Qf ,球的電容率為,球外為真空,試用分離變量法求空間電勢分布。解：以球心為原點(diǎn)建立球坐標(biāo)系。自由電荷分布有限，設(shè)無窮遠(yuǎn)處電勢為0。本題所求的電勢是由點(diǎn)電

14、荷Qf與介質(zhì)球的極化電荷兩者各自產(chǎn)生的電勢的疊加。因此，其解為 其中j'為球面極化電荷產(chǎn)生的電勢，j'滿足拉普拉斯方程 由于j是球?qū)ΨQ的，其通解為 邊界條件 邊值關(guān)系 由， 得 b=0 由， 得 c=0 )由得 由，得 將（2）式代入（1）式，得 PfR1R2zj2j1j0o17. 空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)、外半徑為R1 和R2，球心置一電偶極子Pf，球殼帶電Q，求空間電勢分布。解：以球殼球心為原點(diǎn)建立球坐標(biāo)系。自由電荷分布有限，設(shè)無窮遠(yuǎn)處電勢為0。整個(gè)區(qū)域分為2部分：球殼內(nèi)I，殼外空間II。殼外電勢j2滿足拉普拉斯方程；殼內(nèi)心有自由電偶極子，因此電勢j1滿足泊松方程而非拉普拉斯方程。

15、球殼為等勢體，設(shè)電勢為j0。應(yīng)用疊加法。已知自由電偶極子P 在真空中產(chǎn)生的電勢即泊松方程的特解 電場有軸對(duì)稱性，電勢j1、j2的通解 無窮遠(yuǎn)處電勢為0，邊界條件為 確定通解中的待定系數(shù)：由邊值關(guān)系1）Þ；由邊值關(guān)系2）Þ 由邊值關(guān)系3）得；由邊值關(guān)系4） 最后得球殼內(nèi)外的電勢j1、j2 e2e1Qf2R0j2j118. 半徑為R0的均勻介質(zhì)球（電容率為1）的中心置一點(diǎn)電荷Qf，球外充滿另一種介質(zhì)（電容率為2），試用分離變量法求空間電勢.解：以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立球坐標(biāo)系，自由電荷分布有限，設(shè)無窮遠(yuǎn)處電勢為0。本題所求的電勢是由點(diǎn)電荷Qf產(chǎn)生的電勢與介質(zhì)球的極化電荷產(chǎn)生的電勢j

16、'的疊加。整個(gè)區(qū)域分為球內(nèi)、球外2部分：無論在球內(nèi)還是在球外，j'都滿足拉普拉斯方程。該問題具有球?qū)ΨQ性，球內(nèi)外的電勢分別為：邊界條件為： 由邊界條件(I)(II)得：從而有：再由邊界條件（III）得：故球內(nèi)外的電勢為： e1pfR0jIIjIe0z19. 均勻介質(zhì)球的電容率為e1，其中心置一電偶極子，球外為真空，求空間各點(diǎn)的電勢。解：以球心為原點(diǎn)建立球坐標(biāo)系。自由電荷分布有限，設(shè)無窮遠(yuǎn)處電勢為0?？臻g各點(diǎn)的電勢是電偶極子的電勢與球面上的極化電荷所產(chǎn)生的電勢j'的疊加， 令 j'滿足拉普拉斯方程 所以有 電場有軸對(duì)稱性，介質(zhì)球內(nèi)外的電勢通解形式為邊界條件 邊值關(guān)

17、系 確定解中的待定系數(shù)an、bn、cn、dn由邊界關(guān)系1）可得： 由邊界關(guān)系2）可得： 由邊界關(guān)系3）和4）可得：及 則介質(zhì)球內(nèi)的電勢：介質(zhì)球外的電勢： 20. 據(jù)接地?zé)o限大導(dǎo)體平面附近處放置一點(diǎn)電荷Q，用鏡像法求空間任意一xaQP(x,y,z)Rze0點(diǎn)P的電勢。解：（見教材第53頁例題1）邊界條件：導(dǎo)體面上（C為常數(shù)）根據(jù)邊界條件考慮像電荷電量及位置：電量：， 位置： (0, 0, -a) 2分 21. 真空中有一半徑為的接地導(dǎo)體球，距球心為a(a>)處有一點(diǎn)電荷Q,如圖示, 試用鏡象法求空間任意一點(diǎn)的電勢。(設(shè)鏡象電荷Q距球心為b)aQoR0解： 用球內(nèi)一假想的點(diǎn)電荷Q代替球面上感

18、應(yīng)電荷對(duì)空間電場的作用。由對(duì)稱性，Q應(yīng)在OQ連線上?？紤]球面上任意一點(diǎn)P（如圖a所示），邊界條件要求 因此對(duì)球面上任意一點(diǎn)，應(yīng)有 由圖b可見，只要選Q的位置使OQPOPQ，則 設(shè)Q據(jù)球心為b，兩三角形相似的條件為 由上式可得Q據(jù)球心的距離為 由 和 可得Q的大小為 因Q和鏡像電荷Q激發(fā)的總電場能滿足在導(dǎo)體面上j=0的邊界條件，因此是空間中電場的正確解答。球外任意一點(diǎn)的電勢為 式中r為由Q到點(diǎn)場點(diǎn)P的距離，r為由Q到點(diǎn)P的距離，R為由球心O到點(diǎn)P的距離，q為OP與OQ的夾角。22. 真空中，有一半徑為R0的導(dǎo)體球，不接地，在與球心相距為a（a > R0）處有一點(diǎn)電荷Q，試用鏡像法求導(dǎo)體球外

19、的電勢。解：導(dǎo)體球不接地，則導(dǎo)體球面為等勢面，電勢不為零，球面上必感應(yīng)出等量正、負(fù)電荷，但感應(yīng)電荷總量為零。（1）已知接地時(shí)，在離球心b處放置Q¢，保證球面為等勢面且電勢為0，但不能保證球面總電荷為0； （2）為使球面總電荷為零，且為等勢面，根據(jù)對(duì)稱性可知，還必須在球心處再放一個(gè)Q¢¢=-Q¢，這個(gè)電荷既不破壞球面等勢性，又使球面總電荷為零。 （3）導(dǎo)體球外電勢為點(diǎn)電荷Q、像電荷Q'、-Q'共同產(chǎn)生的電勢23. 半徑為R0的導(dǎo)體球，不接地且電勢為U0，在與球心相距為a (a > R0) 的一點(diǎn)放置點(diǎn)電荷Q，求導(dǎo)體球外電勢。解：(1)

20、 已知接地時(shí)，在離球心b處放置，可以保證球面為等勢面且電勢為零，但不能保證球面總電荷為零； 當(dāng)球不接地時(shí)，球面上必感應(yīng)出等量正、負(fù)電荷，即感應(yīng)電荷總量為零。為使球面總電荷為零，且為等勢面，根據(jù)對(duì)稱性可知，應(yīng)在球心處放一個(gè)像電荷 因此導(dǎo)體球表面的電勢即為最后放置的電荷產(chǎn)生的電勢 (2) 為保證導(dǎo)體球的電勢為U0，相當(dāng)于在球心處再放置一個(gè)點(diǎn)電荷，因此和在球表面共同產(chǎn)生的電勢為U0，即 (3) 導(dǎo)體球外電勢為點(diǎn)電荷、像電荷、共同產(chǎn)生的電勢 abz24. 在接地的導(dǎo)體平面上有一半徑為a 的半球凸部，半球的球心在導(dǎo)體平面上。點(diǎn)電荷Q 位于系統(tǒng)的對(duì)稱軸上并與平面相距為b，b > a，若取豎直向上為z

21、方向，（1）用鏡象法求空間電勢時(shí)，需放置的像電荷的電量和位置（不要在下圖中標(biāo)注?。?；（2）空間的電勢分布。解：（1）z軸為垂直導(dǎo)體平面向上的方向。共放置3個(gè)像電荷，電量和位置分別是-Q (0, 0, -b)；-Qa/b (0, 0, a2/b)；Qa/b (0,0,- a2/b)，（2）則上半空間的電勢就是點(diǎn)電荷Q和三個(gè)像電荷所產(chǎn)生的電勢的疊加 baOQxyP 25. 有一點(diǎn)電荷位于兩個(gè)互相垂直的接地導(dǎo)體平面所圍成的直角空間內(nèi)，它到兩個(gè)平面的距離為和，（）寫出用電象法求空間電勢時(shí)，需放置的像電荷的位置和電量；（）寫出空間的電勢分布。解：可用三個(gè)像電荷來代替兩個(gè)互相垂直的接地導(dǎo)體平面的作用。像電

22、荷 的電量分別為 像電荷所處位置坐標(biāo)為 在區(qū)域的空間個(gè)點(diǎn)的電勢為aayOxR0P(a,a）Q答題不要超過此線26. 兩塊互相垂直的接地半無限大金屬平板，以及球心在O點(diǎn)，半徑為R0的部分金屬球面，把空間分成兩個(gè)區(qū)域，有一電量為Q 的電荷置于點(diǎn)P(a, a)，寫出用鏡像法求空間電勢時(shí)，所放置的像電荷的位置和電量。aayOxP(a,a）Q(a,-a）-Q-a-a-QQ(-a,-a）(a,-a）Q'b-bb-bQ'-Q'-Q'解:共需放置7個(gè)的像電荷，7個(gè)的像電荷的位置和電量如圖。分其中， xaQP(x,y,z)Rze1e227. 在和的兩個(gè)區(qū)域分別充滿電容率為和的均勻

23、介質(zhì)，在處放置一個(gè)點(diǎn)電荷Q，用鏡像法求空間電勢分布。解：所求解區(qū)域內(nèi)的泊松方程： 2）選擇電勢參考點(diǎn)：無窮遠(yuǎn)處電勢為0， 邊界條件： 3）根據(jù)邊界條件考慮像電荷位置及電量：a）區(qū)域1位置、電量： Q (0, 0, -a) b）區(qū)域2位置、電量： Q (0, 0, a) 4）(1)(2)明顯滿足邊界條件1；根據(jù)邊界條件2、3確定Q、 Q 第三章28. 設(shè)x<0半空間充滿磁導(dǎo)率為的均勻介質(zhì)，x>0空間為真空，今有線電流I沿z軸流動(dòng)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流分布。解：假設(shè)本題中的磁場分布仍呈軸對(duì)稱，則可寫作它滿足邊界條件：及。由此可得介質(zhì)中：由 得：在x<0 的介質(zhì)中 ，則： 再由

24、可得，所以， （沿 z 軸）29. 半徑為a的無限長圓柱導(dǎo)體上有恒定電流均勻分布于截面上，試解矢勢的微分方程。設(shè)導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為，導(dǎo)體外的磁導(dǎo)率為。解：矢勢所滿足的方程為： 自然邊界條件：時(shí)，有限。邊值關(guān)系：；選取柱坐標(biāo)系，該問題具有軸對(duì)稱性，且解與 z 無關(guān)。令，代入微分方程得：；解得：；由自然邊界條件得，由 得：，由 并令其為零，得：，。；30. 證明的磁性物質(zhì)表面為等磁勢面。解:以角標(biāo)1代表磁性物質(zhì)，2代表真空，由磁場邊界條件以及可得式中n和t分別表示法向和切向分量。兩式相除得因此，在該磁性物質(zhì)外面，H2與表面垂直，因而表面為等磁勢面。31. 求磁化矢量為M0的均勻磁化鐵球產(chǎn)生的磁場。解：

25、鐵球內(nèi)和鐵球外兩均勻區(qū)域。在鐵球外沒有磁荷。在鐵球內(nèi)由于均勻磁化，則有因此磁荷職分布在鐵球表面上。球外磁勢1和球內(nèi)磁勢 2 都滿足拉普拉斯方程，即當(dāng)R時(shí)， 1 ，所以 1只含R負(fù)冪次項(xiàng)。當(dāng)R=0時(shí)，j2為有限值，所以j2只含R正次冪項(xiàng)。 鐵球表面邊界條件為當(dāng)R=R0 (R0為鐵球半徑)時(shí)，比較Pn的系數(shù)，得于是得32. 試用分離變量法求磁化矢量為的均勻磁化鐵球在球外空間產(chǎn)生的磁標(biāo)勢和在球內(nèi)空間產(chǎn)生的磁標(biāo)勢。解：鐵球內(nèi)外為兩均勻區(qū)域，在鐵球外沒有磁荷分布，鐵球內(nèi)由于均勻磁化,有 因此磁荷只能分布在鐵球表面上，故球內(nèi)、外磁標(biāo)勢都滿足Laplaces equation： 由于軸對(duì)稱性，上式解的通解為

26、： （1）邊界條件為 邊值關(guān)系為 )由邊界條件和邊值關(guān)系可得 代入（1）式可得第四章、第五章33. 頻率f=35×109 Hz的微波，在a×b = 0.9 cm×0.4 cm的矩形波導(dǎo)管中能以什么波模傳播？解： 若電磁波頻率高于截止頻率，則電磁波就能以(m, n)波型傳播對(duì)于a×b = 0.9 cm×0.4 cm的波導(dǎo)管Hz；Hz；Hz -故只有TE10波型能在這矩形波導(dǎo)管中傳播。 34. 已知微波諧振腔的長、寬、高分別為3cm、2cm、1cm，求諧振電磁波最大波長是多少？相應(yīng)的諧振波模是什么？解： 取 對(duì)于的諧振腔，其最低諧振頻率的諧振波模為

27、 (1,1,0) 與最低諧振頻率相應(yīng)的最大波長為 35. 已知矩形波導(dǎo)中TM模的縱向電場為式中x,y,z的單位為cm,求(1) 截止波長;(2) 如果此模為TM32,求波導(dǎo)尺寸。解：（1）據(jù)電場Ez 的方程可知 所以 ， 截止波長: (2) 對(duì)TM32模 m=3 n=2 第六章36. 一事件在t=0時(shí)刻發(fā)生在慣性系S的原點(diǎn)，第二個(gè)事件在t4秒時(shí)發(fā)生在點(diǎn)x=5c,y=0,z=0處，若在慣性系S中，(1) 兩事件同時(shí)發(fā)生；(2) 第一個(gè)事件早于第二個(gè)事件1秒；(3) 第二個(gè)事件早于第一個(gè)事件1秒求慣性系S相對(duì)于慣性系S的速度解：由洛倫茲變換知， 1 由題意知， ，所以v0.8c 2.由題意知， ，

28、所以v0.89c 3. 由題意知， ，所以v0.65c 37. 在慣性系中，某事件A發(fā)生在 x1 處，2.0×10-6s 后，另一事件B發(fā)生在 x2 處，已知x2 - x1 = 300m。另有一慣性系系以速率u 相對(duì)于系沿x軸正向勻速運(yùn)動(dòng)，且在t = t = 0時(shí)，這兩個(gè)慣性系的坐標(biāo)原點(diǎn)重合。（c = 3×108 m/s）問：1）當(dāng)速率u 為多少時(shí)，在系中看到這兩個(gè)事件A與B發(fā)生在同一地點(diǎn)？2）根據(jù)上問中求出的速率u，計(jì)算在系中上述兩個(gè)事件A與B的時(shí)間間隔。解：1）在系中，兩個(gè)事件若發(fā)生在同一地點(diǎn)，根據(jù)洛侖茲變換（1）式其中由已知條件 代入（1）式，得2）根據(jù)洛侖茲逆變換，

29、在系中，上述兩個(gè)事件的時(shí)間間隔 （2）式由已知條件 代入（2）式，得或根據(jù)洛侖茲變換，在系中，上述兩個(gè)事件的時(shí)間間隔 （2）式由已知條件 代入（2）式，同樣可得答案。38. m子靜止時(shí)的平均壽命為。當(dāng)高能宇宙射線質(zhì)子進(jìn)入地球上層大氣中時(shí)，會(huì)形成豐富的m子。設(shè)來自太空的宇宙線在離地面為6000m的高空產(chǎn)生m子，且m子相對(duì)于地球的運(yùn)動(dòng)速率為，問m子能否在衰變前到達(dá)地面？解：å¢ 系與m子固連，å 系靜止1、時(shí)間延緩法在 å¢系中m子壽命為 在å系中m子壽命為 在該時(shí)間內(nèi)m子運(yùn)動(dòng)的距離 在衰變前m子可到達(dá)地面。 2、長度縮短法在 å

30、;¢系中，在m子的壽命內(nèi)，它運(yùn)動(dòng)的距離為 而在 å¢ 系測量宇宙線離地面的距離為 在衰變前，m子可可到達(dá)地面。 39. 靜止子的平均壽命是。在實(shí)驗(yàn)室中，從高能加速器出來的子以為真空中光速）運(yùn)動(dòng)。（1）在實(shí)驗(yàn)室中觀測，這些子的平均壽命是多少？（2）它們在衰變?yōu)槠渌Ｗ忧帮w行的平均距離是多少？（3）相對(duì)于子靜止的觀測者觀測到它們衰變前飛行的平均距離是多少？解：（1）在實(shí)驗(yàn)室中觀測，子的平均壽命為 （2）它們在衰變前飛行的平均距離為 （3）相對(duì)于子靜止的觀測者觀測到，子衰變前飛行得平均距離為 yvx, xyOO 或 40. 系與å¢系是坐標(biāo)軸相互平行

31、的兩個(gè)慣性系，å¢系相對(duì)å系沿Ox軸正向以速率勻速運(yùn)動(dòng)。一剛性尺靜止于å¢系中，與Ox 軸成 30°角，而在å系中觀測得該尺與Ox軸成 45°角，求å¢ 系相對(duì)于å系勻速運(yùn)動(dòng)的速率。解：剛性尺靜止于å¢ 系中，與O'x' 軸成 30°角，則有 （1）在å系中觀測得該尺與Ox軸成 45°角，則有 （2）由于在與慣性系相對(duì)運(yùn)動(dòng)垂直的方向上無洛倫茲收縮，則 （3）在與慣性系相對(duì)運(yùn)動(dòng)平行的方向上有洛倫茲收縮，即 （4）則將（3）

32、（4）代入（2），并根據(jù)（1），可得 41. å¢系以速率u =0.6c相對(duì)于S系沿x軸正向運(yùn)動(dòng)，且在t = t = 0時(shí)，這兩個(gè)坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合。問：（1）若有一事件，在å系中發(fā)生于t = 2.0×10-7s，x = 50m處，則該事件在å¢系中發(fā)生于何時(shí)刻？（2）如有另一事件發(fā)生于å系中t = 3.0×10-7s，x = 10m處，則在å¢系中測得的上述兩個(gè)事件的時(shí)間間隔為多少？解: （1）由洛倫茲坐標(biāo)變換可求得å¢系的觀察者測得第一事件發(fā)生的時(shí)刻為（c=3.0×

33、;108m/s） （2）同理，第二個(gè)事件發(fā)生的時(shí)刻為 å¢系中的觀察者測得兩事件的時(shí)間間隔為 42. 試寫出真空中麥克斯韋方程組的微分形式，并導(dǎo)出自由空間的波動(dòng)方程。解：真空中麥克斯韋方程組為， ，。對(duì)于自由空間，則：和兩邊取旋度得：43. P、M二點(diǎn)電荷分別為Q和3Q，它們相距為6a，有一半徑為a的接地導(dǎo)體球，球心離P之距離為2a，離M之距離為4a，求作用在P電荷上的合力。解：PM在球體內(nèi)，M點(diǎn)的象電荷 44. 地球上測得太陽的能流密度平均值為=1300瓦/.設(shè)太陽光是單色平面線偏振電磁波（實(shí)際上不是偏振光，也不是單色光）.（1） 試估計(jì)地球上太陽光中的電場和磁場振幅（2

34、） 求太陽的平均輻射功率（3） 估計(jì)太陽表面的電場和磁場振幅（已知日地距離為1.5×米，太陽半徑為7×米，）解：（1），= （2）以太陽為中心，以日地距離為半徑的大球面積為：(3)太陽的表面積為所以太陽的能流密度平均值為=45. 一恒星與地球相距5l.y.(光年),從地球上向它發(fā)射宇宙飛船，設(shè)宇宙飛船的速度是0.8c,問飛船到達(dá)恒星需要多長時(shí)間？宇航員的鐘看來是多少時(shí)間？如果飛船的速度是0.99c，其結(jié)果又如何？解：（1）v=0.8c,地球觀察者：飛船到達(dá)恒星需要時(shí)間（單位：a=年） 宇航員的鐘（由于運(yùn)動(dòng)而變慢）所需要時(shí)間為：（2）如果v=0.99c,同理可得：宇航員的鐘（

35、由于運(yùn)動(dòng)而變慢）所需要時(shí)間為：46. 根據(jù)四維波矢量K的變換式，導(dǎo)出相對(duì)論多普勒效應(yīng)公式。解：洛侖茲變換為， 可寫成矩陣形式：四維的波矢量的變換為47. 試寫出真空中麥克斯韋方程組的積分形式，并利用高斯公式和Stokes公式導(dǎo)出對(duì)應(yīng)的微分形式。解：，。(4分)。48. 接地的空心導(dǎo)體球殼內(nèi)外半徑為，在球腔內(nèi)離球心a（a<R1）處置一點(diǎn)電荷Q，用電象法求電勢分布。導(dǎo)體球殼上的感應(yīng)電荷有多少？分布在內(nèi)表面還是外表面？解：由于接地導(dǎo)體球殼的靜電屏蔽作用，區(qū)域電勢為零。球腔內(nèi)利用電象法可得49. 設(shè)慣性系相對(duì)于慣性系S沿x軸正向以速度v運(yùn)動(dòng)，試由洛侖茲變換導(dǎo)出勢的變換關(guān)系。解：50. 在慣性系S中，有兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生在x軸上相距為1.0m的兩處，從慣性系觀測到這兩個(gè)事件相距為2.0m，試問由系測得此兩事件的時(shí)間間隔為多少？解：根據(jù)洛侖茲變換，（+2分） (2分) (3分) （已知） （2分）51. 試由麥克斯韋方程組推導(dǎo)出勢和所滿足的微分方程，并且分別用庫侖規(guī)范和洛侖茲規(guī)范簡化方程的形式。 而 代入上式得 代入上二式整理得 若采用洛侖茲規(guī)范，則： 52. 無窮大平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)，如圖，極板上面電荷密度為