場(chǎng)波教案-2矢量分析-W

1、第二章第二章 矢量分析矢量分析主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容梯度、散度、旋度、梯度、散度、旋度、亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理1. 1. 標(biāo)量和矢量標(biāo)量和矢量2. 2. 標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)3. 3. 標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度數(shù)與梯度4. 4. 矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的通量與散度5. 5. 矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度6. . 無散場(chǎng)和無旋場(chǎng)無散場(chǎng)和無旋場(chǎng)7. 7. 格林定理格林定理 8. 8. 矢量場(chǎng)的惟一性定理矢量場(chǎng)的惟一性定理9. 9. 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 10.10.正交曲面坐標(biāo)系正交曲面坐標(biāo)系1 1 標(biāo)量及矢量標(biāo)量及矢量標(biāo)量標(biāo)量：只有大小，沒有方向的物理量只有大

2、小，沒有方向的物理量。矢量矢量表示為：表示為：所以：一個(gè)矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。所以：一個(gè)矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。矢量：矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量。不僅有大小，而且有方向的物理量。如如:力力 F 、速度、速度 V 、電場(chǎng)、電場(chǎng) E 等等如：溫度如：溫度 T、長(zhǎng)度、長(zhǎng)度 L 等等AA e其中：其中： 為矢量的模，表示該矢量的大小。為矢量的模，表示該矢量的大小。 為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為1 1。| AeAe1.11.1定義定義根據(jù)矢量加法運(yùn)算：根據(jù)矢量加法運(yùn)算：xyzAAAA一個(gè)矢量函數(shù)可以分解為三個(gè)標(biāo)量函數(shù)，一

3、個(gè)矢量函數(shù)可以分解為三個(gè)標(biāo)量函數(shù)， 在直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系下的矢量表示下的矢量表示: :zoyxAxAyAzA三個(gè)方向的單位矢量用三個(gè)方向的單位矢量用 表示。表示。xeyeze所以：所以：xyzxyzeeeAAAA 其中：其中：xxxeAA yyyeAA zzzeAA 位置矢量位置矢量r r和距離矢量和距離矢量R R rrer1.21.2矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的代數(shù)運(yùn)算1.1.加法加法: : 矢量加法是矢量的幾何和矢量加法是矢量的幾何和, ,服從服從平行四邊形規(guī)則平行四邊形規(guī)則。a.a.滿足交換律：滿足交換律：ABBAb.b.滿足結(jié)合律：滿足結(jié)合律：CABBACBAC()()ABCABC2.2.

4、減法：減法：換成加法運(yùn)算換成加法運(yùn)算()DABAB ABCBAB逆矢量：逆矢量： 和和 的模相等，方向相反，互為逆矢量。的模相等，方向相反，互為逆矢量。B()BDBADABC0在直角坐標(biāo)系中兩矢量的減法運(yùn)算：在直角坐標(biāo)系中兩矢量的減法運(yùn)算： 推論：推論：任意多個(gè)矢量首尾相連組成閉合多邊形，其矢量和必為零。任意多個(gè)矢量首尾相連組成閉合多邊形，其矢量和必為零。()()()xxyyzzxyzeeeABABABAB 3.3.矢量的標(biāo)積與矢積矢量的標(biāo)積與矢積（1 1）標(biāo)量與矢量的乘積：標(biāo)量與矢量的乘積：0=00kB kAkk方向不變，大小為方向不變，大小為|k|倍倍方向相反，大小為方向相反，大小為|k|

5、倍倍（2 2）矢量與矢量乘積分兩種定義矢量與矢量乘積分兩種定義a. a. 標(biāo)量積（點(diǎn)積）：標(biāo)量積（點(diǎn)積）：| |cosA BABBA兩矢量的點(diǎn)積兩矢量的點(diǎn)積含義：含義：一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結(jié)果一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結(jié)果是一標(biāo)量。是一標(biāo)量。在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中，三個(gè)坐標(biāo)軸是相互正交的，三個(gè)坐標(biāo)軸是相互正交的兩矢量點(diǎn)積：兩矢量點(diǎn)積：zzyyxxBABABA結(jié)論結(jié)論: : 兩矢量點(diǎn)積等于對(duì)應(yīng)分量的乘積之和。兩矢量點(diǎn)積等于對(duì)應(yīng)分量的乘積之和。推論推論1 1：滿足交換律：滿足交換律推論推論2 2：滿足分配律：滿足分配律推論推論3 3：當(dāng)兩

6、個(gè)非零矢量點(diǎn)積為零：當(dāng)兩個(gè)非零矢量點(diǎn)積為零, ,則這兩個(gè)矢量必正交。則這兩個(gè)矢量必正交。A BB A()ABCA BA C().()xyzxyzxyzxyzA BeeeeeeAAABBB 推論推論1 1：不服從交換律：不服從交換律：,A BB AA BB A 推論推論2 2：服從分配律：服從分配律：()AB CA BA C推論推論3 3：不服從結(jié)合律：不服從結(jié)合律：()()AB CA BC推論推論4 4：當(dāng)兩個(gè)非零矢量叉積為零，則這兩個(gè)矢量必平行。：當(dāng)兩個(gè)非零矢量叉積為零，則這兩個(gè)矢量必平行。b.b.矢量積（叉積）：矢量積（叉積）：含義：含義： 兩矢量叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個(gè)矢量?jī)?/p>

7、矢量叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個(gè)矢量組成的平行四邊形的面積，方向?yàn)樵撁娴姆ň€方向，且三組成的平行四邊形的面積，方向?yàn)樵撁娴姆ň€方向，且三者符合右手螺旋法則。者符合右手螺旋法則。BAca=sinnC ABe AB 在直角坐標(biāo)系中，兩矢量的叉積運(yùn)算如下：在直角坐標(biāo)系中，兩矢量的叉積運(yùn)算如下：兩矢量的叉積又可表示為：兩矢量的叉積又可表示為：xyzo()()xyzxyzxyzxyzeeeeeeA BAAABBB ()()()yzzyzxxzXyyxxyzeeeA BA BA BA BA BA BxyzxyzxyzABeeeAAABBB（3 3）三重積：）三重積：三三個(gè)矢量相乘有以下幾種形式：個(gè)

8、矢量相乘有以下幾種形式：()A B C矢量，標(biāo)量與矢量相乘。矢量，標(biāo)量與矢量相乘。()ABC標(biāo)量，標(biāo)量三重積。標(biāo)量，標(biāo)量三重積。矢量，矢量三重積。矢量，矢量三重積。a. a. 標(biāo)量三重積標(biāo)量三重積法則：在矢量運(yùn)算中法則：在矢量運(yùn)算中, ,先算叉積先算叉積, ,后算點(diǎn)積。后算點(diǎn)積。定義：定義：|sincosA BCA B C()ABCABChB C 含義：含義： 標(biāo)量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的標(biāo)量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的平行六面體的體積平行六面體的體積 。注意注意：先后輪換次序。先后輪換次序。推論推論：三個(gè)非零矢量共面的條件。三個(gè)非零矢量共面的條件。在直角坐標(biāo)系中：在直角坐標(biāo)系中：()0ABC()

9、xyzxyzxyzAAAABCBBBCCCb.b.矢量三重積：矢量三重積：()()()ABCB A CC A B ()()()VAB CCABBCAABChB C).(CBA().xyzxyzxyzxyzxyzeeeBBBCCCeeeAAA2.2.標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)場(chǎng)的定義：若對(duì)于空間域上每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)標(biāo)量(數(shù)量)或一個(gè)矢量，則稱此空間域確定了這個(gè)物理量的場(chǎng)。)()( ),(222z2y1x45zyx 標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)如溫度場(chǎng)如溫度場(chǎng), ,電位場(chǎng)電位場(chǎng), ,高度場(chǎng)等。高度場(chǎng)等。zy2x2xyzzxxy2)z , y, x(eeeA矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)如流速場(chǎng)如流速場(chǎng), ,電場(chǎng)電場(chǎng)

10、, ,渦流場(chǎng)等。渦流場(chǎng)等。矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)-矢量線矢量線形象描繪場(chǎng)分布的工具形象描繪場(chǎng)分布的工具-場(chǎng)線場(chǎng)線標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)-等值線等值線( (面面) )。constzyxh),( 其方程為其方程為0A l d其方程為其方程為dzAdyAdxAzyx三維場(chǎng)三維場(chǎng)在直角坐標(biāo)下在直角坐標(biāo)下, ,場(chǎng)線方程場(chǎng)線方程: :二維場(chǎng)二維場(chǎng)dyAdxAyx 矢量線等值線方向?qū)?shù)方向?qū)?shù): :標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的方向?qū)?shù)表示標(biāo)量場(chǎng)自該點(diǎn)沿標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的方向?qū)?shù)表示標(biāo)量場(chǎng)自該點(diǎn)沿某一方向上的變化率。某一方向上的變化率。 lPPllP)()(lim0 例如標(biāo)量場(chǎng)例如標(biāo)量場(chǎng) 在在 P 點(diǎn)沿點(diǎn)沿 l 方向上的方向?qū)?shù)方向上的方向?qū)?shù)

11、定義為定義為Pl PllP3. 3. 標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度梯度是一個(gè)梯度是一個(gè)矢量矢量。G=gradxyzuuuuxyzeee在在直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中，標(biāo)量場(chǎng)，標(biāo)量場(chǎng) u u 的梯度可表示為的梯度可表示為式中的式中的grad grad 是英文字是英文字 gradient gradient 的縮寫的縮寫。某點(diǎn)梯度的某點(diǎn)梯度的大小大小等于該點(diǎn)的等于該點(diǎn)的最大最大方向?qū)?shù)，某點(diǎn)梯度方向?qū)?shù)，某點(diǎn)梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)具有的方向?yàn)樵擖c(diǎn)具有最大最大方向?qū)?shù)的方向。方向?qū)?shù)的方向。leGluzyxzyxeee若引入算符若引入算符 ，在直角坐標(biāo)系中該算符，在直角坐標(biāo)系中該算符 可表示可

12、表示為為graduu 則梯度可以表示為則梯度可以表示為例：求一個(gè)二維標(biāo)量場(chǎng)例：求一個(gè)二維標(biāo)量場(chǎng) 的等值線方程和梯度的等值線方程和梯度2-uy xu解：等值線方程為：解：等值線方程為：2- =y x C=-+2xyzxyuuuuyxyzeeeee例例1 1 三維高度場(chǎng)的梯度三維高度場(chǎng)的梯度高度場(chǎng)的梯度 與過該點(diǎn)的等高線垂直與過該點(diǎn)的等高線垂直； 數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大變數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大變化率；化率； 指向地勢(shì)升高的方向指向地勢(shì)升高的方向。 梯度的物理意義梯度的物理意義 標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量, ,是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù); ; 梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)

13、的方向梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向, ,即與等值線（面）即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向。相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向。 梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù)梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，即該點(diǎn)最大的最大變化率，即該點(diǎn)最大方向?qū)?shù)方向?qū)?shù); ; 三維高度場(chǎng)的梯度例例2 2 電位場(chǎng)的梯度電位場(chǎng)的梯度電位場(chǎng)的梯度 與過該點(diǎn)的等位線垂直；與過該點(diǎn)的等位線垂直； 指向電位增加的方向。指向電位增加的方向。 數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)； 電位場(chǎng)的梯度通量：通量： 矢量矢量 A 沿某一有向曲面沿某一有向曲面 S 的面積分稱為矢量的面積分稱為矢量 A 通通

14、過該有向曲面過該有向曲面 S 的通量，以標(biāo)量的通量，以標(biāo)量 表示，即表示，即 4. 矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的通量與散度S d SA當(dāng)矢量當(dāng)矢量進(jìn)入進(jìn)入這個(gè)閉合面時(shí)這個(gè)閉合面時(shí)-存在匯聚該矢量場(chǎng)的存在匯聚該矢量場(chǎng)的洞洞（或（或匯匯）-通量為通量為負(fù)負(fù)。通量可為通量可為正正、或?yàn)?、或?yàn)樨?fù)負(fù)、或?yàn)?、或?yàn)榱懔恪?當(dāng)矢量當(dāng)矢量穿出穿出某個(gè)閉合面時(shí)某個(gè)閉合面時(shí)-存在產(chǎn)生該矢量場(chǎng)的存在產(chǎn)生該矢量場(chǎng)的源源-通量為通量為正正前述的前述的源源稱為稱為正源正源，而，而洞洞稱為稱為負(fù)源負(fù)源。 矢量矢量 E 沿有向曲面沿有向曲面S 的面積分的面積分SE dS 0 (有正源有正源) 0；若處處相反，則；若處處相反，則

15、0 。環(huán)量可以用來描述矢量場(chǎng)的環(huán)量可以用來描述矢量場(chǎng)的旋渦旋渦特性。特性。已知真空中磁通密度已知真空中磁通密度 B B 沿任一閉合有向曲線沿任一閉合有向曲線 l l 的環(huán)的環(huán)量等于該閉合曲線包圍的傳導(dǎo)電流強(qiáng)度量等于該閉合曲線包圍的傳導(dǎo)電流強(qiáng)度 I I 與真空磁導(dǎo)與真空磁導(dǎo)率率 0 0 的乘積。即的乘積。即 式中，電流式中，電流 I I 的正方向與的正方向與 d dl l 的方向構(gòu)成的方向構(gòu)成 右旋右旋 關(guān)系關(guān)系。環(huán)量可以表示產(chǎn)生具有旋渦特性的源的強(qiáng)度，但是環(huán)環(huán)量可以表示產(chǎn)生具有旋渦特性的源的強(qiáng)度，但是環(huán)量代表的是閉合曲線包圍的量代表的是閉合曲線包圍的總總的源強(qiáng)度，它不能顯示的源強(qiáng)度，它不能顯示

16、源的源的分布分布特性。為此，需要研究矢量場(chǎng)的特性。為此，需要研究矢量場(chǎng)的旋度旋度。I I1 1 I I2 2Il0 l dB 旋度是一個(gè)矢量。以符號(hào)旋度是一個(gè)矢量。以符號(hào) curl curl F F 表示矢量表示矢量 F F 的旋的旋度，其方向是使矢量度，其方向是使矢量 F F 具有最大環(huán)量強(qiáng)度的方向，具有最大環(huán)量強(qiáng)度的方向，其大小等于對(duì)該矢量方向的最大環(huán)量強(qiáng)度，即其大小等于對(duì)該矢量方向的最大環(huán)量強(qiáng)度，即 Cmax0 drot limSnSFlF式中式中 curl curl 是環(huán)量，是環(huán)量，rotrot代表旋度；代表旋度；n n為最大環(huán)量強(qiáng)度為最大環(huán)量強(qiáng)度的方向上的單位矢量，的方向上的單位矢量

17、， S S 為閉合曲線為閉合曲線 l 包圍的面積。包圍的面積。矢量場(chǎng)的旋度大小可以認(rèn)為是包圍單位面積的閉合矢量場(chǎng)的旋度大小可以認(rèn)為是包圍單位面積的閉合曲線上的最大環(huán)量。曲線上的最大環(huán)量。 en1en2en直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中，旋度可表示為，旋度可表示為 rot xyzxyzxyzFFFeeeF或者或者rot FF無論梯度、散度或旋度都是微分運(yùn)算，它們表示場(chǎng)在無論梯度、散度或旋度都是微分運(yùn)算，它們表示場(chǎng)在某點(diǎn)附近的變化特性。因此，梯度、散度及旋度描述某點(diǎn)附近的變化特性。因此，梯度、散度及旋度描述的是場(chǎng)的的是場(chǎng)的點(diǎn)特性點(diǎn)特性或稱為或稱為微分特性微分特性。函數(shù)的函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性是可微的必要條件

18、。因此在場(chǎng)量發(fā)生是可微的必要條件。因此在場(chǎng)量發(fā)生不不連續(xù)連續(xù)處，也就處，也就不存在不存在前述的梯度、散度或旋度。前述的梯度、散度或旋度。 斯托克斯定理斯托克斯定理 lS l dA SdArot )( 同高斯定理類似，從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為同高斯定理類似，從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為斯托克斯斯托克斯定理定理建立了面積分和線積分的關(guān)系。建立了面積分和線積分的關(guān)系。從物理角度可以理解為從物理角度可以理解為斯托克斯斯托克斯定理建立了區(qū)域定理建立了區(qū)域 S 中的中的場(chǎng)和包圍區(qū)域場(chǎng)和包圍區(qū)域 S 的閉合曲線的閉合曲線 l 上的場(chǎng)之間的關(guān)系。上的場(chǎng)之間的關(guān)系。lS d d)(lASA或者寫為或者寫為 散度處處為散度處處為

19、零零的矢量場(chǎng)稱為的矢量場(chǎng)稱為無散場(chǎng)無散場(chǎng)。6. 6. 無散場(chǎng)和無旋場(chǎng)無散場(chǎng)和無旋場(chǎng)兩個(gè)重要公式之一：兩個(gè)重要公式之一：0)(A上式表明，上式表明，任一矢量場(chǎng)任一矢量場(chǎng) A 的旋度的散度一定等于零的旋度的散度一定等于零 。因此，任一無散場(chǎng)可以表示為另一矢量場(chǎng)的旋度，或因此，任一無散場(chǎng)可以表示為另一矢量場(chǎng)的旋度，或者說，任何旋度場(chǎng)一定是無散場(chǎng)。者說，任何旋度場(chǎng)一定是無散場(chǎng)。兩個(gè)重要公式之二兩個(gè)重要公式之二：0)( 上上式表明，式表明，任一標(biāo)量場(chǎng)任一標(biāo)量場(chǎng) 的梯度的旋度一定等于零的梯度的旋度一定等于零。因此，任一無旋場(chǎng)一定可以表示為一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度，因此，任一無旋場(chǎng)一定可以表示為一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度，或

20、者說，任何梯度場(chǎng)一定是無旋場(chǎng)或者說，任何梯度場(chǎng)一定是無旋場(chǎng)。 旋度處處為旋度處處為零零的矢量場(chǎng)稱為的矢量場(chǎng)稱為無旋場(chǎng)無旋場(chǎng)。367 7 格林定理格林定理 設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng) 及及 ，若，若在區(qū)域在區(qū)域 V V 中具有連續(xù)的二階偏中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，可以證明該兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)導(dǎo)數(shù)，可以證明該兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng) 及及 滿足下列等式滿足下列等式S SV V , , ne式中式中S S 為包圍為包圍V V 的閉合曲面；的閉合曲面； 為標(biāo)量場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng) 在在 S S 表面的外法線表面的外法線 e en n 方向上的偏導(dǎo)數(shù)。方向上的偏導(dǎo)數(shù)。nSVSnV 2dd)(根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成根

21、據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成上兩式稱為上兩式稱為標(biāo)量第一格林定理標(biāo)量第一格林定理?；谏鲜竭€可獲得下列兩式基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理標(biāo)量第二格林定理。 SVV 2d)(d)(SSVV 22d d)(SSVSnnV 22dd)(設(shè)任意兩個(gè)矢量場(chǎng)設(shè)任意兩個(gè)矢量場(chǎng) P P 與與 Q Q ，若在區(qū)域，若在區(qū)域 V V 中具有連中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該矢量場(chǎng)續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該矢量場(chǎng) P P 及及 Q Q 滿足下列等式：滿足下列等式：式中式中S S 為包圍為包圍V V 的閉合曲面；面元的閉合曲面；面元 dS dS 的方向?yàn)榈姆较驗(yàn)镾

22、 S 的的外法線方向。上式稱為外法線方向。上式稱為矢量第一格林定理矢量第一格林定理。 SVV d d )()(SQPQPQP基于上式還可獲得下式：基于上式還可獲得下式：此式稱為此式稱為矢量第二格林定理矢量第二格林定理。SVV SdPQQPdQPPQ()(格林定理建立了區(qū)域格林定理建立了區(qū)域 V V 中的場(chǎng)與邊界中的場(chǎng)與邊界 S S 上的場(chǎng)之間上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場(chǎng)的求解的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場(chǎng)的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄?chǎng)的求解問題。問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄?chǎng)的求解問題。格林定理說明了兩種標(biāo)量場(chǎng)或矢量場(chǎng)之間應(yīng)該滿足的格林定理說明了兩種標(biāo)量場(chǎng)或矢量場(chǎng)之間應(yīng)該滿足的關(guān)

23、系。因此，如果已知其中一種場(chǎng)的分布特性，即可關(guān)系。因此，如果已知其中一種場(chǎng)的分布特性，即可利用格林定理求解另一種場(chǎng)的分布特性。利用格林定理求解另一種場(chǎng)的分布特性。現(xiàn)在我們必需考慮如下問題現(xiàn)在我們必需考慮如下問題（1 1）矢量場(chǎng)除有散和有旋特性外，是否存在別的特性？）矢量場(chǎng)除有散和有旋特性外，是否存在別的特性？（2 2）是否存在不同于通量源和旋渦源的其它矢量場(chǎng)的激勵(lì)源？）是否存在不同于通量源和旋渦源的其它矢量場(chǎng)的激勵(lì)源？（3 3）如何唯一的確定一個(gè)矢量場(chǎng)？）如何唯一的確定一個(gè)矢量場(chǎng)？8. 矢量場(chǎng)的惟一性定理矢量場(chǎng)的惟一性定理 位于某一區(qū)域中的矢量場(chǎng)，當(dāng)其散度、旋度以及邊界上位于某一區(qū)域中的矢量場(chǎng)

24、，當(dāng)其散度、旋度以及邊界上場(chǎng)量的切向分量或法向分量給定后，則該區(qū)域中的矢量場(chǎng)量的切向分量或法向分量給定后，則該區(qū)域中的矢量場(chǎng)被惟一地確定。場(chǎng)被惟一地確定。已知散度和旋度代表產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源，可見惟一性定理已知散度和旋度代表產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源，可見惟一性定理表明，矢量場(chǎng)被其表明，矢量場(chǎng)被其源源及及邊界條件邊界條件共同決定。共同決定。V VS SF F( (r r) )tn FFFF和 及或 若矢量場(chǎng)若矢量場(chǎng) F(r) 在在無限無限區(qū)域中處處是區(qū)域中處處是單值單值的，的， 且其且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在，源分布在有限有限區(qū)域區(qū)域 V 中，則當(dāng)矢量場(chǎng)中，則當(dāng)矢量場(chǎng)的的散度散度及及旋度旋度給定后

25、，該矢量場(chǎng)給定后，該矢量場(chǎng) F(r) 可以表示為可以表示為 9. 9. 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 )()()(rArrFVVd)(41)(rrrFrVVd)(41)(rrrFrA式中式中 定理表明任一矢量場(chǎng)均可表示為一個(gè)定理表明任一矢量場(chǎng)均可表示為一個(gè)無旋場(chǎng)無旋場(chǎng)與與一個(gè)一個(gè)無散場(chǎng)無散場(chǎng)之和之和。（1 1）任一矢量場(chǎng)均有通量源和漩渦源兩種激勵(lì)）任一矢量場(chǎng)均有通量源和漩渦源兩種激勵(lì)源激發(fā)形成；源激發(fā)形成；（2 2）任一矢量場(chǎng)均可表示為一個(gè)無旋場(chǎng)與一個(gè)）任一矢量場(chǎng)均可表示為一個(gè)無旋場(chǎng)與一個(gè)無散場(chǎng)之和。無散場(chǎng)之和。（3 3）矢量場(chǎng)的散度和旋度均為）矢量場(chǎng)的散度和旋度均為0 0時(shí)，矢量場(chǎng)消時(shí)，矢量場(chǎng)消失，即通量源和漩渦源是產(chǎn)生矢量場(chǎng)唯一的源。失，即通量源和漩渦源是產(chǎn)生矢量場(chǎng)唯一的源。矢量場(chǎng)的散度及旋度特性是研究矢量場(chǎng)的首要問矢量場(chǎng)的散度及旋度特性是研究矢量場(chǎng)的首要問題。題。 10. 正交曲面坐標(biāo)系正交曲面坐標(biāo)系 已知矢量已知矢量 A 在在圓柱坐標(biāo)系和球坐圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中可