基本不等式及應(yīng)用

1、，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）變形：，重要不等式：如果，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”號(hào)）為的算術(shù)平均數(shù)，稱為的幾何平均數(shù)。4（文科不作要求）三元基本不等式：若，則4. 圍建一個(gè)面積為360m2的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口，如圖所示，已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m,新墻的造價(jià)為180元/m,設(shè)利用的舊墻的長(zhǎng)度為(單位：元)。（1）將總造價(jià)表示為的函數(shù)；（2）試確定,使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用。 當(dāng)且時(shí)， 時(shí)，4對(duì)任意正實(shí)數(shù)，恒成立,則正實(shí)數(shù)的最小值為2 4 6 85已知，則的最小值是A2B

2、C4D5 8設(shè)若的最小值為 A 8 B4 D1 ， 已知，則的最小值 經(jīng)過長(zhǎng)期觀測(cè)得到：在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，某公路段汽車的車流量（千輛/小時(shí)）與汽車的平均速度（千米/小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為：。（1）在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度為多少時(shí)，車流量最大？最大車流量為多少？（精確到千輛/小時(shí)）（2）若要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過10千輛/小時(shí)，則汽車站的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？17某單位決定投資3200元建一倉(cāng)庫(kù)（長(zhǎng)方體狀），高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米長(zhǎng)造價(jià)40元，兩側(cè)墻砌磚，每米長(zhǎng)造價(jià)45元，頂部每平方米造價(jià)20元。（1）設(shè)鐵柵長(zhǎng)為米，一堵磚墻長(zhǎng)為米，求函數(shù)的解析式；（2）為使倉(cāng)

3、庫(kù)總面積達(dá)到最大，正面鐵柵長(zhǎng)應(yīng)為多少米？18周長(zhǎng)為12的矩形圍成圓柱（無底），當(dāng)圓柱的體積最大時(shí)，圓柱的底面周長(zhǎng)與圓柱的高的比為多少？ 參考答案三、例題分析：例1已知，則的最大值是_.例2已知，且，求（1）的最小值；（2）的最小值。解：（1）由，得， 又，則，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。 （2）法1：由，得， 則 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立。法2：由，得，則=。例3求下列函數(shù)的最小值（1）（2）已知，且求的最大值及相應(yīng)的x，y的值。解：（1）換元法，設(shè)，則， 且當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立。則函數(shù)的最小值是9。 （2）由，且得 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立。故當(dāng)，時(shí)，的最大值是例4圍建一個(gè)面積為36

4、0m2的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口，如圖所示，已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m,新墻的造價(jià)為180元/m,設(shè)利用的舊墻的長(zhǎng)度為(單位：元)。（1）將總造價(jià)表示為的函數(shù)：（2）試確定,使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用。解：（1）如圖，設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為 m則由已知,得,所以(II).當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)，等號(hào)成立.即當(dāng)時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是10440元.四、練習(xí)題：解析：4解析 不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)，恒成立，則9， 2或4(舍去)，所以正實(shí)數(shù)的最小值為4，選B5解析 因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)

5、，且 ，即時(shí)，取“=”號(hào)。11_12 _.13 _ 3_.14 _.15已知且，求的最大值。解：且，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。經(jīng)過長(zhǎng)期觀測(cè)得到：在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，某公路段汽車的車流量（千輛/小時(shí)）與汽車的平均速度（千米/小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為：。（1）在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度為多少時(shí)，車流量最大？最大車流量為多少？（精確到千輛/小時(shí)）（2）若要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過10千輛/小時(shí)，則汽車站的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？17某單位決定投資3200元建一倉(cāng)庫(kù)（長(zhǎng)方體狀），高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米長(zhǎng)造價(jià)40元，兩側(cè)墻砌磚，每米長(zhǎng)造價(jià)45元，頂部每平方米造價(jià)20元。（1）設(shè)鐵柵長(zhǎng)為米，一堵磚墻長(zhǎng)為米，求函數(shù)的解析式；（2）為使倉(cāng)庫(kù)總面積達(dá)到最大，正面鐵柵應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)？17解：（1）因鐵柵長(zhǎng)為米，一堵磚墻長(zhǎng)為米，則頂部面積為 依題設(shè)，則，故（2）令，則則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立所以當(dāng)鐵柵的長(zhǎng)是15米時(shí)，倉(cāng)庫(kù)總面積達(dá)到最大，最大值是解法二：依題設(shè)，由基本不等式得，即，故，從而所以的最大允許值是100平方米，取得此最大值的條件是且，求得，即鐵柵的長(zhǎng)是15米。18周長(zhǎng)為12的矩形圍成圓柱（無底），當(dāng)圓