多邊形和圓的初步認(rèn)識(shí)(基礎(chǔ))

1、多邊形和圓的初步認(rèn)識(shí)（基礎(chǔ)）知識(shí)講解撰稿：孫景艷 審稿：吳婷婷 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出平面圖形的過程，感受圖形世界的豐富多彩；2. 在具體情景中認(rèn)識(shí)多邊形、正多邊形、圓、扇形；3. 能根據(jù)扇形和圓的關(guān)系求扇形的圓心角的度數(shù)；4在豐富的活動(dòng)中發(fā)展有條理的思考和表達(dá)能力.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、多邊形及正多邊形1 定義：多邊形是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉平面圖形其中，各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形如下圖：要點(diǎn)詮釋：正多邊形必須同時(shí)滿足“各邊相等”，“各角相等”兩個(gè)條件，二者缺一不可；2相關(guān)概念：頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn)邊：組成多邊形的

2、各條線段叫做多邊形的邊內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角（可簡稱為多邊形的角），一個(gè)n邊形有n個(gè)內(nèi)角.外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線要點(diǎn)詮釋：(1)過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n-3)條對(duì)角線，n邊形對(duì)角線的條數(shù)為(2)過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線可以把n邊形分成(n-2)個(gè)三角形3. 多邊形的分類:（1）凸多邊形：畫出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個(gè)多邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個(gè)多邊形就是凸多邊形，如下圖要點(diǎn)詮釋：如果沒有特別說明，平時(shí)所說的多邊形都是凸多邊形凸多邊形按邊數(shù)的不同又可分為三

3、角形、四邊形、五邊形、六邊形等凸多邊形凹多邊形（2）凹多邊形：畫出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個(gè)多邊形不在直線的同一側(cè)，這個(gè)多邊形叫凹多邊形如下圖： 要點(diǎn)二、圓及扇形1. 圓的定義 (1)動(dòng)態(tài)：如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑. 以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“O”，讀作“圓O”要點(diǎn)詮釋： 圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大?。淮_定一個(gè)圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可. 圓是一條封閉曲線.(2)靜態(tài)：圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.要點(diǎn)詮釋： 定點(diǎn)為圓心，定長為半徑.圓指的是圓周，而不

4、是圓面.強(qiáng)調(diào)“在一個(gè)平面內(nèi)”是非常必要的，事實(shí)上，在空間中，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合是球面，一個(gè)閉合的曲面.同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓. 等圓：圓心不同，半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.2.扇形（1）圓弧：圓上任意兩點(diǎn)A，B間的部分叫做圓弧，簡稱弧，記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”. 如下圖：（2）扇形的定義：如上圖，由一條弧AB和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑OA，OB所組成的圖形叫做扇形. 要點(diǎn)詮釋：（1）圓可以分割成若干個(gè)扇形.（2）圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角. 如上圖，AOB是O的一個(gè)圓心角，也是扇形OAB的圓心角.（3）與扇形有關(guān)的計(jì)算 半

5、徑為R的圓中：n°的圓心角所對(duì)的扇形面積公式：；n°的圓心角所對(duì)的扇形弧長公式：.要點(diǎn)詮釋：在扇形中，扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角n°，扇形的弧長這四個(gè)量知道其中的兩個(gè)量就可以求出其他量.【典型例題】類型一、多邊形及正多邊形 1如圖，（1）從正六邊形的頂點(diǎn)A出發(fā),可以畫出 條對(duì)角線，分別用字母表示出來為 ；（2）這些對(duì)角線把六邊形分割成 個(gè)三角形.EABCFD 【思路點(diǎn)撥】畫出對(duì)角線，并按一定規(guī)律數(shù)出對(duì)角線的條數(shù)及分割成的三角形的個(gè)數(shù)即可.【答案】（1）3，線段AC、線段AD、線段AE；（2）4.【解析】如下圖，很容易得出答案.【總結(jié)升華】(1) n邊形有

6、n個(gè)頂點(diǎn),n條邊,n個(gè)內(nèi)角.(2) 過n邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)有(n3)條對(duì)角線,n邊形總共條對(duì)角線.(3) n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),分別連接這個(gè)頂點(diǎn)和其余各頂點(diǎn),可以分割（n2）個(gè)三角形.舉一反三：【變式】過某個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線,將這個(gè)多邊形分成5個(gè)三角形,這個(gè)多邊形是 邊形，它的對(duì)角線共 條.【答案】七，14.類型二、圓2在下列說法中：圓心決定圓的位置；半徑?jīng)Q定圓的大??；半徑相等的圓是同心圓；兩個(gè)半徑相等且圓心不同的圓是等圓，你認(rèn)為正確的結(jié)論有（ ）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C.【解析】對(duì)照?qǐng)A的定義及同心圓、等圓的概念進(jìn)行判斷.顯然正確，不正確.【總結(jié)升華】考查確定

7、圓的條件，同心圓、等圓的定義.舉一反三：【變式】下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是（ ）各邊都相等的多邊形是正多邊形； 半圓是弧，但弧不一定是半圓；半徑相等且圓心不同的兩個(gè)圓是等圓 ； 頂點(diǎn)在圓周上的角叫圓心角.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B 提示：、正確.類型三、扇形3. 將一個(gè)半徑為3的圓形草坪分割成三個(gè)扇形，分別種植三種花草，他們的圓心角的度數(shù)之比為2：3：4，求這三個(gè)圓心角的度數(shù)，并嘗試求他們的面積，你還能求他們的面積之比嗎，你發(fā)現(xiàn)了什么 【思路點(diǎn)撥】考查扇形面積及圓心角的概念【答案與解析】解：這三個(gè)圓心角的度數(shù)分別為： ；.圓的面積，這三個(gè)圓心角的面積分別為：；這三個(gè)圓心角的

8、面積之比為：2：3：4發(fā)現(xiàn)：扇形的面積之比等于圓心角之比【總結(jié)升華】一個(gè)扇形的面積與對(duì)應(yīng)圓的面積比等于扇形圓心角的度數(shù)n與360的比，即：S圓n：360， 幾個(gè)半徑相等的扇形的面積比等于這幾個(gè)扇形的圓心角的比舉一反三：【變式】若扇形的半徑為6，面積為10，則扇形的圓心角的度數(shù)為 【答案】100°4.一個(gè)扇形圓心角120°，以扇形的半徑為邊長畫一個(gè)正方形，這個(gè)正方形的面積是16平方厘米這個(gè)扇形的面積及周長分別為多少？ 【思路點(diǎn)撥】由題意可知，這個(gè)扇形所在的圓的半徑r就是這個(gè)正方形的邊長，即r2邊長2120平方厘米【答案與解析】解：設(shè)扇形所在圓的半徑為r，則，則： 扇形的面積為

9、：（平方厘米） （厘米） 扇形的弧長為： （厘米） 扇形的周長為：弧長2r16.37 （厘米）答：這個(gè)扇形的面積為16.75平方厘米，周長為16.37厘米【總結(jié)升華】此題在求面積時(shí)用到了整體代換，此外注意扇形的周長等于扇形的弧長與直徑的和舉一反三：【變式】制作彎形管道時(shí)，需要先按中心線計(jì)算“展直長度”再下料，試計(jì)算如圖所示的管道的展直長度，即的長(結(jié)果精確到0.1mm)【答案】R=40mm，n=110的長=76.8(mm)因此，管道的展直長度約為76.8mm【鞏固練習(xí)】一、選擇題1.下列幾何圖形中，平面圖形的個(gè)數(shù)為（ ）個(gè).三角形，圓，圓柱，圓錐，正方體，扇形.A.4 B.5 C.3 D.6

10、2從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共有對(duì)角線( ) . A(n-2)條 B(n-3)條 C(n-1)條 D(n-4)條3如圖，圖中凸四邊形有( ) .A3個(gè) B5個(gè) C2個(gè) D6個(gè)4下列圖形中，是正多邊形的是( ) . A三條邊都相等的三角形 B四個(gè)角都是直角的四邊形 C四邊都相等的四邊形 D六條邊都相等的六邊形5以已知點(diǎn)O為圓心，已知線段a為半徑作圓，可以作（ ）.A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D無數(shù)個(gè)6.如下圖， 兩個(gè)同心圓（部分）的半徑為18厘米和30厘米，又已知圓心角為30度，則陰影部分的面積為（ ）平方厘米.A.27 B.75 C.48 D.25二、填空題7在有對(duì)角線的多邊形中，邊數(shù)最少的是_邊形，

11、它共有_條對(duì)角線8. 已知圓的半徑，可以畫_個(gè)圓；已知圓心，可以畫_個(gè)圓；已知圓心和半徑可以畫_個(gè)圓.9.一個(gè)圓的圓心決定這個(gè)圓的_，圓的半徑?jīng)Q定這個(gè)圓的_10已知扇形圓心角是150°，弧長為20cm，則扇形的面積為_11如圖，某傳送帶的一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)輪的半徑為40cm，轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)90°傳送帶上的物品A被傳送 厘米.12如圖所示，已知扇形的半徑為3cm，圓心角為120°，則扇形的面積為_cm2(結(jié)果保留) 三、解答題13.已知從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共有4條對(duì)角線，其周長為56，且各邊長是連續(xù)的自然數(shù)，求這個(gè)多邊形的各邊長14已知多邊形的邊數(shù)恰好是從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)

12、的對(duì)角線條數(shù)的2倍，求此多邊形的邊數(shù)15. 如圖，已知，直角三角形AOB的底是5cm，高是4.8cm并且陰影部分甲的面積比陰影部分乙的面積小3.7cm2求扇形圓心角1的度數(shù) 【答案與解析】一、選擇題1【答案】C；【解析】為平面圖形.2. 【答案】B；3. 【答案】A；【解析】凸四邊形有：四邊形ABCD,四邊形ABOD，四邊形ABCO.4. 【答案】A ； 【解析】正多邊形的概念.5. 【答案】A；【解析】以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑作圓，只能作一個(gè)，故選A.6. 【答案】C；【解析】.二、填空題7. 【答案】四， 2； 【解析】邊數(shù)最少的多邊形是三角形，三角形沒有對(duì)角線.8. 【答案】無數(shù)；無數(shù)；1；【解析】圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，二者缺一不可9. 【答案】位置，大??；10.【答案】240cm2 ； 【解析】先由弧長求出扇形的半徑，再計(jì)算扇形的面積11【答案】20；【解析】(cm)12【答案】3；【解析】由扇形面積公式得(cm2)三、解答題13.【解析】解：由題意n-34，n7設(shè)各邊長為x-3，x-2，x-1，x，x+1，x+2，x+3，則有：x-3+ x-2+ x-1+x+x+1+x+2+x