第三部分扭轉(zhuǎn)

1、第三部分 扭轉(zhuǎn)4.1預(yù)備知識(shí)一、基本概念1、扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)變形是桿件的基本變形之一，扭轉(zhuǎn)變形的受力特點(diǎn)是：桿件受力偶系的作用，這些力偶的作用面都垂直于桿軸。此時(shí)，截面B相對(duì)于截面A轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，稱(chēng)為扭轉(zhuǎn)角。同時(shí)，桿件表面的縱向直線也轉(zhuǎn)了一個(gè)角度變?yōu)槁菪€，稱(chēng)為剪切角。AB圖2、外力偶桿件所受外力偶的大小一般不是直接給出時(shí)，應(yīng)經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)膿Q算。若己知軸傳遞的功率P(kW)和轉(zhuǎn)速n(r/min)，則軸所受的外力偶矩。3、扭矩和扭矩圖 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，截面上的內(nèi)力矩稱(chēng)為扭矩，用T表示。扭矩的正負(fù)號(hào)，按右手螺旋法則判定。如扭矩矢量與截面外向法線一致，為正扭矩，反之為負(fù)；求扭矩時(shí)仍采用截面法。扭矩圖是扭矩沿軸線

2、變化圖形，與軸力圖的畫(huà)法是相似4、純剪切 切應(yīng)力互等定理 單元體的左右兩個(gè)側(cè)面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力，此種單元體發(fā)生的變形稱(chēng)為純剪切。在相互垂直的兩個(gè)平面上，切應(yīng)力必然成對(duì)存在且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩個(gè)平面的交線、方向到共同指向或共同背離積這一交線，這就是切應(yīng)力互等定理。5、切應(yīng)變 剪切虎克定律 對(duì)于純剪切的單元體，其變形是相對(duì)兩側(cè)面發(fā)生的微小錯(cuò)動(dòng)，以來(lái)度量錯(cuò)動(dòng)變形程度，即稱(chēng)切應(yīng)變。 當(dāng)切應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極限時(shí)，切應(yīng)力和切應(yīng)變成正比，即=GG稱(chēng)材料的剪切彈性模量，常用單位是GPa。6、圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算(1) 圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上的切應(yīng)力垂直于半徑，并沿半徑線性分布，距圓心為

3、處的切應(yīng)力為式中T為橫截面的扭矩，Ip為截面的極慣性矩。(2) 圓形截面極慣性矩和抗扭截面系數(shù)實(shí)心圓截面， （D為直徑）空心圓截面， （D為外徑，d為內(nèi)徑，）(3)圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的最大切應(yīng)力發(fā)生在外表面處式中Wt=Ip/R，稱(chēng)為圓桿抗扭截面系數(shù)（或抗摶截面模量）。圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件(4)圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，圓桿各點(diǎn)處于“純剪切”應(yīng)力狀態(tài)，如圖31所示。其最大拉應(yīng)力、最大壓應(yīng)力和最大切應(yīng)力數(shù)值相等。 低碳鋼材料抗拉與抗壓的屈服強(qiáng)度相等，抗剪能力較差，所以低碳鋼材料圓桿扭轉(zhuǎn)破壞是沿橫截面被剪斷的。 鑄鐵材料抗壓能力最強(qiáng)，抗剪能力次之，抗拉能力最差，因而鑄鐵材料圓桿扭轉(zhuǎn)破壞是沿與桿軸線約成450的斜截

4、面被拉斷的。7、圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形和剛度計(jì)算 圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形用一個(gè)橫截面相對(duì)另一個(gè)橫截面轉(zhuǎn)過(guò)的角度來(lái)度量，稱(chēng)為扭轉(zhuǎn)角。 長(zhǎng)度為l的等截面圓桿承受扭矩Mn時(shí)，圓桿兩端的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角 （rad）式中GIp稱(chēng)為圓桿的抗扭剛度。 當(dāng)兩截面之間的扭矩或GIp為變量時(shí)則應(yīng)通過(guò)積分或分段計(jì)算各段的扭轉(zhuǎn)角，并求其代數(shù)和，即為全桿的扭轉(zhuǎn)角。單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角 （rad/m）把弧度換算為度，圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件為 （0/m）8、非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)(1) 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念非圓截面桿在扭轉(zhuǎn)變形后橫截面不再是平面，變成一個(gè)曲面并發(fā)生翹曲，這是非圓截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的一個(gè)重要特征。由于截面的翹曲，平面假設(shè)不再成立，因而圓桿的扭轉(zhuǎn)公

5、式不能應(yīng)用于非圓截面桿。(2) 矩形截面桿 矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，由切應(yīng)力互等定理可知，橫截面周邊上的切應(yīng)力和周邊相切，角點(diǎn)處切應(yīng)力為零。橫截面上最大切應(yīng)力發(fā)生在長(zhǎng)邊的中點(diǎn)處。 設(shè)矩形截面桿長(zhǎng)為l，承受扭矩T，矩形截面的長(zhǎng)為h，寬為b。最大切應(yīng)力 桿兩端的相時(shí)扭轉(zhuǎn)角式中，是與長(zhǎng)寬比h/b相關(guān)的系數(shù)，計(jì)算時(shí)可查閱有關(guān)手冊(cè)。 當(dāng)長(zhǎng)寬比時(shí)，稱(chēng)為狹長(zhǎng)矩形，可近似為1/3。二、重點(diǎn)與難點(diǎn)1、受扭桿件所受的外力偶矩，常由桿件所傳遞的功率及其轉(zhuǎn)速來(lái)?yè)Q算。2、圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上切應(yīng)力沿半徑線性分布，并垂直于半徑，最大切應(yīng)力在外表面處。3、低碳鋼材料圓桿扭轉(zhuǎn)破壞時(shí)，將沿橫截面被剪斷。鑄鐵材料圓桿扭轉(zhuǎn)破壞時(shí)，將沿與

6、桿軸線成450螺旋面被拉斷。三、解題方法要點(diǎn)1、2、4.2典型題解一、計(jì)算題 等截面?zhèn)鲃?dòng)軸的轉(zhuǎn)速n=150r/min，由A轉(zhuǎn)輸入功率NA=8kW，由B、C、D各輪輸出功率分別為NB=3kW，NC=1kW，ND=4kW。己知軸的許用剪應(yīng)力=60MPa，剪切彈性模量G=80GPa，=20/m。要求首先安排各輪的位置，然后繪出傳動(dòng)軸的扭矩圖，并確定軸的直徑。 解：四輪各位置如圖，其中A輪應(yīng)放在軸的中間位置，使得從A輪輸入的扭矩由該輪的兩側(cè)分擔(dān)，不會(huì)使軸的某段承擔(dān)輸入的全部扭矩。根據(jù)功率轉(zhuǎn)化為扭矩關(guān)系，A、B、C、D各點(diǎn)的扭矩200200200(a)nABCD254.6Nm-254.6Nm-63.6N

7、m(b) 己知各輪承擔(dān)的扭矩后，由截面法可得各截面的扭矩，扭矩圖如圖。從扭矩圖可知，最大扭矩應(yīng)在DA、AB段，為最大剪應(yīng)力為 強(qiáng)度條件為得到 (1)由于軸為等截面的，最大單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角也應(yīng)在DA、AB段，等圓截面桿的單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角剛度條件為得 (2)從式(1)和式(2)中選擇較大的作為軸的直徑，可同時(shí)滿(mǎn)足剛度和強(qiáng)度條件，軸的直徑d=31mm二、計(jì)算題一為實(shí)心、一為空心的兩根圓軸，材料、長(zhǎng)度和所受外力偶均一樣，實(shí)心直徑d1 ，空心軸外徑D2 、內(nèi)徑d2 ，內(nèi)外徑之比=d2/D2=0.8。若兩軸重量一樣，試求兩軸最大相對(duì)扭轉(zhuǎn)角之比。解：兩軸材料、重量和長(zhǎng)度一樣，則截面積也一樣 A1=A2 ，即

8、可得因承受的外力偶矩相同，兩軸截面上扭矩也應(yīng)相等 T1=T2 。實(shí)心軸和空心軸最大相對(duì)扭轉(zhuǎn)角分別是式中，l為軸的長(zhǎng)度。故兩軸最大相對(duì)扭轉(zhuǎn)角之比將代入上式，則再將0.8 代入上式，得 可見(jiàn)，空心軸的扭轉(zhuǎn)角遠(yuǎn)小于實(shí)心軸的。因此，采用空心圓軸不僅強(qiáng)度高，而且剛度也遠(yuǎn)優(yōu)于實(shí)心圓軸。三、計(jì)算題 兩個(gè)受扭薄壁桿截面，一個(gè)是開(kāi)有縱向細(xì)縫的開(kāi)口薄壁圓環(huán)，另一個(gè)是閉口薄壁圓環(huán)，如圖所示。兩桿的材料相同，尺寸相同，平均直徑D=40mm，壁厚t=2mm，長(zhǎng)度為l。兩桿承受的扭矩相同。試求兩桿最大切應(yīng)力之比及扭轉(zhuǎn)角之比。解 (1) 開(kāi)口薄壁圓環(huán)開(kāi)口薄壁圓環(huán)可以看成一個(gè)長(zhǎng)為、寬為t的狹長(zhǎng)矩形，則最大切應(yīng)力扭轉(zhuǎn)角(2)

9、閉口薄壁圓環(huán)最大切應(yīng)力扭轉(zhuǎn)角對(duì)于薄壁圓環(huán)，Ip可以寫(xiě)成因此(3) 兩桿最大切應(yīng)力之比兩桿扭轉(zhuǎn)角之比 討論：由本題的計(jì)算結(jié)果可以看出，閉口薄壁圓環(huán)的切應(yīng)力及扭轉(zhuǎn)角要比開(kāi)口薄壁圓環(huán)小得多，因而在薄壁構(gòu)件中應(yīng)盡量采用閉口薄壁桿件。4.3 練習(xí)題一、概念題1、問(wèn)答題低碳鋼、鑄鐵及木材（順紋方向與軸線平行）的圓棒兩端受力偶作用，如圖所示，直到破壞。試畫(huà)出三種棒破壞時(shí)裂紋的方向，并說(shuō)明為什么從此方向破壞。低碳鋼（a）鑄鐵（b）木材(c)2、是非判斷題（1） 圓桿受扭時(shí)，桿內(nèi)各點(diǎn)處于純剪切狀態(tài)。（ 對(duì) ）（2） 桿件受扭時(shí)，橫截面上的最大切應(yīng)力發(fā)生在距截面形心最遠(yuǎn)處。（ 錯(cuò) ）（3） 薄壁圓管和空心圓管的扭

10、轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式完全一樣。（ 錯(cuò) ）（4） 圓桿扭轉(zhuǎn)變形實(shí)質(zhì)上是剪切變形。（ 對(duì) ）（5） 非圓截面桿不能應(yīng)力用圓桿扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式，是因?yàn)榉菆A截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)“平截面假設(shè)”不能成立。（ 對(duì) ）(6) 材料相同的圓桿，它們的剪切強(qiáng)度條件和扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件中，許用應(yīng)力的意義相同，數(shù)值相等。（ 對(duì) ）(7) 剪斷鋼板時(shí)，所用外力使鋼板產(chǎn)生的應(yīng)力稍大于材料的屈服極限。（ 錯(cuò) ）(8) 矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上的剪應(yīng)力呈線性分布。（ 錯(cuò) ）3、選擇題（1） 階梯圓軸的最大切應(yīng)力發(fā)生在（ D ）。A 扭矩最大的截面； B 直徑最小的截面C 單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角最大的截面 D 不能確定（2） 空心圓軸的外徑為D，內(nèi)徑為

11、d，=d /D。其抗扭截面系數(shù)為（D ）。A B C C （3） 扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式適用于（ D ）桿件。A 任意截面； B 任意實(shí)心截面；C 任意材料的圓截面 D 線彈性材料的圓截面。（4） 單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角與（ A ）無(wú)關(guān)。A 桿的長(zhǎng)度； B 扭矩C 材料性質(zhì)； D 截面幾何性質(zhì)。（5） 圖示圓軸由鋼桿和鋁套管牢固地結(jié)合在一起。扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，橫截面上切應(yīng)力分布如圖（ B ）所示。鋁鋼（A）（B）（C）（D）MnMnMnMn（6）若將受扭實(shí)心圓軸的直徑增加一倍，則其剛度是原來(lái)的（ D ）。A 2倍 B 4倍C 8倍 D 16倍(7) 空心圓軸，其內(nèi)外徑之比為，扭轉(zhuǎn)時(shí)軸內(nèi)的最大剪應(yīng)力為，這時(shí)橫截面上內(nèi)

12、邊緣的剪應(yīng)力為（ B ）。 零 (8) 實(shí)心圓軸扭轉(zhuǎn)，己知不發(fā)生屈服的極限扭矩為T(mén)0，若將其橫截面積增加倍，那么極限扭矩是（C）。 (9) 對(duì)于受扭的圓軸，關(guān)于如下結(jié)論： 最大剪應(yīng)力只出現(xiàn)在橫截面上； 在橫截面上和包含桿件的縱向截面上均無(wú)正應(yīng)力； 圓軸內(nèi)最大拉應(yīng)力的值和最大剪應(yīng)力的值相等?，F(xiàn)有四種答案，正確的是（ A ）。A 對(duì) B 對(duì) C 對(duì) D 全對(duì)二、計(jì)算題1、 試用截面法求出圖示圓軸各段內(nèi)的扭矩T，并作扭矩圖。100cm100cm100cmDABC3000Nm 2000N 4000Nm 5000Nm答：2、 圖示一齒輪傳動(dòng)軸，傳遞力偶矩Me=10kNm,軸的直徑d=80mm.。試求軸的

13、最大切應(yīng)力。答：max=100MPaMe50cmd3、 設(shè)將例題42中直徑d=0.m的實(shí)心圓軸制成外徑與內(nèi)徑d之比為的空心圓軸，仍受力偶矩e.kNm的作用。試求：使max與該例題相同時(shí)，能節(jié)省多少材料？答：D0.065m4、 圖示一圓錐形桿AB，受力偶矩Me作用，桿長(zhǎng)為l，兩端截面的直徑分別為d1和d2=1.2d1，材料的切變模量為G。試求：（1）截面A和B的扭轉(zhuǎn)角，（2）若按平均直徑的等直桿計(jì)算扭轉(zhuǎn)角，誤差等于多少？答：ld1d2MeMeB5、 如圖所示的空心圓軸，外徑D=100mm，內(nèi)徑d=80mm， l=500mm，M1=6kNm，M2=4kNm,材料的剪切彈性模量G=80GPa。請(qǐng)繪軸

14、的扭矩圖，并求出最大剪應(yīng)力。M2M1BAll答：6kNm2kNm+6、 在圖題3.9所示兩端嵌固的圓軸上，外扭矩Me1=2Me2，距離a=c=L/4，b=L/2，圓軸直徑為d，試求此圓軸橫截面上的最大切應(yīng)力。Me1Me2ABbcLa答： 7、 圖示傳動(dòng)軸，主動(dòng)輪B輸入功率P1=368kW,從動(dòng)輪A，陣C輸出的功率分別為P2=147kW, P3=221kW, 軸的轉(zhuǎn)速n=500r/min,材料的G=80GPa，許用切應(yīng)力=70MPa，許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角=10/m。（1）畫(huà)出軸的扭矩圖；（2）設(shè)計(jì)軸的直徑；（3）討論提高軸強(qiáng)度和剛度的措施ABCP1P2P3答：d=85mm8、 鉆探機(jī)鉆桿的外徑D=

15、60mm，內(nèi)徑d=50mm，切率P=7.355kW,軸的轉(zhuǎn)速n=180r/min，鉆桿鉆入土層的深度l=40m，材料的切變模量G=80GPa，許用切應(yīng)力=40MPa，假設(shè)土壤對(duì)鉆桿的阻力沿長(zhǎng)度均勻分布，試求：（1）土壤對(duì)鉆桿單位長(zhǎng)度的阻力矩m；（2）作鉆桿的扭矩圖，并進(jìn)行強(qiáng)度校核；（3）計(jì)算A、B截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。ATlBm答：9、 用實(shí)驗(yàn)方法求鋼的切變模量G時(shí)，其裝置的示意圖如圖所示。AB為直徑d=10mm，長(zhǎng)度l=0.1m的圓截面鋼試件，A端固定，B端有長(zhǎng)s=80mm的桿BC與截面聯(lián)成整體。當(dāng)在B端加轉(zhuǎn)矩T=15N.m時(shí)，測(cè)得BC桿頂點(diǎn)C有位移=1.5mm。試求：（1）切變模量；（2）桿內(nèi)

16、的最大切應(yīng)力；（3）桿表面的切應(yīng)變。ABTrClCBTs答：10、 圖示一傳動(dòng)軸，主動(dòng)輪I傳遞力偶矩1kNm，從動(dòng)輪傳遞力偶0.4kNm，從動(dòng)輪傳遞力偶矩0.6kNm.。己知軸的直徑d=40mm，各輪間距l(xiāng)=500mm，材料的切變模量G=80GPa。要求（1）合理布置各輪的位置；（2）求出軸在合理位置時(shí)的最大切應(yīng)力和最大扭轉(zhuǎn)角。答：=47.8MPa, =0.015rad Idll11、 圖示某帶輪傳動(dòng)軸，己知：P=14kW，n=300r/min，=40MPa，=0.01rad/min，G=80GPa。試根據(jù)強(qiáng)度和剛度條件計(jì)算兩種截面的直徑：（1）實(shí)心圓截面的直徑d；（2）空心圓截面的內(nèi)徑d1和

17、外徑d2（d1/ d2=3/4）答：d49mm， d253.7 mm50012、 圖示一圓截面桿，左端固定，右端自由，在全長(zhǎng)范圍內(nèi)受均布力偶矩作用，其集度為me。設(shè)桿的材料的切變模量為G，截面的極慣性矩為Ip，桿長(zhǎng)為l。試求自由端的扭轉(zhuǎn)角。答：=ABlme13、 一薄壁鋼管受扭矩Me=2kNm作用。己知D=60mm，d=50mm，E=210GPa。己測(cè)得管表面上相距l(xiāng)=200mm的AB兩截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角=0.430，試求材料的泊松比。答：=0.3BDdlMeAMe14、 一聯(lián)軸器，由分別分布在半徑為R1和R2圓周上的8只直徑相同的螺栓相聯(lián)接 （如圖所示）。則內(nèi)圈（R1）螺栓橫截面上的切應(yīng)力與外

18、圈（R2）螺栓截面上的切應(yīng)力的比值為（ ）。 A）； （B）； （C）； （D）R2R115、 試作圖432所示各軸的扭矩圖，并求出及其作用處。A B C D E43.m 45N.m 179N.m 37N.m 54N.mA B C D E (a)(b)16、 齒輪軸上有四個(gè)齒輪,見(jiàn)圖433,己算出各輪所受外力偶矩為mA=52Nm、mB=120Nm、mC=40Nm、mD=28Nm.己知各段軸的直徑分別為dAB=15mm、dBC=20mm、dCD=12mm。 作該軸的扭矩圖；求職1-2、 2-3、 3-3截面上的最大切應(yīng)力。mA mB mC mD 1 2 3 1 2 3 A B C D 繪扭矩圖求

19、最大切應(yīng)力17、 圖437所示圓軸的AC段為實(shí)心圓珠筆截面,CB段為實(shí)心圓截面,外徑D=30mm,空心段內(nèi)徑d=20mm、外力偶矩m=200Nm,試計(jì)算AC段和CB段橫截面外邊緣的切應(yīng)力,以及CB段內(nèi)邊緣處的切應(yīng)力。DDdABCmm18、 圖438所示實(shí)心圓軸通過(guò)牙嵌離合器把功率傳給空心圓軸。傳遞的功率N=7.5kW,軸的轉(zhuǎn)速n=80r/min。試選擇實(shí)心圓軸的直徑d和空心圓軸的外徑d2。己知空心圓軸的內(nèi)外徑之比1=d1/d2=0.8,許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力=40MPa。 dd1d219、 階梯形圓軸直徑分別為d1=40mm,d2=70mm,軸上裝有三個(gè)皮帶輪,如圖所示。己知由輪3輸入的功率為N3=3kW,輪1輸出的功率為N1=13kW,軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)速n=200r/min,材料的許用切應(yīng)力=60MPa,G=80GPa,許用扭轉(zhuǎn)角=20/m。試校核軸的強(qiáng)度和剛度。d1d2A1m1m223m30.5m0.3m1m扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度問(wèn)題20、 傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速為n=500r/min，如圖所示，主動(dòng)輪1輸入功率N1=368kN.m/s，從動(dòng)輪2、3分別輸出功率N2=147kNm/