與積分上限函數(shù)有關(guān)的幾類問題的研究-數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科畢業(yè)論文

1、邯鄲學(xué)院本科畢業(yè)論文題 目 與積分上限函數(shù)有關(guān)的幾類問題的研究學(xué) 生 張薇指導(dǎo)教師 王婷 講師年 級 2012級本科專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)二級學(xué)院 數(shù)理學(xué)院邯鄲學(xué)院數(shù)理學(xué)院2016年5月鄭重聲明本人的畢業(yè)論文是在指導(dǎo)教師王婷的指導(dǎo)下撰寫完成的如有剽竊、抄襲、造假等違反學(xué)術(shù)道德、學(xué)術(shù)規(guī)范和侵權(quán)的行為，本人愿意承擔(dān)由此產(chǎn)生的各種后果，直至法律責(zé)任，并愿意通過網(wǎng)絡(luò)接受公眾的監(jiān)督特此鄭重聲明論文經(jīng)“萬方”論文檢測系統(tǒng)檢測，總相似比為“%”畢業(yè)論文作者（簽名）： 年 月 日與積分上限函數(shù)有關(guān)的幾類問題的研究摘 要積分上限函數(shù)，即變上限的定積分，這是一類特殊的函數(shù)，它既具有與普遍函數(shù)相關(guān)的特征，又具有許多

2、與積分有關(guān)的特殊性質(zhì)，如連續(xù)性、周期性、單調(diào)性、奇偶性等。因此，我們可以利用積分上限函數(shù)的一些性質(zhì)簡化某些微積分計算問題或者將其用于證明。本文主要討論了積分上限函數(shù)的九類相關(guān)問題, 舉例說明了積分上限函數(shù)在解題和證明中的諸多應(yīng)用，包括積分上限函數(shù)的極限、連續(xù)、可微問題，極值、最值問題，零點問題，證明中值定理，在函數(shù)關(guān)系上的應(yīng)用等相關(guān)問題。關(guān)鍵詞：積分上限函數(shù) 性質(zhì) 連續(xù)性 可微性 周期性 應(yīng)用 證明 A few questions related to the integral upper limit function research Zhang Wei Directed by Lectur

3、erWang Ting Abstract Upper limit function of integral, which also called the definite integral with variable upper limit. This is a special kind of function, which not only has the same characteristics with the common functions, but also has a large number of same features that relevant to integrati

4、on, such as continuity, periodic, monotonicity and so on. Therefore, we can make use of some properties of the integral upper limit function to simplify some calculus problems or be used to prove. This paper mainly discusses the nine categories of problems related to the integral upper limit functio

5、n and illustrates the integral upper limit function in problem solving and proved in many applications, including the limit of integral upper limit function, continuous and differentiable problem, extreme value, the value problem, zero point problem, the median theorem and related problems. KEY WORD

6、S: Integral Upper Limit Function； Properties； Continuous； differentiability；periodically； application；provation目錄摘 要IAbstractII前 言21 積分上限函數(shù)的定義及性質(zhì)31.1 積分上限函數(shù)的概念31.2 積分上限函數(shù)的性質(zhì)31.2.1 積分上限函數(shù)的連續(xù)性31.2.2 積分上限函數(shù)的可微性41.2.3 推廣的積分上限函數(shù)求導(dǎo)公式51.2.4 積分上限函數(shù)的周期性62 積分上限函數(shù)的應(yīng)用72.1 極限、連續(xù)相關(guān)問題72.2 導(dǎo)數(shù)問題82.3 單調(diào)性問題92.4 極值、最值問

7、題102.5 在證明中值定理上的應(yīng)用112.6 在函數(shù)關(guān)系問題中的應(yīng)用122.7 零點問題122.8 在證明等式題、不等式題的應(yīng)用132.9 在計算重積分上的應(yīng)用153 結(jié)束語16參考文獻(xiàn)17致 謝18前 言變上限積分在微積分理論中有著十分重要的作用，首先，由變上限定積分得出了原函數(shù)存在定理，也即微積分基本定理，通過此定理也用另一種方式推導(dǎo)了牛頓-萊布尼茨公式，并且利用它也定義了反常積分等。積分上限函數(shù)不僅在這些方面扮演了重要角色，而且它作為一種特殊的函數(shù)，提供了函數(shù)的一種新的描述方式，在此基礎(chǔ)之上，它還可以表示很多非初等函數(shù)，極大的豐富了函數(shù)的表達(dá)式，使微積分理論變得更加嚴(yán)謹(jǐn)、適用和完備。最

8、重要的是，積分上限函數(shù)具有與普遍函數(shù)相關(guān)的特征，又具有與許多與積分有關(guān)的特殊性質(zhì)，如連續(xù)性、周期性、單調(diào)性等，所以在很多問題中，可以充分利用積分上限函數(shù)對題目中涉及的定積分的積分上限改為變量變成變上限積分，或者對所給的函數(shù)取變上限積分進(jìn)行升級得到性質(zhì)改善的函數(shù)，對一些問題進(jìn)行簡化計算和證明，都能夠使問題柳暗花明，得到更方便的解決，起到他山之石，可以攻玉的方法效果。在一元函數(shù)的微積分學(xué)中，由于證明原函數(shù)存在定理和微積分基本公式的需要，引入了積分上限函數(shù)，從而揭示了不定積分與定積分，微分與積分的內(nèi)在聯(lián)系，解決了定積分的計算問題。其最著名的應(yīng)用是在牛頓-萊布尼茨公式的證明中。在目前比較流行的高等教材

9、和公開的期刊雜志中，對積分上限函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用已經(jīng)作了比較深入的研究。在王國強(qiáng)的變限積分函數(shù)及其應(yīng)用中對變限積分函數(shù)及其性質(zhì)進(jìn)行了推廣，收集了若干與變限積分有關(guān)的例子，論述了變限積分函數(shù)在其上的應(yīng)用。在劉曉蘭、周婭杰的關(guān)于積分上限函數(shù)探討了積分上限函數(shù)的實質(zhì)、一般性質(zhì)，詳細(xì)討論了積分上限函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)以及積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。在向長福的積分上限函數(shù)的分析性質(zhì)和應(yīng)用中，討論了積分上限函數(shù)的三條分析性質(zhì),并證明了積分上限函數(shù)的連續(xù)性定理，進(jìn)而以例子為載體闡述了積分上限函數(shù)分析性質(zhì)的應(yīng)用，包括積分上限函數(shù)可導(dǎo)性的應(yīng)用，積分上限函數(shù)的連續(xù)性應(yīng)用。高鴻在積分上限函數(shù)的主要性質(zhì)和應(yīng)用中，討論了積分上

10、限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在性、 周期性和 n 重迭次積分公式, 并探討了它們在求導(dǎo)、求極限、證明單調(diào)性及連續(xù)性、證明積分中值定理、定義有關(guān)函數(shù)等方面的應(yīng)用。在蔣善利，普豐山的積分上限函數(shù)的主要性質(zhì)的研究中，給出了積分上限函數(shù)的定義，通過對積分上限函數(shù)的可導(dǎo)性、單調(diào)性、連續(xù)性、可積性的證明，進(jìn)一步來探 討積分上限函數(shù)的性質(zhì)，推導(dǎo)出幾個相關(guān)定理，指出積分上限函數(shù)的應(yīng)用。本文系統(tǒng)地討論了積分上限函數(shù)的九類相關(guān)問題。首先簡要說明了積分上限函數(shù)的主要性質(zhì)及其證明，這是討論一切與積分上限函數(shù)有關(guān)的問題的基礎(chǔ)，包括積分上限函數(shù)的連續(xù)性，可微性，周期性等性質(zhì)，進(jìn)而舉例說明了積分上限函數(shù)在解題和證明中的諸多應(yīng)用，包括積分

11、上限函數(shù)的極限、連續(xù)、可微問題，極值、最值問題，零點問題，證明中值定理，在函數(shù)關(guān)系上的應(yīng)用等相關(guān)問題。1 積分上限函數(shù)的定義及性質(zhì) 在微積分學(xué)理論中，由于證明原函數(shù)存在定理引入了積分上限函數(shù)，進(jìn)而也簡便的證明了牛頓-萊布尼茨公式。積分上限函數(shù)也稱變上限積分，它有著積分的形式，實質(zhì)是一類特殊形式的函數(shù)，它主要由被積函數(shù)的性質(zhì)和積分上(下)限的結(jié)構(gòu)來決定。下面介紹了積分上限函數(shù)的概念和主要性質(zhì)。1.1 積分上限函數(shù)的概念 設(shè)函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，則在上可積，對任意的，則存在，即這個積分是上限的函數(shù)。由于積分與變元素采用的記號無關(guān)，這個積分也常記作。將這個函數(shù)記作。注：定積分與積分變量無關(guān)，積分上限函數(shù)，

12、還可以記為。 1.2 積分上限函數(shù)的性質(zhì)1.2.1 積分上限函數(shù)的連續(xù)性定理1 如果函數(shù)在上是可積，則積分上限函數(shù)在區(qū)間連續(xù)。 證明： ， 又由已知條件，在上有界，即：對，有。，令 ，即，當(dāng)時，有，即。 在上連續(xù)。 由在上的任意性，在上連續(xù)。 積分上限函數(shù)的可微性定理2 若函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，則積分上限函數(shù)在有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且， 即積分上限函數(shù)是被積函數(shù)的一個原函數(shù)。 證明：設(shè)，取，使則有，已知函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，則由積分中值定理，至少存在一點，使=，?。ǎ瑒t：，或，又由函數(shù)在的連續(xù)性，有，即，。 注解：（1）從以上兩個定理可看出，對取變上限積分得到的積分上限函數(shù)，比原來的函數(shù)得到了更好的性質(zhì)：可積

13、改進(jìn)為連續(xù)；連續(xù)改進(jìn)為可導(dǎo)。這是積分上限函數(shù)的良好性質(zhì)。而我們知道，可導(dǎo)函數(shù)經(jīng)過求導(dǎo)后，其導(dǎo)函數(shù)甚至不一定是連續(xù)的，所以反之不一定成立。 （2）定理2也稱為原函數(shù)存在定理，它說明：連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，并通過定積分的形式給出了它的一個原函數(shù)。我們知道，求原函數(shù)是求導(dǎo)運算的逆運算，本質(zhì)上是微分學(xué)的問題；而求定積分是求一個特定和式的極限，是積分學(xué)的問題。定理2把兩者聯(lián)系了起來，在微分和積分之間建立了橋梁，從而使微分學(xué)和積分學(xué)成為一個整體，我們又把它稱為微積分第一基本定理。 推廣的積分上限函數(shù)求導(dǎo)公式 定理3 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，（1）當(dāng)上限是的可微函數(shù)時，有如下面求導(dǎo)公式；（2）當(dāng)上限與下限

14、都是的可微函數(shù)時，則有如下求導(dǎo)公式：。證明：（1）取，使由已知函數(shù)是可微函數(shù)，故，又在連續(xù)，由積分中值定理，則： ，是可微，因此是連續(xù) ，。（2）,取，使 由已知，和都是可微函數(shù)。又在連續(xù)，由積分中值定理同理得， 則：又與可微，且，連續(xù)函數(shù)，所以， 所以 。1.2.4 積分上限函數(shù)的周期性定理4 周期為的可積函數(shù)的積分，當(dāng)時，是以T為周期的周期函數(shù)。證明： 由于是周期為的可積函數(shù)令 則：作變量代換：，所以因此當(dāng)時，函數(shù)成立。即當(dāng)時，函數(shù)時以為周期的周期函數(shù)。 1.2.5 積分限函數(shù)的幾種變式（1） 比如 , 但可提到積分號外面來；時，先將右端化為的形式，再對求導(dǎo)。（2）比如 說明：1.f 的自

15、變量中含, 可通過變量代換將 置換到的外面來時，先對右端的定積分做變量代換（把看作常數(shù)），此時，時，；時，這樣，就化成了以作為積分變量的積分下限函數(shù)：，然后再對求導(dǎo)。(3) 比如 的定積分, 可通過變量代換將變換到積分限的位置上去時，先對右端的定積分做變量代換（把看作常數(shù)），此時，時，；時，于是，就化成了以作為積分變量的積分上限函數(shù)：，然后再對求導(dǎo)。2 積分上限函數(shù)的應(yīng)用積分上限函數(shù)有很好的性質(zhì)，上文已經(jīng)作了簡單說明，我們利用積分上限函數(shù)可以解決一些微積分問題。下文主要討論了積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題、單調(diào)性問題、零點問題、在函數(shù)關(guān)系中的應(yīng)用等九類相關(guān)問題, 給出對應(yīng)例題和解析過程,論述了積分上限

16、函數(shù)在其上的應(yīng)用。 極限、連續(xù)相關(guān)問題 分析：有關(guān)積分上限函數(shù)的極限，連續(xù)問題，如求解積分上限函數(shù)極限、證明積分上限函數(shù)連續(xù)的問題通?？紤]洛必達(dá)法則。 例1 求極限 .解：令，則是的間斷點。又，所以是的可去間斷點，從而在上連續(xù)。由積分上限函數(shù)的可微性，知可導(dǎo)，從而，即 。 例2 討論 的連續(xù)性.解：（1）當(dāng)時，是顯然連續(xù)。（2）當(dāng)時，對任何是連續(xù)的，所以是的連續(xù)函數(shù)。在時，是不為零的連續(xù)函數(shù)，故它們的商是連續(xù)的.（3）當(dāng)時， 因此在處不連續(xù)，但它是右連續(xù)的。 導(dǎo)數(shù)問題 分析：積分上限函數(shù)是一種特殊形式的函數(shù)，那么函數(shù)是否可導(dǎo)？如果可導(dǎo)，它的導(dǎo)數(shù)是什么呢？根據(jù)上文給出的積分上限函數(shù)的可微性，下面

17、通過幾個簡單的例子來舉例說明。例3 求的值. 解： ； 例4 求由所確定的隱函數(shù)對的導(dǎo)數(shù) 解：方程 兩邊對求導(dǎo)數(shù) ，得 ； 2.3 單調(diào)性問題分析：有關(guān)積分上限函數(shù)的單調(diào)性問題，考慮利用可導(dǎo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判斷積分上限函數(shù)的單調(diào)性。例5 設(shè)，并且時， 證明：函數(shù)在內(nèi)為增函數(shù).證明：當(dāng)時，分母，所以在內(nèi)有定義，當(dāng)時 ；.故，所以，即從而在內(nèi)為增函數(shù)。例6 設(shè)是上連續(xù)奇函數(shù)且單調(diào)上升，。求證：（1）是奇函數(shù)； （2）在上單調(diào)減函數(shù).證明：對（1）， 故是奇函數(shù)。（2） 因為在上單調(diào)上升，所以，又因為是奇函數(shù)，所以 ，對時，有故函數(shù)在上單調(diào)減，又因為。所以函數(shù)在上單調(diào)減函數(shù)。2.4 極值、最值

18、問題分析：利用可導(dǎo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)來判斷積分上限函數(shù)的極值點問題和最值問題，以下舉例說明。 例7 當(dāng)為何值時，有極值？ 解： 令得的駐點x=0 當(dāng)<0時， 當(dāng)>0時，所以，函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)=0時，有極小值例8 在區(qū)間上求一點, 使得下圖中所示的陰影部分的面積為最小Oey = ln xxy11思路：先將面積表達(dá)為兩個變限定積分之和：， 然后求出，再求出其駐點。 例9 設(shè)，為正整數(shù)。證明 的最大值不超過思路：先求出函數(shù)的最大值點，然后估計函數(shù)最大值的上界。2.5 在證明中值定理上的應(yīng)用例10 微分中值定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使.證明：把

19、換成，則，即，將上式兩邊取積分有即令，顯然，且在內(nèi)連續(xù)，在可導(dǎo)，由羅爾定理，則至少存在一點，使所以 .例11 積分中值定理：若函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，則在內(nèi)至少存在一點，使得.證明：設(shè)，由于在上連續(xù)，由拉格朗日中值定理，則至少存在一點，使得即 2.6 在函數(shù)關(guān)系問題中的應(yīng)用例12 已知函數(shù) ，求積分上限函數(shù)在上的表達(dá)式。解：當(dāng)時， 當(dāng)時， 所以，2.7 零點問題 分析：己知問題給出函數(shù)連續(xù)而未給出函數(shù)可導(dǎo)條件，利用連續(xù)函數(shù)的零點定理，由己知條件無法直接證明該函數(shù)存在零點時，我們可以對其取變限積分升級為可導(dǎo)的輔助函數(shù)，利用羅爾定理證明該函數(shù)存在零點。 例13 設(shè)在連續(xù)，且=0。試證在有兩個不同的點=0

20、 使。 證明：設(shè) ，由在連續(xù)，則， ，且 知，從而對在與之間應(yīng)用羅爾定理，知，使。2.8 在證明等式題、不等式題的應(yīng)用 分析：將積分上限(或下限)中的參數(shù)改為變量或視為變量，構(gòu)造出輔助函數(shù)，再利用變限積分的求導(dǎo)公式，得到輔助函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號，證明與積分上限(或下限)取值無關(guān)的定積分恒等式或不等式。例14 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，求證：.證明：設(shè)輔助函數(shù)，則在上可導(dǎo)，且， 所以：。例15 若是連續(xù)函數(shù)，求證：.證明：令，則，由于，所以即。例16 （施瓦茲不等式）若和在上連續(xù)，則.證明：令，則 所以在上單調(diào)增加，從而因此 注解：本題的通常證法是從不等式出發(fā)，由關(guān)于的二次函數(shù)非負(fù)的判別條件即可證得結(jié)論。但

21、也可構(gòu)造一個積分上限函數(shù), 利用該函數(shù)的單調(diào)性來證明。例17 設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，并且嚴(yán)格單調(diào)減小，又設(shè)，求證：對于任意的，證明：記，因為單調(diào)減小，則 ，所以單調(diào)減小，又 ，故 ，即 。2.9 在計算重積分上的應(yīng)用分析：當(dāng)定積分的被積函數(shù)中含有積分上限函數(shù)的因子時， 總是用分部積分法求解，且取為積分上限函數(shù)，下面舉例說明。例18 設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且, ，則的值是多少？ 解: + 例19 求值：解：令，則它是積分上限的函數(shù)。因為在上連續(xù)，則在上可導(dǎo)。且有存 。3 結(jié)束語本文主要討論了積分上限函數(shù)的定義，主要性質(zhì)及其在許多問題中的應(yīng)用，其中主要論述了積分上限函數(shù)在九個問題上的應(yīng)用。積分上限函數(shù)在積分學(xué)中有非常重要的地位，它是溝通微分學(xué)與積分學(xué)的紐帶，其結(jié)果可應(yīng)用于構(gòu)造輔助函數(shù)，將積分問題轉(zhuǎn)化函數(shù)問題來證明和計算，通過對積分上限函數(shù)的學(xué)習(xí)，我們在解答不同類型數(shù)學(xué)題目