軸對稱及將軍飲馬問題.教師版

1、實用文案軸對稱及“將軍飲馬”問題知識點睛軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形.這條直線就是（或軸）對稱.它的對稱軸.這時我們就說這個圖形關(guān)于這條直線 如下圖， ABC是軸對稱圖形.兩個圖形軸對稱:標準文檔把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就是說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱,這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫做對稱點.如下圖， MBC與 M'B'C'關(guān)于直線l對稱，l叫做對稱軸.A和A', B和B', C和C'是對稱點.軸對稱圖形和兩個圖形軸對稱的區(qū)別和聯(lián)

2、系:軸對稱圖形兩個圖形軸對稱區(qū) 別圖形的個數(shù)1個圖形2個圖形對稱軸的條 數(shù)一條或多條只啟1條聯(lián)系二者都的關(guān)于對稱軸對稱的對稱軸的性質(zhì)：對稱軸所在直線經(jīng)過對稱點所連線段的中點，并且垂直于這條線段.即：如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱， 那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線.類似地，軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所 連線段的垂直平分線.線段的垂直平分線：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.如圖，直線l經(jīng)過線段AB的中點O,并且垂直于線段 AB,則直線l就是線段AB的垂直平分線.I-5""線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點與這條線段

3、兩個端點的距離相等. 如圖，點P是線段AB垂直平分線上的點，則 PA = PB.線段垂直平分線的判定：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.成軸對稱的兩個圖形的對稱軸的畫法：如果兩個圖形成軸對稱，其對稱軸就是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線.因此，我們只要找到一對對應(yīng)點，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個圖形的對稱軸.成軸對稱的兩個圖形的主要性質(zhì)：成軸對稱的兩個圖形全等如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點連線的垂直平分線軸對稱變換的方法應(yīng)用：軸對稱變換是通過作圖形關(guān)于一直線的對稱圖形的手段，把圖形中的某一圖形對稱地移動到一個新的位置上,使

4、圖形中的分散條件和結(jié)論有機地聯(lián)系起來.常用的輔助線有角平分線條件時的各種輔助線，本質(zhì)上都是對 稱變換的思想.軸對稱變換應(yīng)用時有下面兩種情況：圖形中有軸對稱圖形條件時，可考慮用此變換；圖形中有垂線條件時，可考慮用此變換.重、難點重點：理解軸對稱的概念，并且熟悉掌握軸對稱的性質(zhì)以及作圖，同時理解軸對稱 變換的概念，能很好的做出軸對稱變換的圖形，并能很好的利用軸對稱的知 識來解決題目難點：運用軸對稱變換來解決實際題目，以及軸對稱的生活中的實際運用例題精講板塊一、軸對稱與軸對稱圖形的認識【例1】下列“ QQ表情”中屬于軸又稱圖形的是 （）物與芍AB.C.D.【解析】C【鞏固】【解析】例2【解析】【鞏固

5、】【解析】【鞏固】【解析】C.（09湖南株洲）下列四個圖形中，不是軸對稱圖形的是（）A.B.C.D.（2004瀘州）下列各種圖形不是軸對稱圖形的是（）A B C D（2003吉林）下面四個圖形中，從幾何圖形的性質(zhì)考慮，哪一個與其他三個不同？請指出這個圖形,并簡述你的理由.；四個圖形中，只有圖不是軸對稱圖形.例3如圖，它們都是對稱圖形，請觀察并指出哪些是軸對稱圖形，哪些圖形成軸對稱.2MN0（1）II 9 2sL份【解析】例4【解析】【鞏固】【解析】例5【解析】例6【解析】25 O（10）軸對稱圖形：1, 3, 4,成軸對稱的圖形有：2,6, 8, 105, 7, 9（09黑龍江哈爾濱）下列圖形

6、中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（(B)（C）(A)D（2004北京）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A.等腰三角形B.等腰梯形C.正方形D.平行四邊形C（2003四川）我國主要銀行的商標設(shè)計基本上都融入了中國古代錢幣的圖案, 標圖案中是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形的是（）©G（S>ABCDC（2003北京市海淀區(qū)）羊年話“羊”字象征著美好和吉祥, 對稱圖形白個數(shù)是（）A. 1;B, 2;B, 3; D. 4B)(D)卜列我國四大銀行的商字有關(guān)，其中是軸【解析】【例7】 【解析】【鞏固】（08山東省青島市）下列圖形中，軸對稱圖形的個數(shù)是 （）如圖所示的

7、圖案是我國幾家銀行標志，其中軸對稱圖形有（）A. 1個B. 2個C. 3個B;C（上海）正六邊形是軸對稱圖形，它有 條對稱軸.6 .點撥：可以畫出例圖進行分析，明確正 n邊形有n條對稱軸.【鞏固】（2003河北?。┫铝袌D案中，有且只有三條對稱軸的是【鞏固】（08蘇州）下列圖形中，軸對稱圖形 的是A.BC.下列圖形中對稱軸最多的是（）A.圓B.正方形C.等腰三角形D線段【解析】D；A例8作出下圖所示的圖形的對稱軸:【解析】答案見右上圖.【鞏固】作出下圖所示的成軸對稱圖形的對稱軸:【解析】答案見右上圖.【例9】求作線段AB的垂直平分線A【解析】略【例10已知：如圖，ZABC及兩點M、N .求作：點

8、P,使得PM =PN ,且P點到/ABC兩邊所在的直 線的距離相等.【解析】因為是兩邊所在的直線，所以有兩個答案.答案一：/ABC內(nèi)角平分線與線段 MN的垂直平分線的交點C答案二：/ABC外角平分線與線段 MN的垂直平分線的交點【例11】（2003長沙）如圖，請根據(jù)小文在鏡中的像寫出他的運動衣上的實際號碼:【解析】108【例12】（2004河南）如圖，直線l是四邊形ABCD的對稱軸，若 AB=CD,有下面的結(jié)論： AB II CD AC _LBD AO=OC AB_LBC,其中正確的結(jié)論有 .【解析】【鞏固】（2003安徽）如圖，l是四邊形ABCD的對稱軸，如果AD II BC ,有下列結(jié)論：

9、AB II CDAB = BC AB_LBCAO =OC .其中正確的結(jié)論是 .（?把你認為正確的結(jié)論的序號都填上）【解析】、【例13】（2003南寧市）尺規(guī)：把右圖（實線部分）補成以虛線L為對稱軸的軸對稱圖形，你會得到一只美麗蝴蝶的圖案（不用寫作法、【解析】答案見右上圖.板塊二、軸對稱的應(yīng)用【例14如圖，MBC和 M'B'C'關(guān)于直線l對稱，且ZB=90°, A'B' = 6cm,求/B'的度數(shù)和AB的長.BB'【解析】MBC和AA'B'C'關(guān)于直線l成軸對稱 ，/B=/B', AB=A'

10、;B'又 , ZB =90°, A'B'=6cm /B' =90°, AB =6cm .ED交AC于D ，交AB于E ，量【例15如圖，有一塊三角形田地，AB=AC=10cm,作AB的垂直平分線得 MDC的周長為17m ,請你替測量人員計算 BC的長.【解析】ED垂直平分ABDA = DB,BD +DC +BC=17m ，AD DC BC =17mAC =10m, BC =7m .【鞏固】如圖， MBC中，BC邊的垂直平分線 DE交BC于D,交AC于E, BE=5厘米，ABCE的周長是 18厘米，則BC等于多少厘米？【解析】ED垂直平分BC

11、EB=EC , iBEC的周長為18cm BC =8cm .【例16】如圖，已知 /AOB=40。，CD為OA的垂直平分線，求 /ACB的度數(shù).【解析】 CD垂直平分OAc CO=CAO = A1'' . O =40乙 A 二40ZACB =/A+NO =80"【例17】（2004陜西）已知：如圖，在 MBC中，AB = BC=2, /ABC=120r BC平行于x軸，點B?的坐 標是（-3,1）.畫出 MBC關(guān)于y軸對稱的AA'B'C'求以點A、B、B'、A'為頂點的四邊形的面積.【解析】過A點作AD _L BC ,交BC的延

12、長線于點 D ,則 /ABD =180 *-NABC=60在RtMBD中，1 BD= AB- cos/ABD= 2X = 12AD= AB- sin / ABB2X又知點B的坐標為（-3 , 1）可得點A的坐標為（M, 1 +召）.AA'_Ly 軸，BBy 軸，AA'/ BB'. AB與A'B'不平行以點A, B, B', A'為頂點的四邊形是等腰梯形 由點A B的坐標可求得AA' =2 4 =8, BB' =2 3 =6，梯形 ABB'A'的面積=-(AA +BB ) AD= - X (8+6) X 73

13、=773 . 22B ,當點P在直線l上運板塊三、軸對稱在幾何最值問題中的應(yīng)用【例18】已知點A在直線l外，點P為直線l上的一個動點，探究是否存在一個定點B;若不存在，請說明理由.動時，點P與A、B兩點的距離總相等，如果存在，請作出定點A點B與點A重合，或者點B是點A關(guān)于直線l的對稱點.【例19如圖，在公路a的同旁有兩個倉庫 A、B,現(xiàn)需要建一貨物中轉(zhuǎn)站，要求到A、B兩倉庫的距離和最短，這個中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在公路旁的哪個位置比較合理?A.【解析】答案見右上圖.【鞏固】若此題改成，在 a上找到M、N兩點，且MN =10 , M在N的左邊，使四邊形 ABMN的周長最短.【解析】見右上圖.【例20（“五羊

14、杯”邀請賽試題）如圖，/AOB=45。角內(nèi)有點P,在角的兩邊有兩點 Q、R（均不同于O 點），求作Q、R,使得妒QR的周長的最小.【解析】見右上圖.【鞏固】如圖， M、N為 MBC的邊AC、BC上的兩個定點，在 AB上求一點P ,使APMN的周長最短.利【解析】見右上圖.【例21】（2000年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽）如圖，設(shè)正 MBC的邊長為2, M是AB邊上的中點，P是BC邊上的任意 一點，PA+PM的最大值和最小值分別記為 s和t .求s2 -t2的值.【解析】【例22】【解析】【例23】【解析】作點M關(guān)于BC的對稱點 M ',連接 AM '、PM '.由點M、M '

15、關(guān)于BC對稱可知， PM =PM '.故 PA+PM =PA+PM '> AM '當且僅當A、P、M'共線時，等號成立，故 t2=(AM')2=7.另外兩個臨界位置在點 B和點C處.當點P位于點C處時，PA+PM =AC+CM =2+73;當點P位于點B處時，PA+PM =AB + BM=3.故 s2 =(2+后=7+4 點，s212=4 點.本題也可作點 A關(guān)于BC的對稱點A',連接A'M、PA'.已知如圖，點M在銳角/AOB的內(nèi)部，在OB邊上求作一點P ,使點P到點M的距離與點 的邊的距離和最小.見右上圖.已知：A、B兩

16、點在直線l的同側(cè)， 在l上求作一點M ,使得|AM -BM |最小.見右上圖.P到OA【鞏固】已知： A、 B兩點在直線l的同側(cè)，在l上求作一點M ,使得| AM -BM |最大.【解析】見右上圖.【例24】（07年三帆中學(xué)期中試題）如圖，正方形 ABCD中，AB=8, M是DC上的一點，且DM =2 , N是 AC上的一動點，求 DN十MN的最小值與最大值.【解析】找點D關(guān)于AC的對稱點，由正方形的性質(zhì)可知，B就是點D關(guān)于AC的對稱點,連接 BN、 BM ,由 DN +MN =BN +MN 之BM 可知, 當且僅當B、N、M三點共線時，DN +MN的值最小，該最小值為 ，62 +82 =10

17、.當點N在AC上移動時，有三個特殊的位置我們要考察：BM與AC的交點，即DN +MN取最小值時；當點N位于點 A時，DN +MN =AD+AM =8+2屈；當點N位于點C時，DN +MN =CD +CM =8 +6 =14 .故DN +MN的最大值為8 +2，萬.【鞏固】例題中的條件不變，求DN -MN的最小值與最大值.【解析】當DN =MN時，|DN -MN有最小值為0,此時點N位于DM的垂直平分線與 AC的交點處.DN -MN| <DM =2,當點N與點C重合時，等號成立，此時有最大值2.（黑龍江省中考題）如圖，已知正方形 ABCD的邊長為8, M在DC上，且DM =2, N是AC上

18、的一個動點，則DN +MN的最小值是【解析】連接BM交AC于N ,此點即為所求.所以根據(jù)勾股定理，DN +MN =10 .【例25】（2004鄲縣改編）某供電部門準備在輸電主干線 l上連接一個分支線路同時向新落成的A、B兩個居民小區(qū)送電，分支點為 M ,已知居民小區(qū) A、B到主干線l的距離分別為 AA=2千米，BB1=2千 米，且ABi=4千米. 居民小區(qū)A、B在主干線l的兩旁如圖所示，那么分支點M在什么地方時總線路最短？最短線路的長度是多少千米？ 如果居民小區(qū) A、B在主干線l的同旁，如圖所示，那么分支點M在什么地方時總線路最短？ 此時分支點 M與Ai距離多少千米？【解析】連結(jié)AB, AB與

19、l的交點就是所求的分支點 M ,分支點開在此處總線路最短，如圖，因為 ZBB1M =ZAA1M =90°, NBMB1 =/AMA1 .所以加1BM 9 AA1AM .所以AM =2 .由勾股定理，得 AM =BM =2五,AB=AM +BM =4庭,所以分支點 M在線段 AiBi上距A點2 2千米處，最短線段的長度為 4 2千米； 如圖，作B點關(guān)于直線l的對稱點B2,連結(jié)AB2交直線l于點M ,此處即為分支點，由圖可知， AiM的長度為2千米.點撥：在解本題時，應(yīng)注意線段最短，在第問中也可以先畫A點的對稱點A2.【例26（09山東臨沂）如圖，A, B是公路l （ l為東西走向）兩旁

20、的兩個村莊，A村到公路l的距離AC=1km, B村到公路l的距離BD=2km , B村在A村的南偏東45。方向上.求出A, B兩村之間的距離；為方便村民出行，計劃在公路邊新建一個公共汽車站P ,要求該站到兩村的距離相等，請用尺規(guī)在圖中作出點 P的位置（保留清晰的作圖痕跡，簡明書寫作法）.l【解析】 方法一：設(shè)AB與CD的交點為O,根據(jù)題意可得 /A=NB=45， ZiACO和ABDO都是等腰直角三角形.AO=V2, BO =2 應(yīng).二.A, B 兩村的距離為 AB =AO+BO =J2+2j2=3/2（km ）方法二：過點B作直線l的平行線交 AC的延長線于E.易證四邊形CDBE是矩形, CE=BD =2 .在 RUAEB 中，由 /A=45。可得 BE=EA=3.AB = 33 32 =3.2 kmA, B兩村的距離為3j2km .作圖正確，痕跡清晰.作法：分別以點 A, B為圓心，以大于Iab的長為半徑作弧，2兩弧交于兩點 M , N ,作直線MN ;直線MN交l于點P ,點P即為所求.家庭作業(yè)【習(xí)題1】（08蘇