20082009第二學(xué)期線性代數(shù)試題及答案

1、中國海洋大學(xué) 2008-2009學(xué)年 第2學(xué)期 期末考試試卷 數(shù)學(xué)科學(xué) 學(xué)院 線性代數(shù) 課程試題(A卷)優(yōu)選專業(yè)年級 學(xué)號 姓名 授課教師 座號 -裝-訂-線- 共 4 頁 第 1 頁考試說明：本課程為閉卷考試，滿分為：100分。題號一二三四五六總分得分注意：本試卷共六大題，請將答案寫在答題紙上。符號說明： 表示矩陣的秩，表示矩陣的伴隨矩陣，表示階單位矩陣，表示矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，表示的代數(shù)余子式。一 單項選擇題（每題3分，共18分）1設(shè)都是階方陣，則( )。 A. ； B. ； C. 若，則或； D. .2. 設(shè)向量組線性無關(guān)，則下列命題不正確的是( )。 A. 向量組線性無關(guān)； B. 向量組線

2、性無關(guān)； C. 若存在常數(shù)，使成立，則； D. 不能由線性表示. 數(shù)學(xué)科學(xué) 學(xué)院 線性代數(shù) 課程試題(A卷) 共 4 頁 第 2 頁3. 設(shè)均為階非零方陣，且,則下列結(jié)論錯誤的是( )。 A. 都小于； B.若，則； C. 若，則； D. .4設(shè)均為階實對稱矩陣，若存在正交矩陣，使成立.現(xiàn)有四個命題：與合同 ； ； 若為正定矩陣，則也是正定矩陣；與有相同的特征值和特征向量.以上命題正確的是（ ）。A. ； B.； C.； D.5. 設(shè)為矩陣，若非齊次線性方程組有多個解，則（ ）。A. ； B. 的列向量組線性無關(guān)； C. 有非零解； D. 有可能為零矩陣. 6. 設(shè)為階實對稱的正定矩陣，則下列

3、描述不正確的是（ ）。A. 可以有非零解； B. 是正定矩陣； C. 是正定矩陣； D. 的特征值全大于0.二 填空題（每題3分，共21分）1設(shè)均為3階方陣，且，則 。2. 已知3階非零實方陣滿足，則 。3. 。4. 已知4元非齊次線性方程組，又知為的3個解，且，則的全部解為 。中國海洋大學(xué) 2008-2009學(xué)年 第2學(xué)期 期末考試試卷 數(shù)學(xué)科學(xué) 學(xué)院 線性代數(shù) 課程試題(A卷)優(yōu)選專業(yè)年級 學(xué)號 姓名 授課教師 座號 -裝-訂-線- 共 4 頁 第 3 頁5. 二次型，則的秩為 。6. 設(shè)行列式為，則第四行各元素的代數(shù)余子式之和為 .7. 若為3階矩陣的一個特征值，為矩陣的對應(yīng)于的特征向量

4、，向量，則 。三計算下列各題（28分）1.計算4階行列式；2. 求階行列式的值，其中。3設(shè)矩陣,滿足方程，求矩陣。 4. 已知的兩組基為與，求：（1）基到基的過渡矩陣；（2）向量在基下的坐標(biāo)。 數(shù)學(xué)科學(xué) 學(xué)院 線性代數(shù) 課程試題(A卷) 共 4頁 第 4 頁四. 設(shè)二次型，利用正交變換法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫出正交矩陣。（13分）五. 設(shè)齊次線性方程組為，（1）求方程組的基礎(chǔ)解系，（2）將基礎(chǔ)解系正交化、單位化。（10分）六設(shè)向量組線性無關(guān)，試證明：（1）若非零向量與向量組中的每個向量都正交，則線性無關(guān)；（2）若可由表出，而不能由表出，則線性無關(guān)。（10分）中國海洋大學(xué) 2008-2009學(xué)

5、年 第2學(xué)期 期末考試線性代數(shù)課程試題(A卷)答案一 1B；2. A ； 3. D；4C；5. C. 6 A二 1；2. 1；3.；4.；5. 3.；6. 0； 三 157；2. ； 3. ；4（1）過渡矩陣為；（2）坐標(biāo)為.四，特征值為.正交矩陣為，標(biāo)準(zhǔn)型為五. 。六利用內(nèi)積與線性相關(guān)，線性無關(guān)的有關(guān)結(jié)論即可得證。中國海洋大學(xué) 2008-2009學(xué)年 第2學(xué)期 期末考試試卷 數(shù)學(xué)科學(xué) 學(xué)院 線性代數(shù) 課程試題(B卷)優(yōu)選專業(yè)年級 學(xué)號 姓名 授課教師 座號 -裝-訂-線- 共 3 頁 第 1 頁考試說明：本課程為閉卷考試，滿分為：100分。題號一二三四五六總分得分注意：本試卷共六大題，請將答

6、案寫在答題紙上。以下是符號說明： 表示矩陣的秩，表示矩陣的伴隨矩陣，表示階單位矩陣，表示矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。一 單項選擇題（每題3分，共15分）1設(shè)都是階方陣，且,則下列結(jié)論錯誤的是( )。 A. 若為實對稱矩陣，則； B. 可逆； C. 的特征值只能為0； D. .2. 設(shè)向量組線性相關(guān)，則( )。 A. 向量組線性相關(guān)； B. 向量組必線性相關(guān)； C. 若存在常數(shù)，使成立，則必有不全為零； D. 中任意一個向量都可以由其余3個向量線性表示.授課教師命題教師或命題負(fù)責(zé)人簽字線性代數(shù)課程組 年 月 日院系負(fù)責(zé)人 簽字年 月 日 數(shù)學(xué)科學(xué) 學(xué)院 線性代數(shù) 課程試題(B卷) 共 3 頁 第 2 頁3.

7、 設(shè)為矩陣，為矩陣，則下列結(jié)論不正確的是( )。 A. 當(dāng)時，； B. 當(dāng)時，有非零解； C. 若且，則的行向量組線性無關(guān)； D. 當(dāng)時，僅有零解.4設(shè)均為階實對稱矩陣，若存在正交矩陣，使成立.現(xiàn)有四個命題：與相似 ； ；若為正定矩陣，則也是正定矩陣；與有相同的特征值和特征向量.以上命題正確的是（ ）。A. ； B.； C.； D.5. 階矩陣相似于對角陣的充要條件是（ ）。A. 有個不同的特征值； B. 有個線性無關(guān)的的特征向量； C. 的特征方程沒有重根； D. 的行列式不為零.二 填空題（每題3分，共15分）1設(shè)均為3階方陣，且，則 。2. 已知，,則 。3. 設(shè)為階實對稱矩陣，則為正定

8、矩陣的等價條件為 。4設(shè)，若矩陣相似于，則 。5. 若二次型可經(jīng)正交線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)型，則 。中國海洋大學(xué) 2008-2009學(xué)年 第2學(xué)期 期末考試試卷 數(shù)學(xué)科學(xué) 學(xué)院 線性代數(shù) 課程試題(B卷)優(yōu)選專業(yè)年級 學(xué)號 姓名 授課教師 座號 -裝-訂-線- 共 3 頁 第 3 頁三計算下列各題（40分）1.求方程的所有根；2. 求階行列式。3設(shè)均為3階方陣，,且，求矩陣。4設(shè)向量組，求向量組的一個極大無關(guān)組，并將其余向量用極大無關(guān)組線性表出。5. 將對角化，并求。四. 設(shè)二次型，利用正交變換法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫出正交矩陣。（10分）五. 求非齊次線性方程組的全部解。（10分）六證明：維向量空間中，向量可由向量組唯一表示的充要條件是向量組線性無關(guān)。（10分）中國海洋大學(xué) 2008-2009學(xué)年 第2學(xué)期 期末考試線性代數(shù)課程試題(B卷)答案一 1D；2. A ； 3.