11軸對(duì)稱(chēng)全章復(fù)習(xí)與鞏固提高知識(shí)講解

1、軸對(duì)稱(chēng)全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱(chēng)、軸對(duì)稱(chēng)圖形，理解軸對(duì)稱(chēng)的基本性質(zhì)及它們的簡(jiǎn)單應(yīng)用；2. 了解垂直平分線(xiàn)的概念，并掌握其性質(zhì)；3. 了解等腰三角形、等邊三角形的有關(guān)概念，并掌握它們的性質(zhì)以及判定方法.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、軸對(duì)稱(chēng)1.軸對(duì)稱(chēng)圖形和軸對(duì)稱(chēng)（1）軸對(duì)稱(chēng)圖形如果一個(gè)圖形沿著某一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線(xiàn)就是它的對(duì)稱(chēng)軸.軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)：軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn).（2）軸對(duì)稱(chēng)定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直線(xiàn)折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，這

2、條直線(xiàn)叫做對(duì)稱(chēng)軸.成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形的性質(zhì)：關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形形狀相同，大小相等，是全等形；如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)；兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，如果它們的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段或延長(zhǎng)線(xiàn)相交，那么它們的交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上.（3）軸對(duì)稱(chēng)圖形與軸對(duì)稱(chēng)的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別: 軸對(duì)稱(chēng)是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，軸對(duì)稱(chēng)圖形是指具有特殊形狀的一個(gè)圖形；軸對(duì)稱(chēng)涉及兩個(gè)圖形，而軸對(duì)稱(chēng)圖形是對(duì)一個(gè)圖形來(lái)說(shuō)的.聯(lián)系：如果把一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形沿對(duì)稱(chēng)軸分成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條軸對(duì)稱(chēng)；如果把成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形2.線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)

3、的性質(zhì)：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.反過(guò)來(lái)，與一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上.要點(diǎn)二、作軸對(duì)稱(chēng)圖形 1.作軸對(duì)稱(chēng)圖形（1）幾何圖形都可以看作由點(diǎn)組成，我們只要分別作出這些點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再連接這些點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形；（2）對(duì)于一些由直線(xiàn)、線(xiàn)段或射線(xiàn)組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點(diǎn)（如線(xiàn)段端點(diǎn)）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接這些對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形.2.用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（,）關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（,）；點(diǎn)（,）關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（,）；點(diǎn)（,）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（,）.要點(diǎn)三、等腰三角形 1.等腰三角形（1）定

4、義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質(zhì) 等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即“等邊對(duì)等角”；等腰三角形頂角的平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)與底邊上的高線(xiàn)互相重合（簡(jiǎn)稱(chēng)“三線(xiàn)合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個(gè)底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（即“等角對(duì)等 邊”）.2.等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60°.（3）等邊三角形的判定： 三條邊都相等的三角形是等邊三角形； 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形； 有一個(gè)角為 60

5、°的等腰三角形是等邊三角形.3.直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.【典型例題】類(lèi)型一、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)與應(yīng)用1、如圖，由四個(gè)小正方形組成的田字格中，ABC的頂點(diǎn)都是小正方形的頂點(diǎn)在田字格上畫(huà)與ABC成軸對(duì)稱(chēng)的三角形，且頂點(diǎn)都是小正方形的頂點(diǎn)，則這樣的三角形（不包含ABC本身）共有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【思路點(diǎn)撥】分別以正方形的對(duì)角線(xiàn)和田字格的十字線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸，來(lái)找三角形.【答案】C；【解析】先把田字格圖標(biāo)上字母如圖，確定對(duì)稱(chēng)軸找出符合條件的三角形，再計(jì)算個(gè)數(shù)HEC與ABC關(guān)于CD對(duì)稱(chēng)；FDB與ABC

6、關(guān)于BE對(duì)稱(chēng)；GED與ABC關(guān)于HF對(duì)稱(chēng)；關(guān)于A(yíng)G對(duì)稱(chēng)的是它本身所以共3個(gè)【總結(jié)升華】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)；確定對(duì)稱(chēng)軸然后找出成軸對(duì)稱(chēng)的三角形是解題的關(guān)鍵舉一反三：【變式】如圖，ABC的內(nèi)部有一點(diǎn)P，且D，E，F(xiàn)是P分別以AB，BC，AC為對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)若ABC的內(nèi)角A70°，B60°，C50°，則ADBBECCFA（ ）A.180° B.270° C.360° D.480°【答案】C；解：連接AP，BP，CP，D，E，F(xiàn)是P分別以AB，BC，AC為對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)ADBAPB，BECBPC，CFAAPC，ADBBECCFA

7、APBBPCAPC360°2、已知MON40°，P為MON內(nèi)一定點(diǎn)，OM上有一點(diǎn)A，ON上有一點(diǎn)B，當(dāng)PAB的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，求APB的度數(shù). 【思路點(diǎn)撥】求周長(zhǎng)最小，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，找到P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)來(lái)確定A、B的位置，角度的計(jì)算，可以通過(guò)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算.【答案與解析】解：分別作P關(guān)于OM、ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交OM于A(yíng)，ON于B.則PAB為符合條件的三角形.MON40° 140°. PAB,PBA. (PABPBA)APB140°PABPBA2APB280° PAB, PBA180° APB100&#

8、176;【總結(jié)升華】將實(shí)際問(wèn)題抽象或轉(zhuǎn)化為幾何模型，將周長(zhǎng)的三條線(xiàn)段的和轉(zhuǎn)化為一條線(xiàn)段，這樣取得周長(zhǎng)的最小值.舉一反三：【變式】如圖，在五邊形ABCDE中，BAE120°，BE90°，ABBC，AEDE，在BC，DE上分別找一點(diǎn)M，N，使得AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，則AMNANM的度數(shù)為（ ）A100° B110° C 120° D 130°【答案】C；提示：找A點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，關(guān)于ED的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交BC于M點(diǎn)，ED于N點(diǎn)，此時(shí)AMN周長(zhǎng)最小. AMNANM180°MAN，而2BAMAMN，2EANANM，BAMEANMA

9、N120°,所以AMNANM120°.3、如圖，ABC關(guān)于平行于軸的一條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，已知A點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2），C點(diǎn)坐標(biāo)是（1，4），則這條平行于軸的直線(xiàn)是（）A.直線(xiàn)1 B.直線(xiàn)3 C.直線(xiàn)1 D.直線(xiàn)3【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，可得A、C的連線(xiàn)與該條直線(xiàn)垂直，且兩點(diǎn)到此直線(xiàn)的距離相等，從而可以解出該直線(xiàn)【答案】C；【解析】解：由題意可知，該條直線(xiàn)垂直平分線(xiàn)段AC又A點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2），C點(diǎn)坐標(biāo)是（1，4）AC6點(diǎn)A，C到該直線(xiàn)的距離都為3即可得直線(xiàn)為1【總結(jié)升華】本題考查了坐標(biāo)與圖形的變化一一對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)與運(yùn)用，解決此類(lèi)題應(yīng)認(rèn)真觀(guān)察圖形，由A與C的縱坐標(biāo)求得對(duì)稱(chēng)軸舉一反三：【變式

10、1】如圖，若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)第二、四象限，且平分坐標(biāo)軸的夾角，RtAOB與Rt關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，已知A（1，2），則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.（1，2） B.（1，2） C.（1，2） D.（2，1）【答案】D； 提示：因?yàn)镽tAOB與Rt關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以通過(guò)作圖可知，的坐標(biāo)是（2，1）【高清課堂：389304 軸對(duì)稱(chēng)復(fù)習(xí)：例10】【變式2】如圖，ABC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），如果要使ABD與ABC全等，求點(diǎn)D的坐標(biāo) 【答案】解：滿(mǎn)足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)有3個(gè)（4，1）；（1，1）；（1，3）.類(lèi)型二、等腰三角形的綜合應(yīng)用4、（2012牡丹江）如圖，ABC中AB=

11、AC，P為底邊BC上一點(diǎn)，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分別為E、F、H易證PE+PF=CH證明過(guò)程如下： 如圖，連接APPEAB，PFAC，CHAB，=ABPE，=ACPF，=ABCH又，ABPE+ACPF=ABCHAB=AC，PE+PF=CH（1）如圖，P為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)時(shí)，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并加以證明：（2）填空：若A=30°，ABC的面積為49，點(diǎn)P在直線(xiàn)BC上，且P到直線(xiàn)AC的距離為PF，當(dāng)PF=3時(shí)，則AB邊上的高CH=_.點(diǎn)P到AB邊的距離PE=_.【答案】7；4或10；【解析】解：（1）如圖，PE=PF+CH證明如

12、下：PEAB，PFAC，CHAB，=ABPE，=ACPF，=ABCH，=+，ABPE=ACPF+ABCH，又AB=AC，PE=PF+CH；（2）在A(yíng)CH中，A=30°，AC=2CH=ABCH，AB=AC，×2CHCH=49，CH=7分兩種情況：P為底邊BC上一點(diǎn)，如圖PE+PF=CH，PE=CH-PF=7-3=4；P為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)時(shí)，如圖PE=PF+CH，PE=3+7=10故答案為7；4或10【總結(jié)升華】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與三角形的面積，難度適中，運(yùn)用面積證明可使問(wèn)題簡(jiǎn)便，（2）中分情況討論是解題的關(guān)鍵5、已知，如圖，112°，236°，34

13、8°，424°. 求的度數(shù)【答案與解析】ACD123B5E解：將沿AB翻折，得到，連結(jié)CE，則，1512°.60°48°又236°，72°，BEBC為等邊三角形. 又垂直平分BCAE平分30°ADB30°【總結(jié)升華】直接求很難，那就想想能不能通過(guò)翻折或旋轉(zhuǎn)構(gòu)造一個(gè)與全等的三角形，從而使其換個(gè)位置，看看會(huì)不會(huì)容易求舉一反三：【變式】在A(yíng)BC中，ABAC，BAC80°，D為形內(nèi)一點(diǎn)，且DABDBA10°，求ACD的度數(shù).【答案】解：作D關(guān)于BC中垂線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連結(jié)AE，EC，DE ABD

14、ACE ADAE, DABEAC10° BAC=80°，DAE60°，ADE為等邊三角形AED60° DABDBA10° ADBDDEEC AEC160°， DEC140° DCE20° ACD30°類(lèi)型三、等邊三角形的綜合應(yīng)用6、如圖所示，已知等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，M為直線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)，DMN為等邊三角形(1)如圖(1)所示，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，請(qǐng)你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點(diǎn)F是否在直線(xiàn)NE上？ (2)如圖(2)所示，當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí)，其他條件不變，(1)的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)利用圖(2)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案與解析】解：(1)ENMF，點(diǎn)F在直線(xiàn)NE上 證明：連接DF，DE， ABC是等邊三角形， ABACBC 又 D，E，F(xiàn)是ABC三邊的中點(diǎn)， DE，DF，EF為三角形的中位線(xiàn) DEDFEF，F(xiàn)DE60°又MDNNDFMDF，NDFFDENDE，DMN為等邊三角形，DMDN，MDN60° MDFNDE 在DMF和DNE中， DMFDNE， MFNE，DMFDNE.DMF60°DNEMFNMFN60°FNAB，又EFAB，E、F