42高階線性方程解一般理論基本解組

1、4.1 高階線性方程一般理論(General Theory of Higher order Linear ODE)教學(xué)內(nèi)容 1. 介紹高階線性微分方程一般形式; 2.介紹高階線性微分方程初值問(wèn)題解的存在唯一性定理; 3. 介紹線性微分方程解的疊加原理（Superposition Theory);4. 介紹高階線性方程解線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)性概念和判定；5.介紹高階線性方程通解結(jié)構(gòu)定理；6. 介紹劉維爾公式及其應(yīng)用. 教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn)是知道并會(huì)運(yùn)用線性方程的疊加原理、高階線性方程的通解結(jié)構(gòu)； 難點(diǎn)是如何判定線性方程解線性無(wú)關(guān)性 教學(xué)方法 預(yù)習(xí)1、2；講授3考核目標(biāo) 認(rèn)識(shí)高階線性微分方程一般形式;

2、2. 知道線性方程解線性無(wú)關(guān)的概念; 3. 會(huì)判定函數(shù)和線性方程解的線性無(wú)關(guān)性;4. 知道齊次線性方程通解結(jié)構(gòu)和非齊次線性方程通解結(jié)構(gòu). 5.知道劉維爾公式及其應(yīng)用. 1. 認(rèn)識(shí)n階齊次線性微分方程和非齊次線性微分方程.稱(chēng)為n階齊次線性微分方程;稱(chēng)為n階非齊次線性微分方程，其中f(t)為非零函數(shù).線性方程柯西問(wèn)題解的存在唯一性定理：考察上述n階非齊次線性微分方程，若都是a, b上連續(xù)函數(shù)，則對(duì)和任意n個(gè)實(shí)數(shù)，方程(*)存在滿(mǎn)足初始條件的唯一解. 聲明：以下總假設(shè)方程（*）和（*）滿(mǎn)足柯西問(wèn)題解的存在唯一性定理?xiàng)l件.2. 齊次線性方程(*)解的疊加原理、函數(shù)的線性無(wú)關(guān)性、Wronsky行列式、方

3、程（*）的通解結(jié)構(gòu) (證明細(xì)節(jié)參見(jiàn)教材)（1） 疊加原理：設(shè)為齊次線性微分方程（*）的解函數(shù)，則都是齊次線性微分方程(*)的解. （2） 設(shè)都是定義在a, b上函數(shù)，若存在不全為零的常數(shù)使得，則稱(chēng)在區(qū)間a, b上線性相關(guān)，否則則稱(chēng)在區(qū)間a, b上線性無(wú)關(guān). （3） 設(shè)都是定義在a, b上具有k-1階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)，則稱(chēng)如下行列式為這些函數(shù)Wronsky行列式. （4） 函數(shù)組線性相關(guān)的必要條件：設(shè)都是定義在a, b上具有k-1階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)，若它們線性相關(guān)，則它們的Wronsky行列式恒為零. （5） 方程（*）解函數(shù)線性無(wú)關(guān)充要條件：設(shè)都是定義在a, b上方程（*）的解函數(shù)，則它們線性

4、無(wú)關(guān)它們的Wronsky行列式在a, b上處處不為零. （6） 若n個(gè)函數(shù)都是方程（*）的解函數(shù)且線性無(wú)關(guān)，則稱(chēng)其構(gòu)成了方程（*）的一個(gè)基本解組.（7） 齊次線性方程（*）的通解結(jié)構(gòu)定理：設(shè)構(gòu)成了方程（*）的一個(gè)基本解組，則方程（*）的任一解可表為，其中常數(shù)由初始條件確定，.（8） 由齊次線性方程的疊加原理和通解結(jié)構(gòu)定理知，方程（*）的所有解函數(shù)構(gòu)成了一個(gè)n維的線性空間. 3. 非齊次線性方程的通解結(jié)構(gòu)定理考察非齊次線性方程（*），設(shè)為方程（*）的一個(gè)特解，為方程（*）的一個(gè)基本解組，則方程（*）的任一解可表為，其中由初始條件確定. 4. 例題講解例40. 證明函數(shù)組在實(shí)直線R上線性無(wú)關(guān)，但它

5、們的Wronsky行列式恒等于0，這是否和教材P124定理4矛盾？如果不矛盾，它該例說(shuō)明了什么？解：當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.這說(shuō)明Wronsky行列式恒等于0. 考察方程.當(dāng)時(shí)，上述方程為，得到；當(dāng)時(shí)，上述方程為，得到. 這說(shuō)明函數(shù)組在R上線性無(wú)關(guān). 這是否和教材P124定理4并不矛盾！原因是定理4中函數(shù)組為齊次線性方程的解函數(shù). 例41. 驗(yàn)證為方程的基本解組，并求出滿(mǎn)足初始條件的特解，其中.解：直接代入驗(yàn)證知，因此，為方程的兩個(gè)解函數(shù). 下面驗(yàn)證它們是線性無(wú)關(guān)的. ，因此，由解函數(shù)線性無(wú)關(guān)判定定理知，是線性無(wú)關(guān)的. 因此，證為方程的基本解組. 方程的通解為，為任意常數(shù). 由初始條件知，解得，因此所

6、求特解為. 例42. （1）考察微分方程. 若為方程的任意兩個(gè)解，則它們Wronsky行列式（常數(shù)）.（2） Liouville公式：考察二階齊次線性方程，其中 . 假設(shè)為方程的一個(gè)非零解，則(a)函數(shù)為方程的解充要條件是,其中. (b) 方程的通解為，其中為任意常數(shù). （3） 已知是微分方程一個(gè)特解，試求該方程的通解，并確定函數(shù)？證明：（1）記，下證. 由行列式定義的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（參見(jiàn)數(shù)學(xué)分析下P124 習(xí)題8），我們得到. 得證.（2） 仿照（1）可證（a）結(jié)論成立. （b）求解方程得到，滿(mǎn)足的解. 此時(shí)相應(yīng)的和是線性無(wú)關(guān)的，它們構(gòu)成了原齊次線性方程的基本解組，因?yàn)樗鼈僕ronsky行列

7、式不為零. 改寫(xiě)為，由再次改寫(xiě)上述方程為，這是一個(gè)一階線性方程. 由常數(shù)變易公式得到，特別地，取C=0得到解函數(shù). 因此，由齊次線性方程通解結(jié)構(gòu)定理知，結(jié)論成立. （3） 記，由上述公式得到，. 因此，原方程一個(gè)基本解組為，于是所求通解為，為任意常數(shù). 將代入原方程得到，得到. 作業(yè)41. 證明非齊次線性微分方程的疊加原理：設(shè)分別為非齊次線性微分方程和的解. 證明：為方程的解. 作業(yè)42. (1) 驗(yàn)證為方程的基本解組. (2) 驗(yàn)證為方程的基本解組. 作業(yè)43. 已知為方程的一個(gè)非零解，運(yùn)用Liouville公式求出方程一個(gè)基本解組，并求出滿(mǎn)足初值條件的特解. 思考44. （1）考察二階齊次線性方程，其中 . 設(shè)是方程在區(qū)間(a, b)上一個(gè)非零解（即在區(qū)間(a, b)上不恒等于0），試證解函數(shù)在區(qū)間(a, b)上只有簡(jiǎn)單零點(diǎn)（