多自由度體系的微振動(dòng)

1、第六章 多自由度體系的微振動(dòng)教學(xué)目的和基本要求：正確理解線性振動(dòng)的概念和力學(xué)體系平衡的分類；能運(yùn)用拉格朗日方程初步分析兩個(gè)自由度保守體系的自由振動(dòng)問(wèn)題；理解簡(jiǎn)正坐標(biāo)的概念并了解利用簡(jiǎn)正坐標(biāo)將復(fù)雜振動(dòng)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)正振動(dòng)的方法和意義。教學(xué)重點(diǎn)：掌握運(yùn)用拉格朗日方程分析兩個(gè)自由度保守體系的自由振動(dòng)問(wèn)題的方法和簡(jiǎn)正坐標(biāo)的物理意義。教學(xué)難點(diǎn)：簡(jiǎn)正坐標(biāo)的物理意義。§6.1 振動(dòng)的分類和線形振動(dòng)的概念 振動(dòng)不僅在宏觀領(lǐng)域大量存在（如單擺、彈性振子和地震等），在微觀領(lǐng)域也是一種普遍現(xiàn)象（如晶體中晶格的振動(dòng)、光學(xué)中分子的振動(dòng)等）。振動(dòng)的種類根據(jù)所依據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)不同可有幾種分類方法，下面將簡(jiǎn)單介紹。一：振動(dòng)的分

2、類1.按能量的轉(zhuǎn)換來(lái)劃分. 自由振動(dòng)系統(tǒng)的能量E為常數(shù)，即能量守恒。 阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的能量E逐漸轉(zhuǎn)化為熱能Q。 強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)不斷從外界吸收能量并將其轉(zhuǎn)化為熱能Q。2.按體系的自由度劃分. 單自由度振動(dòng)體系的自由度S=1。 有限多自由度振動(dòng)和無(wú)限多自由度振動(dòng)體系的自由度為大于1的有限值或無(wú)限大值。3.按體系的動(dòng)力學(xué)微分方程的種類劃分. 線性振動(dòng)體系的運(yùn)動(dòng)微分方程為線性方程。非線性振動(dòng)體系的運(yùn)動(dòng)微分方程為非線性方程。4.本章研究的主要問(wèn)題. 以上我們按不同的標(biāo)準(zhǔn)將振動(dòng)進(jìn)行了歸類，實(shí)際上這幾種標(biāo)準(zhǔn)是相互交叉的，也就是說(shuō)振動(dòng)還可以按照以上兩個(gè)或三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行進(jìn)一步的歸類。如線性振動(dòng)還可以進(jìn)一步分為單自由度

3、線性振動(dòng)、 有限多自由度線性振動(dòng)和無(wú)限多自由度線性振動(dòng)。 表6.1給出了同時(shí)按自由度和微分方程的種類對(duì)振動(dòng)進(jìn)行的分類。我們?cè)诒菊卵芯康闹饕獑?wèn)題是有限多自由度的線性振動(dòng)，所以有必要對(duì)線性和非線性振動(dòng)做進(jìn)一步討論。表6.1線性振動(dòng)非線性振動(dòng)單自由度有限多自由度無(wú)限自由度二：有限多自由度線性振動(dòng)1.定義：體系的自由度為有限多個(gè)且體系的運(yùn)動(dòng)微分方程為線性方程。例如：?jiǎn)螖[的運(yùn)動(dòng)微分方程為，方程為非線性的。但當(dāng)很小時(shí)有，方程變?yōu)榫€性方程。如果同時(shí)還存在有阻尼及強(qiáng)迫力，則方程可寫成，仍為線性方程。2.應(yīng)用：一般情況下當(dāng)力學(xué)體系在其平衡位置做微振動(dòng)時(shí)，只要考慮它的最低級(jí)近似即可。這樣的振動(dòng)無(wú)論是自由振動(dòng)、阻尼

4、振動(dòng)還是強(qiáng)迫振動(dòng)，也無(wú)論自由度的個(gè)數(shù)是多少，其振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程均可看成是線性的，也就是屬于線性振動(dòng)。三：平衡位置及其分類.1.平衡位置的定義及判定方法。（1）定義：如果力學(xué)體系在t=0時(shí)靜止地處于某一確定位置，當(dāng)時(shí)該體系仍能保持在此位置，那么該位置即為體系的平衡位置，我們說(shuō)體系處于平衡態(tài)。（2）判定方法：在§2.4節(jié)中我們已指出保守力學(xué)體系處于平衡位置時(shí)，其勢(shì)能應(yīng)取極值（見(jiàn)第二章4.2式），即，這可以做為保守體系平衡位置的判據(jù)。2.平衡位置的分類及其判定方法.（1）平衡位置的分類：平衡位置按其性質(zhì)不同可分為三類：穩(wěn)定平衡：力學(xué)體系受到擾動(dòng)偏離平衡位置后將回到平衡位置或者在平衡位置的

5、附近做微振動(dòng)。不穩(wěn)定平衡：力學(xué)體系受到擾動(dòng)后將逐漸遠(yuǎn)離平衡位置。隨遇平衡：力學(xué)體系受到擾動(dòng)后將在新的平衡位置下保持平衡。 這三種平衡位置可用圖6.1形象地表示出來(lái)，只不過(guò)圖6.1是針對(duì)單自由度而言，針對(duì)多自由度也有類似的例子。（2）平衡位置種類的判據(jù). 上述三種平衡位置均能滿足，但只有穩(wěn)定平衡才能引起體系的振動(dòng)，因而我們有必要找到各種平衡位置的區(qū)別或判據(jù)。參考圖6.1可知，勢(shì)能取極小值時(shí)才是穩(wěn)定平衡。拉格朗日將托里拆利的這一思想推廣到任意保守體系，得到了關(guān)于體系平衡位置穩(wěn)定性的拉格朗日定理如下： 如果在某一位置保守體系的勢(shì)能有嚴(yán)格的極小值，那么該位置為體系的穩(wěn)定平衡位置。當(dāng)S=1時(shí)，判據(jù)為：且

6、；當(dāng)S=2時(shí)，判據(jù)為：且，。另外已證明的定理還有：如果力學(xué)體系的V取極大值，則體系處于不穩(wěn)定平衡（逆定理還未證實(shí)）；如果V=C，則體系處于隨遇平衡。四 本節(jié)重點(diǎn)：掌握振動(dòng)的分類特別是線性振動(dòng)的概念，熟練掌握平衡位置的分類和平衡位置種類的判據(jù)。§6.2 兩個(gè)自由度保守體系的自由振動(dòng) 對(duì)于微振動(dòng)的力學(xué)問(wèn)題，用分析力學(xué)來(lái)討論比較方便。設(shè)體系的自由度S=2，體系做自由微振動(dòng)，廣義坐標(biāo)為。由拉格朗日方程可得：，接下來(lái)關(guān)鍵就是設(shè)法將動(dòng)能T、勢(shì)能V表示成關(guān)于的函數(shù)，再將其代入上述方程中即可得到體系的線形運(yùn)動(dòng)微分方程。一：動(dòng)能T、勢(shì)能V的表達(dá)式.1. 動(dòng)能T、勢(shì)能V的一般表達(dá)式.由§2.7

7、的結(jié)論可知當(dāng)體系受穩(wěn)定約束時(shí)，其中。由于體系在平衡位置附近的微振動(dòng)均可看成是受穩(wěn)定約束，所以有： （2.2）因勢(shì)能V僅與有關(guān)，與無(wú)關(guān)，因而可得。下面就是設(shè)法將動(dòng)能T、勢(shì)能V的一般表達(dá)式化簡(jiǎn)為所需的形式即可。2. 動(dòng)能T、勢(shì)能V表達(dá)式的化簡(jiǎn). 取平衡位置為廣義坐標(biāo)的零點(diǎn)，將V、T在平衡位置展開成泰勒級(jí)數(shù)可得： （2.3） （2.4）（1）勢(shì)能V ：對(duì)于（2.3）式，令且因體系在平衡位置時(shí)有，略去等的高次項(xiàng)后可得： （2.5）其中，（2.5）式即為所求的勢(shì)能V化簡(jiǎn)后的表達(dá)式。（2）動(dòng)能T ：對(duì)于（2.4）式，考慮到應(yīng)為同階小量，而（2.2）式中T已為二次式，所以只要取零次式即可，即有，這樣動(dòng)能可表

8、示為： （2.6） 其中均為常數(shù)，（2.6）式即為所求的動(dòng)能T化簡(jiǎn)后的表達(dá)式。二：體系的運(yùn)動(dòng)微分方程及其解1.運(yùn)動(dòng)微分方程：將（2.5）、（2.6）式代入（2.1）式化簡(jiǎn)后可得 （2.7）或者化簡(jiǎn)為 （2.8）該方程為二階常系數(shù)常微分方程組，可用高等數(shù)學(xué)中關(guān)于微分方程組的相應(yīng)理論求解。2.方程的解.（1）試探解及久期方程：對(duì)于（2.7）式在物理學(xué)中常用取試探解的方式求解，即令方程的試探解為 （2.9），兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)后可得，將以上兩式代回（2.7）式得： （2.10）或?qū)懗?（2.11） 要使（2.10）有解，首先應(yīng)使A1、A2有實(shí)數(shù)解，這要求的系數(shù)所構(gòu)成的行列式必須為零，即 （2.12） （

9、2.12）式被稱為久期方程或頻率方程，它是關(guān)于的一元二次方程。（2）久期方程的兩個(gè)正根：可以證明久期方程必有兩個(gè)正根，只有這樣求出的為實(shí)數(shù)才有實(shí)際的物理意義。 證明：因，當(dāng)不同時(shí)為零時(shí)，應(yīng)有。由，令，同理可得，另外可將表達(dá)式改寫為，要使上式恒大于零，必須有 （2.13）同理因可以證明 （2.14） 接著可做出的函數(shù)圖象，其中，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。由以上討論可知，函數(shù)在及之間有兩次穿過(guò)橫軸，也就是方程（2.12）必然有兩個(gè)正根。其實(shí)，從（2.13）、（2.14）出發(fā)，利用就可直接判定該方程有兩個(gè)正根。（3）運(yùn)動(dòng)微分方程的特解和通解 設(shè)方程的兩個(gè)根分別為，分別將代入（2.10）式中的任一

10、個(gè)可得：， （2.15）即有，。令為分別為試探解（2.9）式中的振幅，則運(yùn)動(dòng)微分方程的特解為：及。根據(jù)線性微分方程的理論，方程的通解應(yīng)是兩組特解的線性組合，即有 同理可得式中為常數(shù)，由初始條件及決定。（4）久期方程有兩個(gè)相等正根時(shí)運(yùn)動(dòng)方程的解. 久期方程（2.12）還可能有兩相等的正根，例如當(dāng)時(shí)，函數(shù)， 的函數(shù)曲線與橫軸只有一個(gè)交點(diǎn)。方程的解為，也就是方程（2.10）中的系數(shù)均為零，取任何值都可以。此時(shí)久期方程的兩組特解為，；，。方程的通解仍是兩組特解的線性組合，即有 （2.18）四個(gè)常數(shù)由初始條件決定。三.例題（從略）四.本節(jié)重點(diǎn)：2個(gè)自由度力學(xué)體系做微振動(dòng)時(shí)的通解和特解。§6.4

11、 簡(jiǎn)正坐標(biāo)和簡(jiǎn)正振動(dòng) 我們知道一個(gè)力學(xué)體系的廣義坐標(biāo)的選取是任意的，如果廣義坐標(biāo)選取的合適，可以使微分方程的求解非常容易，具體可見(jiàn)下例。一：雙單擺的振動(dòng)研究. 在雙單擺中如果取，為廣義坐標(biāo)，可得，。將其代入T、V的表達(dá)式（見(jiàn)178頁(yè)）化簡(jiǎn)后可得： ，將兩式代入拉格朗日方程可得： ，求解兩方程可得： （4.5）其中 ，將（4.6）代回（4.2）式可得 （4.7）這與上節(jié)直接選為廣義坐標(biāo)的所求結(jié)果完全一致，但求解的過(guò)程要簡(jiǎn)便的多。二：簡(jiǎn)正坐標(biāo)1.定義：在處理線性振動(dòng)時(shí)如果選取的廣義坐標(biāo)能使動(dòng)能T、勢(shì)能V同時(shí)表示成廣義速度和廣義坐標(biāo)的平方和形式，即，則該坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)。 將T、V的以上表達(dá)式代入拉格

12、朗日方程可以很方便的得到： 其解為 2.物理意義. 在上例雙單擺中如果令及，代回（4.7）式可得，任意，方程的通解為，其中，等效于、的單擺的運(yùn)動(dòng)。同理，如果令初始條件為及，代回（4.7）式可得，任意，方程的通解為，其等效于、的單擺的運(yùn)動(dòng)。從上例可以看出，簡(jiǎn)正坐標(biāo)的物理意義可總結(jié)如下：（1）當(dāng)選擇某個(gè)坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)使力學(xué)體系在振動(dòng)過(guò)程中該坐標(biāo)只以一個(gè)頻率振動(dòng)，其余頻率為零或者說(shuō)沒(méi)有被激發(fā)出來(lái)，那么用來(lái)反映這種振動(dòng)模式的坐標(biāo)即為簡(jiǎn)正坐標(biāo)，相應(yīng)的振動(dòng)模式為簡(jiǎn)正振動(dòng)或本征振動(dòng)?；蛘哒f(shuō)如果選取的廣義坐標(biāo)可以使體系的振動(dòng)只以某種與此坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的頻率振動(dòng)，該坐標(biāo)為簡(jiǎn)正坐標(biāo)。（2）對(duì)于體系的任意振動(dòng)狀態(tài)，都可以

13、看成是各種簡(jiǎn)正振動(dòng)的線性疊加。（3）簡(jiǎn)正坐標(biāo)的合適選取不僅有利于方程的求解，而且還可以反映體系振動(dòng)的物理本性，因此在處理微振動(dòng)時(shí)應(yīng)盡量選取簡(jiǎn)正坐標(biāo)。三 簡(jiǎn)正坐標(biāo)的簡(jiǎn)單求法. 理論上可通過(guò)坐標(biāo)的變換消去T、V的二次項(xiàng)，從而得到簡(jiǎn)正坐標(biāo)；還有一種方法就是通過(guò)物理直覺(jué)直接判定出簡(jiǎn)正坐標(biāo)，但是這兩種方法都不好掌握。下面我們來(lái)介紹當(dāng)體系的自由度S=2、3時(shí)，可以采用的一種簡(jiǎn)單容易掌握的方法。1. 自由度S=2.設(shè)為任意兩個(gè)廣義坐標(biāo)，為所求的簡(jiǎn)正坐標(biāo)。令，。將其代入T、V的表達(dá)式得令的系數(shù)為零可得：對(duì)勢(shì)能V應(yīng)用同樣的方法可得：，聯(lián)立以上兩個(gè)方程可直接解出，代回，就可求出。 例如對(duì)于雙單擺采用上述方法可直接

14、求出，將其代入，就可求出。2. 自由度S=3. 設(shè)為任意三個(gè)廣義坐標(biāo)，為所求的簡(jiǎn)正坐標(biāo)。令，然后將用表示后代入T、V的表達(dá)式中可得到關(guān)于及 的二次式。分別令、的系數(shù)為零可得到一組方程組，解出該方程組即可求出，進(jìn)而得到。四 本節(jié)重點(diǎn)：簡(jiǎn)正坐標(biāo)的定義、物理意義及自由度S=2時(shí)簡(jiǎn)正坐標(biāo)的求法。本章習(xí)題：6.1、6.3、6.4。As of Microsoft® Internet Explorer 4.0, you can applmultimedia-style effects to your Web pages using visual filters and transitions. Y

15、ou can apply visual filters and transitions to standard HTML controls, such as text containers, images, and other windowless objects. Transitions are time-varying filters that create a transition from one visual state to another. By combining filters and transitions with basic scripting, you can cre

16、ate visually engaging and interactive documents.Internet Explorer 5.5 and later supports a rich variety of optimized filters. Click the following button to see a demonstration of many of these filters and how to usetheProcedural surfaces are colored surfaces that display between the content of an ob

17、ject and the object's background. Procedural surfaces define each pixel's RGB color and alpha values dynamically. Only the procedure used to compute the surface is stored in memory. The content of an object with a procedural surface applied is not affected by the procedural surface.警告：此類已序列化的對(duì)象將不再與以后的 Swing 版本兼容。當(dāng)前的序列化支持適合在運(yùn)行相同 Swing 版本的應(yīng)用程序之間短期存儲(chǔ)或 RMI。從 1.4 版開始，已在 java.beans 包中加入對(duì)所有 JavaBeansTM 的長(zhǎng)期存儲(chǔ)支持。請(qǐng)參見(jiàn) XMLEncoder。引用類型和原始類型的行為完全不同，并且它們具有不同的語(yǔ)義。引用類型和原始類型具有不同的特征和用法，它們包括：大小和速度問(wèn)題，這種類型以哪種類型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)，當(dāng)引用類型和原始類型用作