一 一點的應力狀態(tài)與應力張量

1、一 一點的應力狀態(tài)與應力張量二 主應力與應力不變量對于一般空間問題，一點的應力狀態(tài)可以由九個應力分量表示，如P點處應力狀態(tài)在直角坐標系可表示為 如圖1-1所示。在固定受力情況下，應力分量大小與坐標軸方向有關，但由彈性力學可知，新舊坐標的應力分量具有一定變換關系。通常，我們稱這種具有特定變換關系的一些量為張量。式（1-1）就是應力張量，它是二階張量。因為它具有=，=，=。 已知物體內某點P的九個應力分量，則可求過該點的任意傾斜面上的應力。在P點處取出一無限小四面體oabc (圖1-2)它的三個面分別與x,y,z三個軸相垂直。另一方面即任意斜面，它的法線N，其方向余弦為l,m,n。分別以、代表ab

2、c 、obc 、oac、 oab三角形面積。 （1.2） 在三個垂直于坐標的平面上有應力分量，在傾斜面abc上有合應力,它可分解為正應力及切向剪應力，即沿坐標軸方向分量為,，由平衡條件可得求出，在法線上的投影之和，即得正應力 1-5而剪應力則由式1-5得 =-在空間應力狀態(tài)下一點的應力張量有三個主方向，三個主應力。在垂直主方向的面上，即為主應力，等于合應力，而主應力在坐標軸上的分量為 1-7將式1-7代入1-4整理后得 （1-8）此外，法線N的三個方向余弦應滿足 （1-9）由上面四個方程可求得及方向余弦l,m,n。如果將l,m,n看作未知量，則由式1-9可見，l,m.n不能同時為零。因此線性方

3、程組式1-8非零解的充要條件為系數行列式等于零。展開行列式得到 1-11式中 1-12方程1-11有三個實根，即三個主應力。按三個主應力數值，分別由式1-8求出三個主方向。 當坐標方向改變時，應力分量均將改變，但主應力的數值是不變的，因此該式的關系也不變。由于系數與坐標無關，故稱作應力張量不變量，通常分別叫作應力張量第一不變量，第二不變量，第三不變量。 設三個正應力的平均值為平均應力，用表示于是 由此，應力張量可分解為兩個分量等式右端第一個張量稱為應力球張量，第二個張量稱為應力偏張量。式中定義為 令 ，則應力偏量即為 三 應力空間如果我們將、取為三個相互垂直的直角坐標軸而構成一空間直角坐標系，

4、則該空間中任一點的三個坐標值就相應于物體某點應力狀態(tài)的三個主應力的數值，也就是說。該空間中的一點對應于物體某點的應力狀態(tài)。我們就把這個空間稱為應力空間。如圖2-6 所示，P點的坐標為（ ），這個應力狀態(tài)可寫為三個矢量,的矢量和。四 應力圓和Lode參數在傳統塑性理論中，認為應力張量不影響屈服，所以對應力偏量特別感興趣，而洛德（Lode）參數或洛德角是應力偏量的特征量。此外，采用洛德參數或洛德角研究塑性問題十分方便，因而在巖土塑性理論中應用極為廣泛。 設橫坐標為正應力，縱坐標為剪應力，設已知應力，令， 以,為直徑畫三個圓，如圖2-8（a）。其半徑為 ，、稱為主剪應力，半徑最大者為最大剪應力，如果

5、把圖2-8（a）中坐標原點移到新的位置，使 這時 , , 由此所得移軸后應力圓即是描述應力偏量的應力圓圖2-8（b）原點任意平移一個距離，就相當于在原有應力狀態(tài)下疊加一個靜水壓力。在傳統塑性力學中，這個疊加并不影響屈服函數和塑性變形。因此，對塑性變形有決定性意義的是應力圓本身。若以M表示的中點，則 若考慮到中間應力對屈服函數的影響，可由與之比確定的相對位置，其比值用洛德參數表示。若主應力次序為，則 3-1a或 3-1b式中。由變到，因此和的變化范圍為 ， 由式3-1可見，為主應力值的函數，說明是應力差的比例關系，而與應力大小無關。不管坐標縱軸原點位置移動多少，其不變，可見是描述應力偏量的特征值

6、，它與應力偏量不變量、有關，而與應力球張量無關。由上可見，洛德參數或洛德角都不能表示一點的應力狀態(tài)的特征值，因為它不表示應力球張量。然而它卻能反映受力狀態(tài)的形式，即主應力分量之間的比例關系。因而不同的洛德參數與洛德角可以反映材料的不同受力狀態(tài)。在彈性力學和傳統塑性力學中，符號一般都是規(guī)定以拉為正，但在巖土力學都一般規(guī)定以壓為正。五 應力路徑1應力路徑的基本概念 巖土的性質與本構關系，與應力或應變狀態(tài)的變化過程有關，因此需要描述一個單元在它加載過程中的應力或應變的變化過程。通常稱描述一單元應力狀態(tài)變化的路線為應力路徑，而稱描述應變狀態(tài)變化的路線為應變路徑，目前過程上應用較多的是應力路徑。 對巖土

7、來說，一點的應力狀態(tài)完全可由總主應力及其方向和孔隙壓力所確定。有效主應力可用計算算出。 我們令三個總主應力或有效主應力為坐標軸，而建立應力空間或有效應力空間。如圖2-12所示，圖上、及為三個有效主應力，將一單元的瞬時有效應力狀態(tài)所有的點聯結起來的線，并標上箭頭指明發(fā)展的趨向，就可得到有效應力路徑，簡稱ESP。同樣可在主應力空間中給出總應力路徑。簡稱TSP。通常，我們將總主應力軸與有效應力軸放在一起，在這張圖上不僅能表示有效應力路徑和總主應力路徑，而且還能表示空隙壓力的大小。 當略去其中間主應力和時，則可在二向應力平面上繪制有效應力路徑和總主應力路徑。如圖2-13所示。圖中為有效應力路徑，若在的

8、孔隙壓力位值，則點代表瞬時總應力，因為有效應力與總應力之間的水平距離與垂直距離均為孔隙壓力的值。由目測可知，瞬時總應力與有效應力的點，必定沿坐標軸傾斜成的線上，由線段隔開，如圖2-13所示。一點的應變狀狀態(tài)，主應變，應變不變量在外力的作用下，物體內各點的位置要發(fā)生變化，即發(fā)生位移。如果物體各點發(fā)生位移后仍保持各點間初始應力狀態(tài)的相對位置，則物體實際上只產生了剛體移動和轉動，稱這種位移為剛體位移。如果物體各點發(fā)生位移后改變了各點間初始應力狀態(tài)的相對位置，則物體就同時產生了形狀變化，統稱為該物體產生了變形。 在外力的作用下，物體內部質點產生相對位置的改變。設點的坐標為（、）,其臨近點的坐標為（、），變形后點移到,點移到。點的位移向量分量為、，點的位移分量為、。、是坐標點、的函數，當、很小時，可以利用泰勒公式展開，只需要保留一次項，得、與、關系如下后面的九個量構成了位移梯度張量，一般是不對稱的二階張量 將矩陣可以分解為兩部分前一項是一個對稱張量，就是在小變形條件下的應變張量，應變量的矩陣形式是左式是工程力學的習慣寫法，右式適用于使用張量下標記號。用張量下標記號，以表示應變張量，令，則由此 應變張量的不變量是這里是三個主應變。平均正應變表示為應變率張量應變率 設介質處于運動狀態(tài)，質點的速度可用三個分量表示，它們