第三講層次分析法及差分方程模型

1、層次分析法及差分方程模型層次分析法及差分方程模型1 層次分析法層次分析法2 差分方程模型差分方程模型y3.1 層次分析法層次分析法背背景景 日常工作、生活中的決策問題日常工作、生活中的決策問題 涉及經濟、社會等方面的因素涉及經濟、社會等方面的因素 作比較判斷時人的主觀選擇起相當作比較判斷時人的主觀選擇起相當大的作用，各因素的重要性難以量化大的作用，各因素的重要性難以量化 Saaty于于1970年代提出層次分析法年代提出層次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process) AHP一種一種定性與定量相結合的、定性與定量相結合的、系統(tǒng)化、層次化系統(tǒng)化、層次化的分析方法的分析方

2、法層次分析法的基本步驟層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結構模型）建立層次分析結構模型深入分析實際問題，將有關因素自上而下分層（目標深入分析實際問題，將有關因素自上而下分層（目標準則或指標準則或指標方案或對象），上層受下層影響，而層內方案或對象），上層受下層影響，而層內各因素基本上相對獨立。各因素基本上相對獨立。2）構造出各層次中的所有判斷矩陣）構造出各層次中的所有判斷矩陣用成對比較法和用成對比較法和19尺度，構造各層對上一層每一因素的尺度，構造各層對上一層每一因素的成對比較陣。成對比較陣。3）計算權向量（層次單排序）并作一致性檢驗）計算權向量（層次單排序）并作一致性檢驗對每一成對比較陣計算

3、最大特征根和特征向量，作一致性對每一成對比較陣計算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗，若通過，則特征向量為權向量。檢驗，若通過，則特征向量為權向量。4）計算組合權向量（層次總排序）并作一致性檢驗）計算組合權向量（層次總排序）并作一致性檢驗*組合權向量可作為決策的定量依據。組合權向量可作為決策的定量依據。例例1. 1. 選擇旅游地選擇旅游地如何在海南、哈爾濱及九寨溝如何在海南、哈爾濱及九寨溝3 3個目的個目的地中按照景色、費用、居住條件等因地中按照景色、費用、居住條件等因素選擇旅游的目的地？素選擇旅游的目的地？“選擇旅游地選擇旅游地”思維過程的歸納思維過程的歸納 將決策問題分為將決策問題分為3個

4、層次：目標層個層次：目標層O，準則層，準則層C，方案層方案層P；每層有若干元素，；每層有若干元素， 各層元素間的關系各層元素間的關系用相連的直線表示。用相連的直線表示。 通過相互比較確定各準則對目標的權重，及各方通過相互比較確定各準則對目標的權重，及各方案對每一準則的權重。案對每一準則的權重。 將上述兩組權重進行綜合，確定各方案對目標的將上述兩組權重進行綜合，確定各方案對目標的權重。權重。層次分析法將定性分析與定量分析結合起來層次分析法將定性分析與定量分析結合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結果。完成以上步驟，給出決策問題的定量結果。目標層目標層O(選擇旅游地選擇旅游地)P2哈爾濱哈爾濱P

5、1海南海南P3莫高窟莫高窟準則層準則層方案層方案層C3居住居住C1景色景色C2費用費用C4飲食飲食C5旅途旅途Step 1Step 1：構造層次結構模型：構造層次結構模型層次結構模型層次結構模型2 4 6 8比較尺度比較尺度aij Saaty等人提出等人提出19尺度尺度aij 取值取值1,2, , 9及其互反數及其互反數1,1/2, , 1/9尺度尺度 1 3 5 7 9 ija相同相同 稍強稍強 強強 明顯強明顯強 絕對強絕對強的重要性jiCC :jiCC :aij = 1,1/2, ,1/9的重要性與上面相反的重要性與上面相反 心理學家認為成對比較的因素不宜超過心理學家認為成對比較的因素不

6、宜超過9個個 用用13,15,117,1p9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)等等27種比較尺度對若干實例構造成對比較種比較尺度對若干實例構造成對比較陣，算出權向量，與實際對比發(fā)現，陣，算出權向量，與實際對比發(fā)現， 19尺度較優(yōu)。尺度較優(yōu)。 便于定性到定量的轉化：便于定性到定量的轉化：Step 2Step 2：構造判別矩陣：構造判別矩陣1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11AijjiijnnijaaaaA1, 0,)( 元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度 設要比較各準則設要

7、比較各準則C1,C2, , Cn對目標對目標O的重要性的重要性ijjiaCC:A成對比較陣成對比較陣A是正互反陣是正互反陣要由要由A確定確定C1, , Cn對對O的權向量的權向量選選擇擇旅旅游游地地Step 2Step 2：構造判別矩陣：構造判別矩陣wAwnnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA212221212111成對比較完全一致的情況成對比較完全一致的情況nkjiaaaikjkij, 2 , 1,滿足滿足的正互反陣的正互反陣A稱稱一致陣一致陣，如，如 A的秩為的秩為1，A的唯一非零特征根為的唯一非零特征根為n A的任一列向量是對應于的任一列向量是對應于n 的特征向量的特征向量

8、A的歸一化特征向量可作為權向量的歸一化特征向量可作為權向量對于不一致對于不一致( (但在允許范圍內但在允許范圍內) )的成對的成對比較陣比較陣A，建議用對應于最大特征根，建議用對應于最大特征根 的特征向量作為權向量的特征向量作為權向量w ，即，即一致陣一致陣性質性質成對比較陣和權向量成對比較陣和權向量nnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA21222121211171242/11A成對比較的不一致情況成對比較的不一致情況):(2/ 12112CCa ):(43113CCa ):(83223CCa 一致比較一致比較不一致不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍允許不一致，但要確定不一

9、致的允許范圍考察完全一致的情況考察完全一致的情況nwwwW,) 1(21jiijwwa/令權向量),(21Tnwwww成對比較陣和權向量成對比較陣和權向量對對A確定不一致的允許范圍確定不一致的允許范圍已知：已知：n 階一致陣的唯一非零特征根為階一致陣的唯一非零特征根為n可證：可證：n 階正互反陣最大特征根階正互反陣最大特征根 n, 且且 =n時為一致陣時為一致陣1nnCI定義一致性指標定義一致性指標:CI 越大，不一致越嚴重越大，不一致越嚴重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 n1 234567891110為衡量為衡量CI 的大

10、小，引入的大小，引入隨機一致性指標隨機一致性指標 RI隨機模隨機模擬得到擬得到aij , 形成形成A，計算，計算CI 即得即得RI。定義一致性比率定義一致性比率 CR = CI/RI 當當CR0.1時，通過一致性檢驗時，通過一致性檢驗Saaty的結果如下的結果如下Step 3Step 3：一致性檢驗：一致性檢驗“選擇旅游地選擇旅游地”中中準則層對目標的權準則層對目標的權向量及一致性檢驗向量及一致性檢驗1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A準則層對目標的準則層對目標的成對比較陣成對比較陣最大特征根最大特征根 =5.073權向量權向量( (特征向量

11、特征向量) )w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T018.0155073.5CI一致性指標一致性指標隨機一致性指標隨機一致性指標 RI=1.12 (查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1通過一致通過一致性檢驗性檢驗組合權向量組合權向量記第記第2層（準則）對第層（準則）對第1層（目標）層（目標）的權向量為的權向量為Tnwww),()2()2(1)2(同樣求第同樣求第3層層(方案方案)對第對第2層每一元素層每一元素(準則準則)的權向量的權向量12/15/1212/15211B方案層對方案層對C1(景色景色)的成對比較陣的成對比較

12、陣1383/1138/13/112B方案層對方案層對C2(費用費用)的成對比較陣的成對比較陣CnBn最大特征根最大特征根 1 2 n 權向量權向量 w1(3) w2(3) wn(3) 第第3層對第層對第2層的計算結果層的計算結果k)3(kwkkCI10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665組合權向量組合權向量RI= =0.58 (n=3), CIk 均可通過一致性檢驗均可通過一致性檢驗 w(2) 0.2630.

13、4750.0550.0900.110方案方案P1對目標的組合權重為對目標的組合權重為0.595 0.263+ =0.300方案層對目標的組合權向量為方案層對目標的組合權向量為 (0.300, 0.246, 0.456)TTnwww),()2()2(1)2()2()3()3(wWw組合組合權向量權向量第第1層層O第第2層層C1,Cn第第3層層P1, PmnkwwwTkmkk, 2 , 1,),()3()3(1)3(第第2層對第層對第1層的權向量層的權向量第第3層對第層對第2層各元素的權向量層各元素的權向量,)3()3(1)3(nwwW構造矩陣構造矩陣則第則第3層對第層對第1層的組合權向量層的組合

14、權向量)2()3() 1()()(wWWWwsss第第s層對第層對第1層的組合權向量層的組合權向量其中其中W(p)是由第是由第p層對第層對第p-1層權向量組成的矩陣層權向量組成的矩陣層次分析法的基本步驟層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結構模型）建立層次分析結構模型深入分析實際問題，將有關因素自上而下分層（目標深入分析實際問題，將有關因素自上而下分層（目標準則或指標準則或指標方案或對象），上層受下層影響，而層內方案或對象），上層受下層影響，而層內各因素基本上相對獨立。各因素基本上相對獨立。2）構造成對比較陣）構造成對比較陣用成對比較法和用成對比較法和19尺度，構造各層對上一層每一因素的尺度，

15、構造各層對上一層每一因素的成對比較陣。成對比較陣。3）計算權向量并作一致性檢驗）計算權向量并作一致性檢驗對每一成對比較陣計算最大特征根和特征向量，作一致性對每一成對比較陣計算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗，若通過，則特征向量為權向量。檢驗，若通過，則特征向量為權向量。4）計算組合權向量（作組合一致性檢驗）計算組合權向量（作組合一致性檢驗*）組合權向量可作為決策的定量依據。組合權向量可作為決策的定量依據。二二. . 層次分析法的廣泛應用層次分析法的廣泛應用 應用領域：經濟計劃和管理，能源政策和分配，應用領域：經濟計劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評價，生產決策，交通運輸，科研選題，人才選

16、拔和評價，生產決策，交通運輸，科研選題，產業(yè)結構，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。產業(yè)結構，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。 處理問題類型：決策、評價、分析、預測等。處理問題類型：決策、評價、分析、預測等。 建立層次分析結構模型是關鍵一步，要有主要決建立層次分析結構模型是關鍵一步，要有主要決策層參與。策層參與。 構造成對比較陣是數量依據，應由經驗豐富、判構造成對比較陣是數量依據，應由經驗豐富、判斷力強的專家給出。斷力強的專家給出。工作滿意程度工作滿意程度研研發(fā)發(fā)課課題題發(fā)發(fā)展展前前途途待待遇遇同同事事情情況況地地理理位位置置單單位位名名氣氣供選擇的崗位供選擇的崗位（崗位（崗位1、崗位、崗位2及崗位及崗位3

17、）練習：練習： 工作選擇工作選擇準則層的判斷矩陣準則層的判斷矩陣方案層的判斷矩陣方案層的判斷矩陣層次總排序的結果層次總排序的結果 ( (見見 choose of work.m) choose of work.m)國家綜合實力國家綜合實力國民國民收入收入軍事軍事力量力量科技科技水平水平社會社會穩(wěn)定穩(wěn)定對外對外貿易貿易美、俄、中、日、德等大國美、俄、中、日、德等大國補充例補充例2 國家實力分析國家實力分析過河的效益過河的效益 A經濟效益經濟效益B1社會效益社會效益B2環(huán)境效益環(huán)境效益B3節(jié)節(jié)省省時時間間C1收收入入C2岸岸間間商商業(yè)業(yè)C3當當地地商商業(yè)業(yè)C4建建筑筑就就業(yè)業(yè)C5安安全全可可靠靠C6

18、交交往往溝溝通通C7自自豪豪感感C8舒舒適適C9進進出出方方便便C10美美化化C11橋梁橋梁D1隧道隧道D2渡船渡船D3（1）過河效益層次結構）過河效益層次結構補充例補充例3 橫渡江河的抉擇橫渡江河的抉擇過河的代價過河的代價 A經濟代價經濟代價 B1環(huán)境代價環(huán)境代價B3社會代價社會代價B2投投入入資資金金C1操操作作維維護護C2沖沖擊擊渡渡船船業(yè)業(yè)C3沖沖擊擊生生活活方方式式C4交交通通擁擁擠擠C5居居民民搬搬遷遷C6汽汽車車排排放放物物C7對對水水的的污污染染C8對對生生態(tài)態(tài)的的破破壞壞C9橋梁橋梁D1隧道隧道D2渡船渡船D2（2）過河代價層次結構）過河代價層次結構待評價的科技成果待評價的科

19、技成果直接直接經濟經濟效益效益 C11間接間接經濟經濟效益效益 C12社會社會效益效益 C13學識學識水平水平 C21學術學術創(chuàng)新創(chuàng)新 C22技術技術水平水平 C23技術技術創(chuàng)新創(chuàng)新 C24效益效益C1水平水平C2規(guī)模規(guī)模C3科技成果評價科技成果評價補充例補充例4 科技成果科技成果的綜合評價的綜合評價三三. 層次分析法的若干問題層次分析法的若干問題 正互反陣的最大特征根是否為正數？特征向量正互反陣的最大特征根是否為正數？特征向量是否為正向量？一致性指標能否反映正互反陣接是否為正向量？一致性指標能否反映正互反陣接近一致陣的程度？近一致陣的程度？ 怎樣簡化計算正互反陣的最大特征根和特征向量？怎樣簡

20、化計算正互反陣的最大特征根和特征向量？ 為什么用特征向量作為權向量？為什么用特征向量作為權向量？ 當層次結構不完全或成對比較陣有空缺時怎樣用當層次結構不完全或成對比較陣有空缺時怎樣用層次分析法？層次分析法？1. 正互反陣的最大特征根和特征向量的性質正互反陣的最大特征根和特征向量的性質定理定理1 1 正矩陣正矩陣A 的的最大特征根最大特征根 是正單根，對應是正單根，對應正特征向量正特征向量w，且，且TkTkkeweAeeA) 1 , 1 , 1 (,lim定理定理2 2 n階階正互反陣正互反陣A的最大特征根的最大特征根 n , = n是是A為一致陣的充要條件。為一致陣的充要條件。 正互反陣的最大

21、特征根是正數，正互反陣的最大特征根是正數，特征向量是正向量。特征向量是正向量。一致性指標一致性指標 定義合理定義合理1nnCI2. 正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計算正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計算 精確計算的復雜和不必要精確計算的復雜和不必要 簡化計算的思路簡化計算的思路一致陣的任一列向量都是特征向量，一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應近似特征向量，可取一致性尚好的正互反陣的列向量都應近似特征向量，可取其某種意義下的平均。其某種意義下的平均。和法和法取列向量的算術平均取列向量的算術平均14/ 16/ 1412/ 1621A例091. 0077. 01

22、. 0364. 0308. 03 . 0545. 0615. 06 . 0w089. 0324. 0587. 0286. 0974. 0769. 1Aw009. 3)089. 0268. 0324. 0974. 0587. 0769. 1(31列向量列向量歸一化歸一化算術算術平均平均wAw精確結果精確結果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010根法根法取列向量的幾何平均取列向量的幾何平均冪法冪法迭代算法迭代算法1）任取初始向量）任取初始向量w(0), k:=0，設置精度，設置精度 )()1(kkAww2) 計算計算nikikkwww1)1()1()1(/3）歸一化）歸一化

23、nikikiwwn1)()1(15) 計算計算簡化簡化計算計算4）若）若 ，停止；，停止；否則，否則，k:=k+1, 轉轉2)()1(maxkikiiww3. 特征向量作為權向量特征向量作為權向量成對比較的多步累積效應成對比較的多步累積效應問題問題一致陣一致陣A, 權向量權向量w=(w1,wn)T, aij=wi/wjA不一致不一致, 應選權向量應選權向量w使使wi/wj與與 aij相差相差盡量?。▽λ斜M量?。▽λ衖,j)。211),1(min ninjjiijniwwwai用擬合方法確定用擬合方法確定w非線性非線性最小二乘最小二乘211),1(lnlnmin ninjjiijniwwwa

24、i線性化線性化對數最小二乘對數最小二乘結果與根法相同結果與根法相同 按不同準則確定的權向量不同，特按不同準則確定的權向量不同，特征向量有什么優(yōu)點。征向量有什么優(yōu)點。成對比較成對比較Ci:Cj (直接比較）直接比較）aij 1 1步強度步強度)()2(2ijaA sjnsisijaaa1)2(aisasj Ci通過通過Cs 與與Cj的比較的比較aij(2) 2步強度步強度更能反映更能反映Ci對對Cj 的強度的強度步強度kaaAkijkijk),()()(多步累積效應多步累積效應體現體現多步累積效應多步累積效應), 1,)()()()(00nsaaaakkkjikjskiskjskis（或定理定理

25、1 1weAeeAkTkklim特征向量體現特征向量體現多步累積效應多步累積效應當當k足夠大足夠大, Ak第第i行元素反映行元素反映Ci的權重的權重求求Ak的行和的行和4.不完全層次結構中組合權向量的計算不完全層次結構中組合權向量的計算完全層次結構：上層每一元素與下層所有元素相關聯完全層次結構：上層每一元素與下層所有元素相關聯不完全層次結構不完全層次結構設第設第2層對第層對第1層權向量層權向量w(2)=(w1(2),w2(2)T已定已定第第3層對第層對第2層權向量層權向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得已得討論

26、由討論由w(2),W(3)=(w1(3), w2(3)計算計算第第3層對第層對第1層權向量層權向量w(3）的方法的方法貢獻貢獻O教學教學C1科研科研C2P2 P1P3P4例例: 評價教師貢獻的層次結構評價教師貢獻的層次結構P1,P2只作教學只作教學, P4只作科研只作科研, P3兼作教學、科研。兼作教學、科研。C1,C2支配元素的數目不等支配元素的數目不等)/(),()2(22)2(11)2(22)2(11)2(wnwnwnwnwT 不考慮支配元素數目不等的影響不考慮支配元素數目不等的影響)2()3()3(wWw 仍用仍用 計算計算 支配元素越多權重越大支配元素越多權重越大用支配元素數目用支配

27、元素數目n1,n2對對w(2)加權修正加權修正 若若C1,C2重要性相同重要性相同, w(2)=(1/2,1/2)T, P1P4能力相同能力相同, w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T公正的評價應為：公正的評價應為： P1:P2:P3:P4=1:1:2:1 再用再用 計算計算)2()3()3(wWww(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)Tw(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)TTwnn) 5/2 , 5/ 3 (, 2, 3) 2(21 支配元素越多權重越小支配元素越多權重越小教學、科研任務由上級安排教學、科研任務由上級安排教學、

28、科研靠個人積極性教學、科研靠個人積極性考察一個特例：考察一個特例：5. 殘缺成對比較陣的處理殘缺成對比較陣的處理12/ 1/212/ 1/211331wwwwCwCw22/ 10212/ 1022AwwAjimajiajiaaiijijijij, 1, 0,miA第第i 行行中中 的個數的個數12/1212/121A例 為殘缺元素為殘缺元素輔助矩陣輔助矩陣Tw)1429. 0 ,2857. 0 ,5714. 0(, 36. 更復雜的層次結構更復雜的層次結構 遞階層次結構：層內各元素獨立，無相互影響和遞階層次結構：層內各元素獨立，無相互影響和支配；層間自上而下、逐層傳遞，無反饋和循環(huán)。支配；層間

29、自上而下、逐層傳遞，無反饋和循環(huán)。 更復雜的層次結構：更復雜的層次結構：層內各元素間存在相互影響層內各元素間存在相互影響或支配；層間存在反饋或循環(huán)。或支配；層間存在反饋或循環(huán)。制動制動底盤底盤車輪車輪方向盤方向盤發(fā)動機發(fā)動機減震裝置減震裝置剎車剎車轉向轉向運行運行加速性能加速性能汽車行駛性能汽車行駛性能汽車汽車1汽車汽車2汽車汽車n例例 層次分析法的優(yōu)點層次分析法的優(yōu)點 系統(tǒng)性系統(tǒng)性將對象視作系統(tǒng)，按照分解、比較、判斷、將對象視作系統(tǒng)，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進行決策綜合的思維方式進行決策系統(tǒng)分析（與機理分析、系統(tǒng)分析（與機理分析、測試分析并列）；測試分析并列）； 實用性實用性定性

30、與定量相結合，能處理傳統(tǒng)的優(yōu)化方定性與定量相結合，能處理傳統(tǒng)的優(yōu)化方法不能解決的問題；法不能解決的問題； 簡潔性簡潔性計算簡便，結果明確，便于決策者計算簡便，結果明確，便于決策者直接了解和掌握。直接了解和掌握。層次分析法的局限層次分析法的局限 囿舊囿舊只能從原方案中選優(yōu)，不能產生新方案；只能從原方案中選優(yōu)，不能產生新方案； 粗略粗略定性化為定量，結果粗糙；定性化為定量，結果粗糙； 主觀主觀主觀因素作用大，結果可能難以服人。主觀因素作用大，結果可能難以服人。模型模型1 市場經濟中的蛛網模型市場經濟中的蛛網模型模型模型2 差分形式的阻滯增長模型差分形式的阻滯增長模型模型模型3 按年齡分組的種群增長

31、按年齡分組的種群增長2 差分方程模型差分方程模型問問 題題供大于求供大于求現現象象商品數量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定？商品數量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定？當不穩(wěn)定時政府能采取什么干預手段使之穩(wěn)定？當不穩(wěn)定時政府能采取什么干預手段使之穩(wěn)定？價格下降價格下降減少產量減少產量增加產量增加產量價格上漲價格上漲供不應求供不應求描述商品數量與價格的變化規(guī)律描述商品數量與價格的變化規(guī)律數量與價格在振蕩數量與價格在振蕩差分模型之一差分模型之一-市場經濟中的蛛網模型市場經濟中的蛛網模型蛛蛛 網網 模模 型型gx0y0P0fxy0 xk第第k時段商品數量；時段商品數量；yk第第k時段商品價格時段商品價

32、格消費者的需求關系消費者的需求關系)(kkxfy 生產者的供應關系生產者的供應關系減函數減函數增函數增函數供應函數供應函數需求函數需求函數f與與g的交點的交點P0(x0,y0) 平衡點平衡點一旦一旦xk=x0，則，則yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )(1kkyhx)(1kkxgyxy0fgy0 x0P0設設x1偏離偏離x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是穩(wěn)定平衡點是穩(wěn)定平衡點P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點是不穩(wěn)定平衡點gfKKxy0y0 x0P0fg)(kkxfy )(1kkyh

33、x)(1kkxgy00,yyxxkk gfKK曲線斜率曲線斜率蛛蛛 網網 模模 型型0321PPPP )(kkxfy )(1kkyhx在在P0點附近用直線近似曲線點附近用直線近似曲線)0()(00 xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0穩(wěn)定穩(wěn)定P0不穩(wěn)定不穩(wěn)定0 xxkkxfKgK/1)/ 1()/ 1(1方方 程程 模模 型型gfKKgfKK方程模型與蛛網模型的一致方程模型與蛛網模型的一致)(00 xxyykk 商品數量減少商品數量減少1單位單位, 價格上漲幅度價格上漲幅度)(001yyxxkk 價格上漲價格上漲1單位單位, (下時段

34、下時段)供應的增量供應的增量考察考察 , 的含義的含義 消費者對需求的敏感程度消費者對需求的敏感程度 生產者對價格的敏感程度生產者對價格的敏感程度 小小, 有利于經濟穩(wěn)定有利于經濟穩(wěn)定 小小, 有利于經濟穩(wěn)定有利于經濟穩(wěn)定結果解釋結果解釋xk第第k時段商品數量；時段商品數量；yk第第k時段商品價格時段商品價格1經濟穩(wěn)定經濟穩(wěn)定結果解釋結果解釋經濟不穩(wěn)定時政府的干預辦法經濟不穩(wěn)定時政府的干預辦法1. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0 以行政手段控制價格不變以行政手段控制價格不變2. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0靠經濟實力控制數量不變靠經濟實力控制數量不變xy0y0gfxy0 x0gf結果解釋

35、結果解釋需求曲線變?yōu)樗叫枨笄€變?yōu)樗焦€變?yōu)樨Q直供應曲線變?yōu)樨Q直2/ )(0101yyyxxkkk模型的推廣模型的推廣 生產者根據當前時段和前一時生產者根據當前時段和前一時段的價格決定下一時段的產量。段的價格決定下一時段的產量。)(00 xxyykk生產者管理水平提高生產者管理水平提高設供應函數為設供應函數為需求函數不變需求函數不變, 2 , 1,)1 (22012kxxxxkkk二階線性常系數差分方程二階線性常系數差分方程x0為平衡點為平衡點研究平衡點穩(wěn)定，即研究平衡點穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件)(1kkyhx211kkkyyhx48)(22, 1012)1 (22xxxxk

36、kk方程通解方程通解kkkccx2211(c1, c2由初始條件確定由初始條件確定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 022平衡點穩(wěn)定，即平衡點穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件:12,12平衡點穩(wěn)定條件平衡點穩(wěn)定條件比原來的條件比原來的條件 放寬了放寬了122, 1模型的推廣模型的推廣)1()(Nxrxtx,2, 1),1 (1kNyryyykkkk連續(xù)形式連續(xù)形式的阻滯增長模型的阻滯增長模型 (Logistic模型模型)t, xN, x=N是是穩(wěn)定平衡點穩(wěn)定平衡點(與與r大小無關大小無關)離散離散形式形式x(t) 某種群某種群 t 時刻的數量時刻的數量(人口人口)yk 某種

37、群第某種群第k代的數量代的數量(人口人口)若若yk=N, 則則yk+1,yk+2,=N討論平衡點的穩(wěn)定性，即討論平衡點的穩(wěn)定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡點是平衡點差分模型之二差分模型之二 -差分形式的阻滯增長模型差分形式的阻滯增長模型kkyNrrx) 1( 1rb記) 1 ()1 (1Nyryyykkkk離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩(wěn)定性離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩(wěn)定性kkkyNrryry) 1(1) 1(1)2()1 (1kkkxbxx一階一階(非線性非線性)差分方程差分方程 (1)的平衡點的平衡點y*=N討論討論 x* 的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性變量變量代換代換(2)的平衡點的平

38、衡點brrx111*(1)的平衡點的平衡點 x*代數方程代數方程 x=f(x)的根的根穩(wěn)定性判斷穩(wěn)定性判斷)2()()(*1xxxfxfxkk(1)的近似線性方程的近似線性方程x*也是也是(2)的平衡點的平衡點1)(* xfx*是是(2)和和(1)的穩(wěn)定平衡點的穩(wěn)定平衡點1)(* xfx*是是(2)和和(1)的不穩(wěn)定平衡點的不穩(wěn)定平衡點補充知識補充知識一階非線性差分方程一階非線性差分方程) 1 ()(1kkxfx的平衡點及穩(wěn)定性的平衡點及穩(wěn)定性)21()(*xbxf1)(* xf0yxxy )(xfy 4/b*x2/11)1 ()(xbxxfx)1 (1kkkxbxx的平衡點及其穩(wěn)定性的平衡點

39、及其穩(wěn)定性平衡點平衡點bx11*穩(wěn)定性穩(wěn)定性31 b2/ 1/ 11*bx*xxk（單調增）0 x1x1x2xx* 穩(wěn)定穩(wěn)定21)1( b) 1)(3*xfbx* 不不穩(wěn)定穩(wěn)定另一平衡另一平衡點為點為 x=01 rb1)0(bf不穩(wěn)定不穩(wěn)定b 23)3(b01/21y4/bxy )(xfy 0 x1x*x2xx32)2( b2/ 1/ 11*bx*xxk（振蕩地）y0 xxy )(xfy 0 x1x2x*x2/114/b*xxk（不）)1 (1kkkxbxx的平衡點及其穩(wěn)定性的平衡點及其穩(wěn)定性)1 (1kkkxbxx初值初值 x0=0.2數值計算結果數值計算結果bx11*b 3.57, 不存在任何收斂子序列不存在任何收斂子序列混沌現象混沌現象4倍周期收斂倍周期收斂)1 (1kkkxbxx的收斂、分岔及混沌現象的收斂、分岔及混沌現象(見見chaos.m)b 不同年齡組的繁殖率和死亡