Excel在非線性方程求解過程中的應(yīng)用

1、Excel在非線性方程求解過程中的應(yīng)用         關(guān)鍵詞  Excel；非線性方程；解  1  引言    “計(jì)算方法”是工科學(xué)生學(xué)習(xí)的課程，該課程在工程方面應(yīng)用相當(dāng)廣泛。在實(shí)際的教學(xué)或者在工程應(yīng)用中，需要進(jìn)行工程計(jì)算時(shí)找不到合適的軟件，如為此編寫專門的程序來實(shí)現(xiàn)往往又不太現(xiàn)實(shí)，如采用手工計(jì)算的方式，則工作量又相當(dāng)大，而且中間過程易出錯(cuò)。為解決此問題，我們想到，EXCEL作為OFFICE辦公自動(dòng)化軟件的一部分，有著強(qiáng)大的計(jì)算功能，如何將工程或者教學(xué)過程中的數(shù)學(xué)

2、問題直接采用EXCEL來處理，以解決這些繁瑣的計(jì)算問題，并能快速獲取計(jì)算結(jié)果。下面就舉例來說明用EXCEL在非線性方程的數(shù)值解法中的應(yīng)用，對如何采用EXCEL來計(jì)算工程中的數(shù)學(xué)問題起到拋磚引玉的作用。2  求解過程    非線性方程的數(shù)值解法中常用的有對分法、迭代法、松馳法、牛頓法、割線法等，但最基本的是對分法和迭代法，我們利用對分法和迭代法的思想來說明使用EXCEL求解非線性方程的數(shù)值解的過程。2.1  對分法    對分法適用于求有限區(qū)間內(nèi)的單實(shí)根或奇重實(shí)根，其原理是，設(shè)f(x)在a，b上連續(xù)，若f(a)

3、15;f(b)<0，即f(a)>0，f(b)<0或f(a)<0，f(b)>0。則根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理，在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使f()=0。為了能夠求得方程在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的近似解，則需要將區(qū)間大小逐次減半縮小，直至得到滿足條件的解為止。即取a，b的中點(diǎn)x0=(a+b)/2，將區(qū)間一分為二，若f(x0)=0，則x0就是方程的根，否則就判斷方程的根x*在x0的左側(cè)還是右側(cè)，    若f(a)×f(x0)<0，則x*(a，x0)，令a1=a，b1= x0；    若f(a)×f(x

4、0)>0，則x*(x0，b)，令a1= x0，b1=b；    按理逐次操作，所得到的新的區(qū)是都是前一區(qū)間的一半，若每次對分時(shí)所取區(qū)間中點(diǎn)都不是根，則上述過程將無限地進(jìn)行下去，當(dāng)n時(shí)，這些區(qū)間最終必收縮為一點(diǎn)x*，顯然x*就是所求之根。但在實(shí)際應(yīng)用中，不可能無限制地將上述步驟進(jìn)行下去，只有當(dāng)xn足夠大（即區(qū)間對分次數(shù)足夠多），xn的誤差就可足夠小，那么我們就可以將xn作為方程的近似解。    根據(jù)以上原理，以下面的例子來說明利用EXCEL來實(shí)現(xiàn)對分法求解方程近似解的過程。    例：求x3-3x+1

5、=0在0，1中的實(shí)根近似解，精確到三位小數(shù)。    解：令f(x)= x3-3x+1，有f(0)×f(1)<0，所以方程x3-3x+1=0在0，1中必有一個(gè)實(shí)根。    首先在EXCEL的工作表中錄入圖1所示的數(shù)據(jù)。圖1    在D2單元格內(nèi)輸入“=(B2+C2)/2”，在E2單元格內(nèi)輸入“=D23-3*D2+1”，即求出f(x)在區(qū)間0，1中間處的值。在圖1中可以看到F2單元格內(nèi)數(shù)字為1，此數(shù)字是用來設(shè)定標(biāo)記用的，因?yàn)槊看稳〉弥虚g的f(x)值后都需要對f(a)×f(x)的正負(fù)號(hào)

6、進(jìn)行判斷，以判定對分后所保留的區(qū)間。為簡化計(jì)算，我們將f(a)的值大于0時(shí)計(jì)為“1”，小于0時(shí)計(jì)為“-1”。    要利用對分法的思想，在有區(qū)間初始值及計(jì)算出的中點(diǎn)x，x處的函數(shù)值f(x)及f(a)的正負(fù)值情況下，我們就可以判定新的區(qū)間的左右邊界，即得到新的保留區(qū)間。為了能夠在EXCEL中進(jìn)行判斷，就需使用EXCEL所提供的IF函數(shù)。具體做法為：在B3單元格中輸入“=IF(E2*F2<0，B2，D2)”，在C3單元格中輸入“=IF(E2*F2<0，D2，C2)”，即在某一步k，f(a)與f(x)異號(hào)，根所在區(qū)間即為前一次區(qū)前的前半部分，如果是f(a)與

7、f(x)同號(hào)，則根所在區(qū)間為前一次區(qū)間的后半部分。同樣，在F2單元格內(nèi)輸入“=IF(B23-3*B2+1>0，1，-1)”，以設(shè)定f(a)的正負(fù)標(biāo)志。然后分別拖動(dòng)B3、C3、D2、C2、F2單元格的“填充柄”將B3、C3、D2、C2、F2單元格填充至B15、C15、D15、E15、F15，可得圖2所示的結(jié)果。圖2    可見，x(0.34729，0.34741209)，但我們需要考查此時(shí)解的精度能否達(dá)到要求，當(dāng)k=14時(shí)，b-a=0.34741209-0.34729=0.000122109<0.0005，達(dá)到精度要求。為更精確求解，我們?nèi)=(0.34

8、729+0.34741209)/2= 0.3473510550.3474，因此，用0.3474作為方程在0，1區(qū)間內(nèi)的近似解，滿足3位小數(shù)的精度要求。2.2  迭代法    由于對分法即可用于求隔根區(qū)間，也可用于根的精確化，但要求得較精確的結(jié)果計(jì)算機(jī)時(shí)間較長。我們可以改用迭代法，更好地滿足求根的要求。    迭代法是一種重要的逐次逼近法，它的基本思想是：將方程f(x)=0化為等價(jià)方程x=(x)，然后在隔根區(qū)間內(nèi)取一點(diǎn)x0，按公式xn+1=(xn)，(n=0，1，2，3，)同理，我們針對上面的例子，來求方程在0，1區(qū)間內(nèi)的解的

9、近似值，構(gòu)造等價(jià)方程為：x=(x3+1)/3，取初始值為區(qū)間中間值，即x0=0.5，在Excel中按圖3所示進(jìn)行輸入。圖3    在C2單元格中輸入“=(B23+1)/3”，然后拖動(dòng)C2單元格的“填充柄”，將C2填充至J2，可得如圖4所示的效果。圖4    可見，當(dāng)k>6時(shí)，x值已趨于穩(wěn)定，因此，在保留三位有效數(shù)字的基礎(chǔ)上，我們可得x=0.3473為方程在0，1區(qū)間內(nèi)的近似解。3  問題總結(jié)    通過上述兩種方法，可以看出，采用EXCEL在求解非線性方程的近似解時(shí)是極為方便的，特別是采用迭代法，能夠使用較少的計(jì)算步數(shù)得到精度較高的解，有著較快的收斂速度。但實(shí)際工程中的數(shù)學(xué)問題并不全是非線性方程的求解問題，還有許多諸如線性方程組、插值、曲線擬合等問題，這些問題中有很大一部分是可以通過EXCEL來完成的。只是在實(shí)現(xiàn)之前，需要對各類數(shù)學(xué)問題進(jìn)行較詳細(xì)的分析，然后對EXCEL加以靈活的應(yīng)用，這樣，就可以在不借助專門軟件或編寫特定程序的基礎(chǔ)上求解工程中的一些數(shù)學(xué)問題，以更好地方便課程的教學(xué)及工程中的實(shí)際計(jì)算需要。參考文獻(xiàn)1 曹瓔珞，曹德欣. 計(jì)算方法M.徐州