二重積分說課

1、高等數(shù)學（下）說課稿說課教師：方政蕊 （經(jīng)濟與數(shù)學系）各位評委、老師：大家好!我是經(jīng)濟與數(shù)學系的數(shù)學教師方政蕊，很榮幸能夠參加此次的說課活動，希望各位評委、老師對我的說課內(nèi)容提出寶貴意見。下面我將就本學期我所擔任的高等數(shù)學這門課程所使用的教材、該課程的地位作用、教學方法的選擇、學生學法的指導和教學過程的設計等幾個方面來向大家做一簡要介紹。一、教材介紹這門課所使用的教材是同濟大學出版社出版的面向21世紀普通高等教育規(guī)劃教材高等數(shù)學的下冊，該教材內(nèi)容符合教學大綱的要求，知識系統(tǒng)、體系結構清晰、例題豐富、語言通俗易懂，講解透徹難度適中，在上冊一元函數(shù)微積分的基礎上進一步較系統(tǒng)地介紹多元函數(shù)微分學，多

2、元函數(shù)積分學，無窮級數(shù)和微分方程等高等數(shù)學的知識。二、課程介紹1、地位和作用高等數(shù)學在當今社會的各個領域都有廣泛的應用，因而“高等數(shù)學”是理工類本科教學重要基礎課之一，通過本課程的教學，旨在使學生掌握該課程的基本概念、基本理論和方法，提高學生應用數(shù)學知識解決實際問題的意識和能力，為學生繼續(xù)學習后續(xù)相關專業(yè)課奠定必要的數(shù)學基礎。2、教學目標 （1）、理解多元函數(shù)的概念、會求二元函數(shù)的偏導數(shù)和全微分 （2）、能將多元函數(shù)應用到幾何上，會求極值 （3）、理解多元函數(shù)的概念、性質(zhì)，掌握二重積分的計算方法 （4）、掌握三重積分、曲線積分和曲面積分的計算方法 （5）、理解無窮級數(shù)的概念、性質(zhì)，掌握判別級數(shù)

3、收斂性的方法 （6）、會將函數(shù)展開成冪級數(shù)或傅里葉級數(shù) （7）、理解微分方程的概念，掌握求微分方程的解的方法3、教學重點和難點 （1）、求二元函數(shù)的偏導數(shù)、極值 （2）、求二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分 （3）、無窮級數(shù)的收斂性判別、將函數(shù)展開成冪級數(shù)或傅里葉級數(shù) （4）、解微分方程二、教學方法科學合理的教學方法能使教學效果事半功倍，達到教與學的和諧完美統(tǒng)一。數(shù)學是本科教學中的重要基礎課，是一門培養(yǎng)和發(fā)展人的思維的重要學科，因此，在教學中，不僅要使學生“知其然”而且要使學生“知其所以然”。根據(jù)教學內(nèi)容、教學目標和學生的認知水平，我主要采取教師啟發(fā)講授、適當點撥和學生探究學習的教學方法。

4、教學過程中，教師可以系統(tǒng)的傳授知識，充分發(fā)揮教師的主導作用，根據(jù)教材提供的線索，安排適當?shù)慕虒W情境，讓學生展示相應的數(shù)學思維過程，使學生有機會經(jīng)歷數(shù)學概念抽象的各個階段，引導學生獨立自主地開展思維活動，深入探究，在思考中體會數(shù)學圖象變換過程中所蘊涵的數(shù)學方法，使之獲得內(nèi)心感受，特別是通過多媒體課件的演示，直觀展示函數(shù)圖象的變化過程，激發(fā)學生的興趣，從而創(chuàng)造性地解決問題，最終形成概念，獲得方法，培養(yǎng)能力，突出學生的主體地位除使用常規(guī)的教學手段外，還將使用多媒體投影和計算機來輔助教學，目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點，為學生提供直觀感性的材料，有助于學生對問題的理解和認識。三、學生學法指導我

5、們常說：“授人以魚不如授人以漁”，因而在教學中要特別重視學法的指導。轉變學生數(shù)學學習方式，不僅有利于提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，而且有利于促進學生整體學習方式的轉變。我以教學大綱和課程標準為指導，輔以多媒體手段，結合師生共同討論、歸納，著重引導學生學會探索研究的學習方法。探究式學習法的好處是學生主動參與知識的發(fā)生、發(fā)展過程，在探究的過程中激發(fā)學生的好奇心和創(chuàng)新意識，在探究過程中學習科學研究的方法,在探究過程中培養(yǎng)堅韌不拔的精神。學生掌握了這種學習方法后，對學生終生學習都有積極意義。四、 教學過程的設計為完成本門課的教學目標，突出重點，突破難點，我把教學過程設計為六個階段：創(chuàng)設情境，引入課題；歸納探索，

6、形成概念；掌握求法，適當延展；適當練習，鞏固新課；歸納小結，提高認識；作業(yè)布置，鞏固提高。具體過程如下：1、創(chuàng)設情境，引入課題在學生原有的知識體系上,通過類比逐步引導學生從一元函數(shù)的極限、連續(xù)、求導和積分到多元函數(shù)的的極限、連續(xù)、求導和積分過渡,發(fā)現(xiàn)兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系, 這樣獲取的知識，不但易于保持，而且易于遷移到陌生的問題情境中。2、歸納探索，形成概念由引例得出新課的知識點，如在講多元函數(shù)積分的概念上，由兩個引例求曲頂柱體的體積和平面薄片的質(zhì)量的講解，歸納總結出多元函數(shù)積分的概念。3、掌握求法，適當延展通過例題的講解，讓學生掌握多元函數(shù)微積分的計算方法。在講解例題時，不僅在于怎樣解，更在于為

7、什么這樣解，而及時對解題方法和規(guī)律進行概括，有利于發(fā)展學生的思維能力。在課本例題的基礎上，適當將題目引申,使例題的作用更加突出，有利于學生對知識的串聯(lián)、累積、加工，從而達到舉一反三的效果。4、適當練習，鞏固新課針對學生素質(zhì)的差異進行分層訓練，既使學生掌握基礎知識，又使學有余力的學生有所提高，從而達到拔尖和“減負”的目的，具體做法是課堂提問和讓學生到黑板上解題。5、歸納小結，提高認識知識性內(nèi)容的小結，可把課堂教學傳授的知識盡快化為學生的素質(zhì)；數(shù)學思想方法的小結，可使學生更深刻地理解數(shù)學思想方法在解題中的地位和應用，并且逐漸培養(yǎng)學生的良好的個性品質(zhì)目標。6、作業(yè)布置，鞏固提高：根據(jù)學生的不同層次分

8、為必做和選做,由學生自主選擇“二重積分”的教學方案的設計經(jīng)濟與數(shù)學系 方政蕊二重積分是高等數(shù)學下冊第六章第一節(jié)的內(nèi)容。在此之前，學生已學習了定積分,這為過渡到本節(jié)的學習起著鋪墊作用。本節(jié)內(nèi)容在高等數(shù)學中，占據(jù)著重要地位，以及為其他學科和今后專業(yè)課程的學習打下基礎。本著課程標準，在吃透教材的基礎上，我確立了如下的教學目標、教學重點和教學難點:一、 教學目標：1、理解二重積分的概念與性質(zhì) 2、掌握利用直角坐標系和極坐標計算二重積分二、教學重點與難點：二重積分的計算三、教學準備：1、教師：查看參考書、編寫教案或課件制作 2、學生：課前預習四、教學時間：2課時五、教學方案設計為達到本節(jié)課的教學目標，突

9、出重點，突破難點，我把教學環(huán)節(jié)設計為四個階段：創(chuàng)設情境，引入課題；歸納探索，形成概念；掌握求法，適當延展；歸納小結，提高認識，具體過程如下：1、創(chuàng)設情境，引入課題長期以來，我們的學生為什么對數(shù)學不感興趣，甚至害怕數(shù)學，其中的一個重要因素就是數(shù)學離學生的生活實際太遠了。事實上，數(shù)學學習應該與學生的生活融合起來，從學生的生活經(jīng)驗和已有的知識背景出發(fā)，讓他們在生活中去發(fā)現(xiàn)數(shù)學、探究數(shù)學、認識并掌握數(shù)學。 概念的形成主要依靠對感性材料的抽象概括，只有學生對學習對象有了豐富具體經(jīng)驗以后，才能使學生對學習對象進行主動的、充分的理解，因此在本節(jié)的教學中，我從具體的兩個實例引出概念：（1）、曲頂柱體的體積先用

10、兩分鐘時間，讓學生回憶學習定積分時求曲邊梯形面積的方法，再利用類比的方法講解求曲頂柱體的體積。（2）、平面薄片的質(zhì)量用同樣的方法求出平面薄片的質(zhì)量2、歸納探索，形成概念把實際問題抽象成數(shù)學模型是學生形成和掌握概念的前提，也是培養(yǎng)學生觀察分析能力的重要一步，以上兩個實例可以抽象地給出二重積分的定義，從而引出二重積分的概念。（1）、對概念作進一步解釋，并與定積分的概念作比較，加深學生的印象，最后強調(diào)幾個要點。（2）、給出二重積分的性質(zhì)，使學生能更深刻地理解二重積分。3、掌握求法，適當延展（1）、直角坐標系下二重積分的求法在講二重積分的計算前，先讓學生回顧定積分的基本公式和計算方法，提問兩位學生，得

11、出結論。再重點介紹二重積分的計算方法，對于不同的區(qū)域要用不同的積分次序進行積分，詳細講解兩種區(qū)域的特點，推導出計算二重積分的公式。（2）、講解例題選擇典型而具有代表性的例題3個，一個的積分區(qū)域是-型，一個既是-型又是-型，一個既不是-型也不是-型，使學生掌握不同積分區(qū)域的二重積分的計算，并及時對解題方法和規(guī)律進行概括，有利于發(fā)展學生的思維能力。（3）、極坐標下二重積分的求法很多學生沒有學過極坐標，所以先對極坐標作簡單的介紹，再講解用極坐標求二重積分，通過直角坐標與極坐標的變換得出公式，并強調(diào)在什么情況下選擇用極坐標求二重積分。（4）、講解例題選擇例題2個，一個是既可以用直角坐標計算又可以用極坐

12、標計算，另一個是只能用極坐標計算的例子，經(jīng)過對比，使學生了解有時用極坐標計算二重積分會減少很多計算量。（5）、能力訓練為了使學生達到對知識的深化理解，從而達到鞏固提高的效果，我特地設計了一組即時訓練題，并且把課本的例題熔入即時訓練題中，隨機抽兩位學生到黑板上做課堂練習，再作評講，使學生能鞏固所學知識與解題思想方法。（6）、變式延伸，進行重構重視課本例題，適當對題目進行引申,使例題的作用更加突出，有利于學生對知識的串聯(lián)、累積、加工，從而達到舉一反三的效果。4、歸納小結，提高認識提出問題：這節(jié)課你們學到了什么？鼓勵學生積極回答，答不完整的沒有關系，其它同學補充。以此培養(yǎng)學生的口頭表達能力，歸納概括

13、能力。5、布置作業(yè) 根據(jù)學生的不同層次分為必做和選做,由學生自主選擇。六、板書設計好的板書就像一份微型教案，此板書力圖全面而簡明的將授課內(nèi)容傳遞給學生，清晰直觀，便于學生理解和記憶，理清文章脈絡。我在上這節(jié)課時較注重板書的設計，將定義、性質(zhì)和計算方法寫在黑板的左邊，例題和講解寫在黑板的右邊，特別是有的例題沒有馬上擦去，保留到下一個例子講完，這樣就可以進行對比。下面附上板書設計與詳細教案：附1：板書設計6.1二重積分一、 二重積分的概念與性質(zhì)1引例（1）、曲頂柱體的體積（2）、平面薄片的質(zhì)量2、二重積分的概念3、二重積分的性質(zhì)二、二重積分的計算1、利用直角坐標系計算例題：2、利用極坐標計算例題練

14、習：*附2：教案第一節(jié) 二重積分教學目標：1、理解二重積分的概念與性質(zhì) 2、掌握利用直角坐標系和極坐標計算二重積分教學重點與難點：二重積分的計算一、二重積分的概念1. 引例1：曲頂柱體的體積設有一空間立體,它的底是面上的有界區(qū)域,它的側面是以的邊界曲線為準線,而母線平行于軸的柱面,它的頂是曲面()，稱這種立體為曲頂柱體。曲頂柱體的體積可以這樣來計算:(1) 用任意一組曲線網(wǎng)將區(qū)域分成個小區(qū)域，以這些小區(qū)域的邊界曲線為準線,作母線平行于軸的柱面,這些柱面將原來的曲頂柱體分劃成個小曲頂柱體，。 （假設所對應的小曲頂柱體為,這里既代表第個小區(qū)域,又表示它的面積值, 既代表第個小曲頂柱體,又代表它的體

15、積值）。從而 圖9-1-1(2) 由于連續(xù),對于同一個小區(qū)域來說,函數(shù)值的變化不大。因此,可以將第個小曲頂柱體近似地看作小平頂柱體,于是 ，整個曲頂柱體的體積近似值為 (3) 為得到的精確值,只需讓這個小區(qū)域越來越小,即讓每個小區(qū)域向某點收縮。為此,我們引入?yún)^(qū)域直徑的概念:一個閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域上任意兩點距離的最大者。所謂讓區(qū)域向一點收縮性地變小,意指讓區(qū)域的直徑趨向于零。設個小區(qū)域直徑中的最大者為,定義2.引例2：平面薄片的質(zhì)量設有一平面薄片占有面上的區(qū)域, 它在處的面密度為（）,現(xiàn)計算該平面薄片的質(zhì)量。(1)將分成個小區(qū)域 ，既代表第個小區(qū)域又代表它的面積。(2)第小平面薄片的質(zhì)量可近似

16、為 圖9-1-2 ， 整個平面薄片的質(zhì)量的近似值為 (3)記為的直徑，, 整個平面薄片的質(zhì)量定義為 綜上，兩種實際意義完全不同的問題, 都歸結同一形式的極限。因此,有必要撇開這類極限問題的實際背景, 給出一個更廣泛、更抽象的數(shù)學概念,即二重積分。3. 二重積分的定義定義 設是閉區(qū)域上的有界函數(shù)。(1) 將區(qū)域任意分成個小區(qū)域，其中, 既表示第個小區(qū)域, 也表示它的面積。(2) 在第個小區(qū)域上任取一點，作乘積 ，作和 (3) 記為的直徑，若極限 存在，則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)域上的二重積分,記作 ，即 其中: 稱為被積函數(shù), 稱為被積表達式,稱為面積元素,稱為積分變量, 稱為積分區(qū)域, 稱為積分和

17、式。4. 幾點說明：(1) 極限 的存在性不依賴區(qū)域的分割，也不依賴的取法。 (2) 二重積分的存在性定理：若在閉區(qū)域上連續(xù), 則在上的二重積分存在。(3) 中的面積元素象征著積分和式中的。由于二重積分的定義中對區(qū)域的劃分是任意的,若用一組平行于坐標軸的直線來劃分區(qū)域,因此,可以將記作 (為直角坐標系下的面積元素 ) 二重積分也可表示成為 。 圖9-1-3 (4) 若,二重積分表示以為曲頂,以為底的曲頂柱體的體積，即 二、二重積分的性質(zhì)1. 線性性質(zhì)其中:是常數(shù)。2. 對區(qū)域的可加性若區(qū)域分為兩個部分區(qū)域,則3. 若在上, ,表示區(qū)域的面積,則4. 若在上, ,則有不等式特別地,由于，有5.

18、估值不等式設與分別是在閉區(qū)域上最大值和最小值,是區(qū)域的面積,則6. 二重積分的中值定理設函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù), 是的面積,則在上至少存在一點,使得證明：由于在閉區(qū)域上連續(xù)，故在閉區(qū)域上取得其最大值和最小值。由性質(zhì)5，得顯然，因此有再由二元函數(shù)的介值性質(zhì)知道，至少存在一點，使得 即例1 比較積分與，其中是三頂點為，和的三角形。例2 估計積分值 其中三、二重積分的計算法1、利用直角坐標計算二重積分根據(jù)二重積分的幾何意義可知, 當時，的值等于以為底,以曲面為頂?shù)那斨w的體積。在區(qū)間上任意取定一個點,作平行于面的平面,這平面截曲頂柱體所得截面是一個以區(qū)間為底, 為曲邊的曲邊梯形,其面積為 一般地,過區(qū)間上任一點且平行于面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為利用計算平行截面面積為已知的立體的體積的方法,該曲頂柱體的體積為從而有這也稱為先對, 后對的二次積分，也常記作其中：積分區(qū)域為。如果積分區(qū)域為，則二重積分也可化為例1 計算 ，其中解：由二重積分的計算方法，