課堂探究 2.1.1合情推理

1、.課堂探究探究一 等式與不等式中的歸納推理給出幾個等式或不等式歸納其一般性結(jié)論時，要重點觀察分析所給等式或不等式中項數(shù)、次數(shù)以及字母的系數(shù)等方面的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)它們與自然數(shù)n的內(nèi)在聯(lián)絡(luò)，從而寫出一般性結(jié)論【典型例題1】 觀察以下各式：324252，6282102，92122152，122162202.由上述等式能得到怎樣的一般性結(jié)論？請寫出結(jié)論并證明思路分析：觀察給出的4個等式中，等號左邊和右邊各項的特點，數(shù)的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)其特點，然后得出一般性結(jié)論解：通過觀察上面給出的各個式子，可以發(fā)現(xiàn)這些等式中蘊涵的根本規(guī)律，這個規(guī)律可以用一個等式來表示，即3n24n25n2nN這一結(jié)論的證明如下：因為3

2、n24n2n23242n2·525n2，所以3n24n25n2nN【典型例題2】 觀察以下不等式：×11×，××，××，××，試寫出第n個不等式思路分析：觀察各式不難發(fā)現(xiàn)，左側(cè)括號內(nèi)是連續(xù)奇數(shù)的倒數(shù)之和，右側(cè)括號內(nèi)是連續(xù)偶數(shù)的倒數(shù)之和，而另一個數(shù)與項數(shù)有關(guān)，從而得出一般性結(jié)論解：第1個不等式為×11×，即×11×；第2個不等式為××，即××；第3個不等式為××，即××；猜測第n個不等式為

3、nN探究二 數(shù)列中的歸納推理在數(shù)列問題中，常用歸納推理猜測求解數(shù)列的通項公式或前n項和公式，其詳細(xì)步驟是：1通過條件求得數(shù)列中的前幾項或前幾項的和；2觀察數(shù)列的前幾項尋找規(guī)律，猜測數(shù)列的通項公式或前n項和公式并加以證明【典型例題3】 數(shù)列an滿足a14，an1nN試歸納猜測an的通項公式思路分析：先根據(jù)a1的值和給出的遞推公式求出a2，a3，a4，然后根據(jù)各項的規(guī)律猜測an.解：因為a14，所以a2，a3，a4，由此可猜測annN探究三 平面與空間中結(jié)論的類比平面與空間的類比是一種常見的類比，一般地，平面中的點、線與空間中的線、面是類比對象；平面中的三角形、正方形與空間中的四面體、正方體是類比

4、對象；平面中的圓與空間中的球是類比對象、平面中的邊長與空間中的面積是類比對象、平面中的面積與空間中的體積是類比對象等【典型例題4】 我們知道，在平面中，假如一個平行四邊形的兩條對角線相等，那么這個平行四邊形是矩形將這一結(jié)論推廣到空間，你能得到什么結(jié)論？你能否證明結(jié)論的正確性？思路分析：此題是由平面到空間的推廣，平行四邊形與平行六面體是類比對象，矩形那么和直平行六面體是類比對象解：平面中的平行四邊形可以與空間中的平行六面體相類比，因此可得到結(jié)論：假如一個平行六面體的體對角線相等，那么這個平行六面體是直平行六面體證明如下：如圖，在平行六面體ABCD­A1B1C1D1中，假設(shè)對角線A1C與

5、AC1相等，那么四邊形ACC1A1是矩形，因此A1AAC.同理，由BD1B1D可得四邊形BB1D1D是矩形，因此D1DDB，即A1ADB.又因為AC與BD相交，所以A1A底面ABCD，故平行六面體是直平行六面體探究四 等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比1等差數(shù)列和等比數(shù)列是一對很好的類比對象，它們在很多方面可以進展類比等差數(shù)列中的加、減、倍數(shù)通常與等比數(shù)列中的乘、除、乘方相對應(yīng)2進展類比推理時，注意比較兩個對象的相似之處和不同之處，找到可以類比的兩個量，然后加以推測，最好能加以證明，以保證類比的正確性【典型例題5】 假設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，前n項的積為Tn，那么數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為.類似地，在等差數(shù)列bn中，假設(shè)其公差為d，前n項和為Sn，那么相應(yīng)的結(jié)論是什么？加以證明解：相應(yīng)的結(jié)論是：數(shù)列為等差數(shù)列，公差為.證明如下：因為Snna1d.所以a1dn，于是n1n.故為等差數(shù)列，且公差為.探究五 易錯辨析易錯點：類比推理應(yīng)用錯誤【典型例題6】 請用類比推理完成下表：平面空間三角形的面積等于任意一邊的長度與這條邊上的高的乘積的三棱錐的體積等于任一底面的面積與這個底面上的高的乘積的三角形的面積等于其內(nèi)切圓半徑與三角形周長乘積的錯解一：三棱錐的體積等于其內(nèi)切球半徑與三棱錐各棱長之和的乘積的.錯解二：三棱錐的體積等于其內(nèi)切球半徑與三棱錐各面面積之和的乘積的