北京大學(xué)研究生入學(xué)考試——高等代數(shù)與解析幾何_試題及答案

1、北京大學(xué)2005 數(shù)學(xué)專業(yè)研究生 高等代數(shù)與解析幾何。1 在直角坐標(biāo)系中，求直線到平面的正交投影軌跡的方程。其中B是常數(shù)解：可以驗(yàn)證點(diǎn)，從而把寫成參數(shù)方程：，任取其上一點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)到上的投影為點(diǎn)整理即知，到上的正交投影軌跡滿足方程由于，上述方程表示一條直線，而和不同時(shí)成立，因此到上的正交投影軌跡是一條直線從而到上的正交投影軌跡的方程就是2 在直角坐標(biāo)系中對(duì)于參數(shù)的不同取值，判斷下面平面二次曲線的形狀：.對(duì)于中心型曲線，寫出對(duì)稱中心的坐標(biāo)；對(duì)于線心型曲線，寫出對(duì)稱直線的方程。解：記，容易驗(yàn)證，因此直角坐標(biāo)變換是一個(gè)正交變換在這個(gè)變換下，曲線方程變?yōu)?) 時(shí)，曲線為雙曲線，是中心型曲線，對(duì)稱點(diǎn)為2)

2、 時(shí)，曲線方程為，是一對(duì)平行直線，是線心型曲線，對(duì)稱直線為，即3) 時(shí)，曲線為橢圓，是中心型曲線，對(duì)稱點(diǎn)為4) 時(shí)，曲線方程為，是一個(gè)點(diǎn)，是中心型曲線，對(duì)稱點(diǎn)為5) 時(shí)，曲線為虛橢圓，是中心型曲線，對(duì)稱點(diǎn)為6) 時(shí)，曲線方程為，是一對(duì)虛平行直線，是線心型曲線，對(duì)稱直線為，即7) 時(shí)，曲線為雙曲線，是中心型曲線，對(duì)稱點(diǎn)為3 設(shè)數(shù)域上的級(jí)矩陣的元為（1）.求;(2).當(dāng)時(shí)，.求齊次線性方程組的解空間的維數(shù)和一個(gè)基。解：(1)若，若，若，(2)若，則，方程組只有零解，其解空間維數(shù)為0若，則由(1)知道的任意一個(gè)3級(jí)子式的行列式為0，而的一個(gè)2級(jí)子式的行列式為，從而于是方程組解空間的維數(shù)是，取向量組，

3、其中，可知，其中是階單位矩陣，是一個(gè)的矩陣，從而并且對(duì)任意的，有 因此都屬于方程組解空間，從而是方程組解空間的一組基4（1）設(shè)數(shù)域上級(jí)矩陣，對(duì)任意正整數(shù)，求C是什么？ （2）用表示數(shù)域上所有級(jí)矩陣組成的集合，它對(duì)于矩陣的加法和數(shù)量乘法成為上的線性空間。數(shù)域上級(jí)矩陣稱為循環(huán)矩陣。用表示上所有級(jí)循環(huán)矩陣組成的集合。證明：是的一個(gè)子空間，并求的一個(gè)基和維數(shù)。證：對(duì)任意的，以及，有因此對(duì)任意的，和，有因此可知是的一個(gè)子空間。記 ，其中，對(duì)任意的，有，即所有向量都能用向量組線性表出設(shè)一組數(shù)，滿足，亦即可得，向量組線性無(wú)關(guān)綜上向量組是的一組基5（1）設(shè)實(shí)數(shù)域上級(jí)矩陣的元為（）。在實(shí)數(shù)域上維線性空間中，對(duì)于，令。試問：是不是上的一個(gè)內(nèi)積，寫出理由。 （2）設(shè)是級(jí)正定矩陣（），且是非零列向量。令，求的最大特征值以及的屬于這個(gè)特征值的特征子空間的維數(shù)和一個(gè)基解：(1) 是上的一個(gè)內(nèi)積，證明如下：容易驗(yàn)證是上的一個(gè)雙線性函數(shù)對(duì)中任意的非零向量，令，是上的一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，有可得若，由于在上連續(xù)，則必有，則，即，與是中非零向量矛盾。所以，所以是上的一個(gè)內(nèi)積(2) 由于正定，可得，由 知方程組解空間的維數(shù)為，同時(shí)也是的屬于0特征值的特征子空間由，和，知是的特征值，是B的屬于特征值的特征向量設(shè)的屬于這個(gè)特征值的特征子空間為，由，所以即，而，的一組基為，因此沒有其他特征值，是的唯