概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)考研輔導(dǎo)（課堂PPT）

1、返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)理學(xué)院應(yīng)用 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系 生活中最重要的問題，其中絕大多數(shù)在實(shí)質(zhì)上只是生活中最重要的問題，其中絕大多數(shù)在實(shí)質(zhì)上只是概率的問題概率的問題 -拉普拉斯拉普拉斯我又轉(zhuǎn)念，見日光之下，快跑的人未必能贏，力戰(zhàn)我又轉(zhuǎn)念，見日光之下，快跑的人未必能贏，力戰(zhàn)的未必得勝的未必得勝,智慧的未必得糧食，明哲的未必得資財(cái)，智慧的未必得糧食，明哲的未必得資財(cái)，靈巧的未必得喜悅，所臨到眾人的，是在乎當(dāng)時(shí)的機(jī)會(huì)靈巧的未必得喜悅，所臨到眾人的，是在乎當(dāng)時(shí)的機(jī)會(huì). . 退出退出下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)第四章第四章 大數(shù)定律和中心極限定理大數(shù)定律和中心極限定理第三章第

2、三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征第五章第五章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布第一章第一章 隨機(jī)事件和概率隨機(jī)事件和概率返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)一、主要內(nèi)容及要求一、主要內(nèi)容及要求 1）熟練掌握事件的關(guān)系與運(yùn)算法則：包含、）熟練掌握事件的關(guān)系與運(yùn)算法則：包含、交、并、差、互不相容、對(duì)立等關(guān)系和德摩根定交、并、差、互不相容、對(duì)立等關(guān)系和德摩根定律律.會(huì)用事件的關(guān)系表示隨機(jī)事件會(huì)用事件的關(guān)系表示隨機(jī)事件.,BA ,BABA ,ABBA BA ,BAABA , BA AAAA ,第一章第一章 隨機(jī)事件和概率隨機(jī)事件和概率.;BA

3、BA返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè) 2) 掌握概率的定義及性質(zhì)，會(huì)求常用的古典掌握概率的定義及性質(zhì)，會(huì)求常用的古典概型中的概型中的 概率；概率； )()()(2121APAPAAP則則是是兩兩兩兩互互不不相相容容事事件件若若,)1(21AA)()()()2(APBPABPBA )(1)()3(APAP )()()()()4(ABPBPAPBAP )()()()5(ABPBPABP 第一章第一章 隨機(jī)事件和概率隨機(jī)事件和概率返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè) 3)熟練運(yùn)用條件概率的定義，乘法公式，全熟練運(yùn)用條件概率的定義，乘法公式，全概公式，事件的獨(dú)立性及性質(zhì)求概率。概公式，事件的獨(dú)立性及性質(zhì)求概率。 ;) 1

4、 (BPABPBAP ;)2(ABPAPABP nkkkABPAPBP1;)3( )|()4(BkAP)()(BPBkAP,1)|()()|()( njjABPjAPkABPkAP .)5(BPAPABP 第一章第一章 隨機(jī)事件和概率隨機(jī)事件和概率返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)二、重要公式與結(jié)論二、重要公式與結(jié)論1.1.BAABA 或或BAABB ).()()()()()()(ABPAPBAPBAPBAPABPAP 2.2. A與與B相互獨(dú)立相互獨(dú)立)()()(BPAPABP )()|(BPABP ).|()|(ABPABP 第一章第一章 隨機(jī)事件和概率隨機(jī)事件和概率返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)3.3.

5、BABABABA與與與與與與與與,中有一組相互獨(dú)中有一組相互獨(dú)立立, 則其余三組也相互獨(dú)立則其余三組也相互獨(dú)立.一般地一般地,若若),(),(2121nmBBBAAA與與相互相互獨(dú)立獨(dú)立, 則則),(),(2121nmBBBgAAAf與與也相互獨(dú)立也相互獨(dú)立.其中其中f,g表示加、減、乘、取對(duì)立事件運(yùn)算表示加、減、乘、取對(duì)立事件運(yùn)算.第一章第一章 隨機(jī)事件和概率隨機(jī)事件和概率返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)三、典型例題分析與解答三、典型例題分析與解答設(shè)設(shè)A、B是兩個(gè)隨機(jī)事件是兩個(gè)隨機(jī)事件,. 1)|()|(, 2 . 0)(, 4 . 0)( ABPABPABPAP則則 )(BAP分析分析: :).(

6、)()()(BAPBPAPBAP 由由1)|()|( ABPABP)|()|(1)|(ABPABPABP )()()(BPAPABP A與與B相互獨(dú)立相互獨(dú)立第一章第一章 隨機(jī)事件和概率隨機(jī)事件和概率返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè). 5 . 04 . 02 . 0)()()( APABPBP. 7 . 0)5 . 01(4 . 0)5 . 01(4 . 0)()()(1)()()()()( BPAPBPAPBAPBPAPBAP設(shè)設(shè)A、B的概率均大于零的概率均大于零,且且),()()(BPAPBAP 則則(1) A與與B互不相容互不相容;(2) A與與B互相對(duì)立互相對(duì)立;(3) A與與B相互獨(dú)立相互獨(dú)

7、立;(4) A與與B互不獨(dú)立互不獨(dú)立.第一章第一章 隨機(jī)事件和概率隨機(jī)事件和概率返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)由由)()()()(ABPBPAPBAP )()()(BPAPBAP 0)( ABP. ABBA互互不不相相容容、設(shè)設(shè),0,0),1 , 0( xBxANX則則.0, 0)0()( xABxPABP但但).4()()(0)(選選由由 BPAPABP設(shè)設(shè)A、B、C為三個(gè)隨機(jī)事件為三個(gè)隨機(jī)事件,其中其中P(B)0,0P(C)0=分析分析: :?),(00 yxdxdyyxfYXP解解: :0 YXP).2(3113231)2()2()1()1(2, 21, 12, 01, 0212010 eed

8、yedyeYPXPYPXPYXPYXPXYXPXYXPyy第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)注注: :.),()(,),(),(),(zYXgPzZPzFyxfYXYXgZ 分布函數(shù)分布函數(shù)的分布的分布服從密度為服從密度為先求出先求出Z=g(X,Y)的值域的值域c,d,則則.),()(,)3(; 1)(,)2(; 0)(,)1(),( zyxgdxdyyxfzFdzczFdzzFcz有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).)()(dzzdFzf 密度函數(shù)密度函數(shù)第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)例例6 6 設(shè)設(shè)(X,Y)在區(qū)

9、域在區(qū)域20 , 20| ),( yxyxD上服從均勻分布上服從均勻分布,求求Z=(X+Y)2的概率密度的概率密度.分析分析: : Z=(X+Y)2的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)?0,16.(將將(0,0),(0,2),(2,0),(2,2)代入確定代入確定).解解: : (X,Y)的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為: ., 0,),(,41),(其它其它Dyxyxfxyo22zyx zyx D:),)()()(2有有記記zYXPzZPzF ; 1)(,16)2(; 0)(, 0)1( zFzzFz則則若若則則若若第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè) zyxdxdyyxfzF

10、z2)(),()(, 40)3(則則若若;8)(21414141200zzdxdydxdyzyxzyx zyxdxdyzFz041)(,164)4(則則若若.)4(811)4(21241222zz 第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)故分布函數(shù)為故分布函數(shù)為: .16, 1,164,)4(811, 40,8, 0, 0)(2zzzzzzzF從而概率密度函數(shù)為從而概率密度函數(shù)為: ., 0,164,8121, 40,81)()(其其它它zzzdzzdFzf第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)例例7 7設(shè)設(shè)X在滿足在滿足P(X=0

11、)=1,Y為任一隨機(jī)變量為任一隨機(jī)變量,則則X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立.分析分析: :X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立)()(),(yFxFyxFYX ).()(),()()(),(yfxfyxfyYPxXPyYxXPYXjiji 連連續(xù)續(xù)型型離離散散型型則則記記,yYBxXAyx ).()(),()()(),()()(),(yxyxYXBPAPBAPyYPxXPyYxXPyFxFyxF 第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)證證: :則則記記,yYBxXAyx . 0, 1, 0, 0)()()(xxAPxXPxFxX);()(0),(0)(),(),(),(0, 1)

12、(, 0)()(, 01yFxFyxFAPBAPyYxXPyxFAPAPxFxYXxyxxxX 則則若若).()()()()()(),(),(, 0)(1)()(, 02yFxFyFBPABPBPBAPyxFAPAPxFxYXYyxyyyxxxX 則則若若第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)總之總之,對(duì)于任意對(duì)于任意x、y恒有恒有:),()(),(yFxFyxFYX 即即X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立.注注: :討論隨機(jī)變量討論隨機(jī)變量X與與Y的相互獨(dú)立性通常轉(zhuǎn)化的相互獨(dú)立性通常轉(zhuǎn)化分布函數(shù)來討論分布函數(shù)來討論:).()(),(yFxFyxFYX 例例8 8 設(shè)二維

13、隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)N(0,0,1,1,0), 則則 )0(YXP解解: : 由二維正態(tài)分布的性質(zhì)可知由二維正態(tài)分布的性質(zhì)可知:XN(0,1), YN(0,1), 且且X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立.故故:.2121212121)0()0()0()0()0, 0()0, 0()0( YPXPYPXPYXPYXPYXP第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)EXERCISES返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)一、主要內(nèi)容及要求一

14、、主要內(nèi)容及要求1)熟練掌握期望定義和性質(zhì)熟練掌握期望定義和性質(zhì). 1ikkpxEX dxxxfEX)( niniiiiiEXaXaE11)(第三章第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征不相關(guān)與YXEXEYEXY返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)2)會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.設(shè)設(shè) Y =g( X ), g( x ) 是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù), dxxfxgEY)()( 1)(kkkxgpEY則則),(YXgZ 若若 1,),(jiijjipyxgEZ則則 dxdyyxfyxgEZ),(),(第三章第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)3)熟練掌

15、握方差的定義和性質(zhì)熟練掌握方差的定義和性質(zhì).2)(EXXEDX 22EXEX DXccXD2)( ),(2)(2)(2222YXabCOVDYbDXaEYYEXXabEDYbDXabYaXD 不不相相關(guān)關(guān)，若若YX,.)(22DYbDXabYaXD 則則 4)熟記兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、均熟記兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布的期望值和方差值勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布的期望值和方差值.第三章第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè) 5)掌握協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的定義掌握協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的定義,不相關(guān)的定不相關(guān)的定義及獨(dú)立與不相關(guān)的關(guān)系義及獨(dú)

16、立與不相關(guān)的關(guān)系.COV( X, Y ) = E( X EX )( Y-EY ) = E XY EX EYDYDXYXCOVXY),( 稱稱 X,Y 不相關(guān)不相關(guān)。，若若0 XY 若若X，Y 獨(dú)立，則獨(dú)立，則 X , Y 不相關(guān)。不相關(guān)。(反之，不然）反之，不然）第三章第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)二、重要公式與結(jié)論二、重要公式與結(jié)論1.1.22)()(EXEXXD 或或.)()(22EXXDEX 2.2.)()()(),cov(EYEXXYEYX 或或).()(),cov()(EYEXYXXYE 3.3.:),(YXgZ 隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)則則

17、的概率密度為的概率密度為若若),(),(1yxfYX .),(),(),( dxdyyxfyxgYXEg特別地特別地,若若(X,Y)的概率密度的概率密度f(x,y)僅在僅在D上非零上非零,則則:.),(),(),( DdxdyyxfyxgYXEg第三章第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)則則的概率密度為的概率密度為若若),(),(2zfYXgZ .)(),()( dzzzfYXEgZE則則概率密度為概率密度為的的若若),(),(),(),(311ufYXgUYXghYXgZ .)()()()( duufuhUEhZE第三章第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字

18、特征返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)三、典型例題分析與解答三、典型例題分析與解答 設(shè)某一機(jī)器加工一種產(chǎn)品的次品率為設(shè)某一機(jī)器加工一種產(chǎn)品的次品率為0.1,檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)4次次,每次隨機(jī)抽取每次隨機(jī)抽取5件產(chǎn)品進(jìn)行檢件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)驗(yàn),若發(fā)現(xiàn)次品多于若發(fā)現(xiàn)次品多于1件件,就要調(diào)整機(jī)器就要調(diào)整機(jī)器,求一天中調(diào)求一天中調(diào)整機(jī)器次數(shù)整機(jī)器次數(shù)Y的概率分布及的概率分布及Y2的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望EY2.令令A(yù)=“機(jī)器需要調(diào)整機(jī)器需要調(diào)整”,若若p=P(A),則則)., 4(pBY設(shè)設(shè)X=“取出的取出的5件產(chǎn)品中的次品數(shù)件產(chǎn)品中的次品數(shù)”,則則).1 . 0 , 5( BX第三章第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特

19、征隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)于是于是,)1(1)1()( XPXPAPp.082. 0)1()0(1 XPXP即即 YB(4,0.082), 其分布率為其分布率為:. 4 , 3 , 2 , 1 , 0,)082. 01(082. 0)(44 kCkYPkkk ).082. 01(082. 04)1(;082. 04pnpDYnpEY.4087. 0)(22 EYDYEY第三章第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)設(shè)設(shè)A、B相互獨(dú)立相互獨(dú)立,且且P(A)=P(B)=0.5.定義定義:., 1, 1;., 1, 1 不發(fā)生不發(fā)生發(fā)生發(fā)生不發(fā)生不發(fā)生發(fā)

20、生發(fā)生BBYAAX試求試求:).()3();()2(;),()1(的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)與與的聯(lián)合分布率的聯(lián)合分布率YXYXDYXXY 由題設(shè)易知由題設(shè)易知:.21)()()()( BPAPBPAP又又A、B相互獨(dú)立相互獨(dú)立,都都與與與與與與所所以以BABABA,相互獨(dú)立相互獨(dú)立.第三章第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)從而易求得從而易求得:. 1 , 1,.412121)()(),( jijYPiXPjYiXP故故(X,Y)的聯(lián)合分布率為的聯(lián)合分布率為:.414114141111 YX第三章第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)(

21、2) 由由(1)易求得易求得X+Y的概率分布為的概率分布為:.412141202,412)1 , 1(410)1, 1(410)1 , 1(412)1, 1(),(pYXpYXYX 即即. 0412210412)( YXE第三章第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè). 241221041)2()(2222 YXE. 202)()()(22 YXEYXEYXD故故(3) 由題設(shè)易知由題設(shè)易知X,Y的概率分布分別為的概率分布分別為:212111212111pYpX 與與. 0 EYEX又由又由(1)易求得易求得XY的概率分布為的概率分布為:第三章第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字

22、特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè).212111,411)1 , 1(411)1, 1(411)1 , 1(411)1, 1(),(pXYpXYYX 即即, 0)(),cov(0)( EYEXXYEYXXYE. 0)()(),cov( YDXDYXXY 故故第三章第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)設(shè)設(shè)(X,Y)在以點(diǎn)在以點(diǎn)(0,1),(1,0),(1,1)為頂點(diǎn)的三為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域角形區(qū)域G上服從均勻分布上服從均勻分布,U=X+Y,求求D(U). 這是一個(gè)求二維隨機(jī)變量這是一個(gè)求二維隨機(jī)變量(或叫兩個(gè)隨或叫兩個(gè)隨機(jī)變量機(jī)變量)的函數(shù)的函數(shù)U=X+

23、Y的方差問題的方差問題, 因?yàn)橐阎?lián)合因?yàn)橐阎?lián)合密度密度,故最簡(jiǎn)單的做法是直接用函數(shù)期望公式計(jì)算故最簡(jiǎn)單的做法是直接用函數(shù)期望公式計(jì)算. 為了比較還另給出了兩種解法為了比較還另給出了兩種解法.三角形區(qū)域三角形區(qū)域:Gxy)1 , 0()0 , 1()1 , 1(o.1, 10 , 10| ),( yxyxyxG于是于是(X,Y)的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為: ., 0,),(, 2),(其其它它Gyxyxf第三章第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)22)()()(YXEYXEYXD .181)34(611)(2()(2()(2)(22210111011222 dx

24、dyyxdxdyyxdxdyyxdxdyyxxxGG三角形區(qū)域三角形區(qū)域:Gxy)1 , 0()0 , 1()1 , 1(o.1, 10 , 10| ),( yxyxyxG于是于是(X,Y)的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為: .),(, 0,),(, 2),(GyxGyxyxf第三章第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)以以f1(x)表示表示X的概率密度的概率密度,則則 . 10,22, 10, 0),()(111xxdyxxdyyxfxfx或或.181)(212322221032102 EXEXDXdxxEXdxxEX同理可得同理可得:.181;32 DYEY第三章第三

25、章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)現(xiàn)在求現(xiàn)在求X和和Y的協(xié)方差的協(xié)方差:;12522)(1110 xGydyxdxxydxdyXYE.36194125)(),cov( EYEXXYEYX于是于是,.181362181181),cov(2)( YXDYDXYXDDU第三章第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)解法三解法三: : 三角形區(qū)域三角形區(qū)域:Gxy)1 , 0()0 , 1()1 , 1(o.1, 10 , 10| ),( yxyxyxG于是于是(X,Y)的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為: ., 0,),(, 2),(其其它它Gyxyx

26、f以以f(u)表示表示U=X+Y的概率密度的概率密度,則則:當(dāng)當(dāng)u2時(shí)時(shí),顯然有顯然有 f(u)=0;當(dāng)當(dāng)1u2時(shí)時(shí),有有: ., 0, 1010, 2),(其它其它且且xuxxuxf第三章第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)由隨機(jī)變量之和的概率密度公式有由隨機(jī)變量之和的概率密度公式有:).2(22),()(11udxdxxuxfufu 故隨機(jī)變量故隨機(jī)變量U的概率密度為的概率密度為: . 21, 0, 21),2(2)(uuuuuf或或;611)2(2)()(;34)2(2)()(21222221 duuuduufuEUYXEduuuduuufEUYXE.18

27、1916611)(22 EUEUDU第三章第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)設(shè)設(shè)(X,Y)在在10 , 10| ),( yxyxD上服從均勻分布上服從均勻分布,Z=(Y-X)2,求求E(Z)和和D(Z).解法一解法一: : 正方形區(qū)域正方形區(qū)域:Dxy)1 , 0()0 , 1()1 , 1(o.10 , 10| ),( yxyxD于是于是(X,Y)的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為: .),(, 0,),(, 1),(DyxDyxyxf;61)(),()()(1010222 dyxydxdxdyyxfxyXYEEZD第三章第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征返

28、回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè);152)()()(10104442 dyxydxdxdyxyXYEEZD.451361152)(22 EZEZDZ解法二解法二: : 正方形區(qū)域正方形區(qū)域:Dxy)1 , 0()0 , 1()1 , 1(o.10 , 10| ),( yxyxD于是于是(X,Y)的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為: .),(, 0,),(, 1),(DyxDyxyxf第三章第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)因此因此X、Y相互獨(dú)立且都服從相互獨(dú)立且都服從0,1上均勻分布上均勻分布.613121212312)2()(22222 EXEYEXEYXXYYEXYEEZ;1

29、52)()()(10104442 dyxydxdxdyxyXYEEZD.451361152)(22 EZEZDZ第三章第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)解法三解法三: : 正方形區(qū)域正方形區(qū)域:Dxy)1 , 0()0 , 1()1 , 1(o.10 , 10| ),( yxyxD于是于是(X,Y)的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為: .),(, 0,),(, 1),(DyxDyxyxf因此因此X、Y相互獨(dú)立且都服從相互獨(dú)立且都服從0,1上均勻分布上均勻分布.:)(2的概率密度為的概率密度為XYZ )(zf.61)( dzzzfEZ第三章第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變

30、量的數(shù)字特征返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)設(shè)設(shè)).81, 4 , 1 , 2 , 1(),( NYX和和求求|2|YXE . |2|YXD ).(|2|2?),(|2|2|1zfYXZdxdyyxfyxYXE . |2|,211ZYXZYXZ 則則令令由題設(shè)由題設(shè),.81),4 , 2(),1 , 1( XYNYNX , 0222)2( EYEXYXE. 9444),cov(44)2( DYDXYXDYDXYXDXY 第三章第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)).1 , 0(32)9 , 0()2(NYXUNYX 于是于是,.260)(262621|3|3|3|2|2022222 uuueduuedueuUEUEYXE.18918)2()2(|)2|(|2|2|222 YXEYXDYXEYXEYXD第三章第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè) 某流水作業(yè)線上生產(chǎn)的每個(gè)產(chǎn)品為不合某流水作業(yè)線上生產(chǎn)的每個(gè)產(chǎn)品為不合格的概率是格的概率是p,當(dāng)生產(chǎn)出當(dāng)生產(chǎn)出k個(gè)不合格品時(shí)個(gè)不合格品時(shí), 即停工檢即停工檢修一次修一次,試求在兩次檢修之間所生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)的試求在兩次檢修之間所生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差數(shù)學(xué)期望和方差. 設(shè)設(shè)X表示兩次檢修之間所生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)