非線性半正分?jǐn)?shù)階微分方程多重正解的存在性

1、第10卷 第35期 2010年12月1671 1815(2010)35 8653 05科 學(xué) 技 術(shù) 與 工 程ScienceTechnologyandEngineering10 No 35 Dec 2010 Vol2010 Sci Tech Engng非線性半正分?jǐn)?shù)階微分方程多重正解的存在性許曉婕(中國(guó)石油大學(xué)(華東),數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,青島266555)摘 要 應(yīng)用Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理研究了分?jǐn)?shù)階微分方程的多重正解的存在性。D u(t)=p(t)f(t,u(t)-q(t),0<t<1,0+u(0)=u(1)=u (0)=u (1)=0。其中3< !4是任

2、意實(shí)數(shù),D emann Liouville型分?jǐn)?shù)階微分。0+是標(biāo)準(zhǔn)的Ri關(guān)鍵詞正解 分?jǐn)?shù)階微分方程 半正邊值問題 錐不動(dòng)點(diǎn)定理中圖法分類號(hào) O175.8; 文獻(xiàn)標(biāo)志碼A最近,分?jǐn)?shù)階微分方程受到廣泛的關(guān)注。這不僅是分?jǐn)?shù)階微分方程的理論發(fā)展的需要,也是分?jǐn)?shù)階微分方程應(yīng)用的需要。除了數(shù)學(xué)的多個(gè)領(lǐng)域,分?jǐn)?shù)階微分方程還在流體力學(xué),流變學(xué),黏彈性力學(xué),分?jǐn)?shù)控制系統(tǒng)與分?jǐn)?shù)控制器,各種電子回路,電分析化學(xué),生物系統(tǒng)的電傳導(dǎo),神經(jīng)的分?jǐn)?shù)模型以及回歸模型,特別是與分形維數(shù)有關(guān)的物理與工程方面有廣泛的應(yīng)用D0+1 5tIh(t)=(t-s) -1h(s)ds,其中右邊是在(0,)上逐點(diǎn)定義的。定義1.26函數(shù)y:(

3、0,)#R的 >0階ntRiemann Liouville微分是指D0+y(t)=1dd。,y(s)ds(t-s)給出其中n=+1,引理1.1(1)7代表 的整數(shù)部分,右邊本文考慮分?jǐn)?shù)階微分方程u(t)=p(t)f(t,u(t)-q(t),0<t<1,u(0)=u(1)=u (0)=u (1)=0是在(0,)上是逐點(diǎn)定義的。給定h%C(0,1),3< !4,方程D0+u(t)=h(t),0<t<1,u(0)=u(1)=u (0)=u (1)=0,式(1)中3< !4是任意實(shí)數(shù),D0+是標(biāo)準(zhǔn)的Rie mann Liouville型分?jǐn)?shù)階微分。的唯一解是u

4、(t)=1 預(yù)備知識(shí)我們先介紹一些分?jǐn)?shù)階微積分定義和理論。這些定義可以在最近的文獻(xiàn)6,7中找到。定義1.16G(t,s)h(s)ds。-2 -其中(t-s)-1+(1-s)t(s-t)+( -2)(1- 函數(shù)h:(0,)#R的 >0階G(t,s) 0!s!t!1; -2 -2Riemann Liouville積分是指,( )0!t!s!1。引理1.22010年9月27日收到,10月13日修改7由上式定義的函數(shù)G(t,s)滿足下8654科 學(xué) 技 術(shù) 與 工 程10卷(1)G(t,s)=G(1-s,1-t),其中t,s%(0,1);(2)( -2)t-2方程D0+u(t)=p(t)g(t,

5、u(t)-#(t),t%(0,1)u(0)=u(1)=u (0)=u (1)=0式(2)中#(t)定義見引理2.1。f(t,u),u)0,f(t,0),u<0。(1-t)s(1-s)-222 -2! ( )&G(t,s)!M0s(1-s),其中t,s%(0,1);-2 -2(2)(3)G(t,s)>0,其中t,s%(0,1);(4)( -2)s(1-s) ( )G(t,s)!M0t引理1.38-2t(1-t)!(1-t),g(t,u)=則我們有下面的結(jié)論其中t,s%(0,1),M0=max -1,( -2)。X是Banach空間,P%X是X的錐。假設(shè) 1, 2是X的開子集,

6、0% 1 ! 1 2,令S:P#P是全連續(xù)算子,使得(i)S!,!%P( 1,S!)!,!%P( 2,或者(ii)S!)!,!%P( 1,S!,!%P( 2,那么S在P( !2 1)中有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。引理2.2 如果當(dāng)t%0,1時(shí)均有u(t)#(t),則當(dāng)u(t)是方程(2)的正解時(shí),u(t)-#(t)就是方程(1)的正解。證明 事實(shí)上,令x(t)=u(t)-#(t),則x(t)0,且u(t)=x(t)+#(t)帶入方程(2)得D0+x(t)+#(t)=p(t)g(t,x(t),t%(0,1)(x+#)(0)=(x+#)(1)=(x+#) (0)=(x+#) (1)=0。由#定義可得D0+x(t

7、)=p(t)f(t,x(t)-q(t),t%(0,1)x(0)=x(1)=x (0)=x (1)=0。證畢。因此我們首先尋找方程(2)的正解。顯然方程(2)等價(jià)于下面的積分方程u(t)=2 主要結(jié)果給出如下的幾個(gè)假設(shè)(H1)f:0,1&0,)#0,)是連續(xù)的,p,q#0,這里p#0表示當(dāng)t%0,1時(shí),p)0,且在一個(gè)正測(cè)集上是恒正的。(H2)存在%0,使得-2G(t,s)p(s)g(s,u(s)-#(s)ds。11-令E=C0,1,則E是Banach空間,范數(shù)為ds>0。x=0max|x(t)|。!t!1定義( -2)t(1-t)K=x%E,x(t)x,t%0,1。M0顯然K是E

8、=C0,1中一個(gè)錐。再令T:K#E如下(Tx)(t):=-2p(s)s(1-s)引理2.1 假設(shè)#(t)是方程D0+u(t)=q(t),0<t<1,u(0)=u(1)=u (0)=u (1)=0,的唯一解,則0!#(t)!Ct-2M0 -22|q|1t(1-t):=G(t,s)p(s)g(s,x(x)-#(s)ds。1顯然方程(2)有解等價(jià)于Tx=x有不動(dòng)點(diǎn)。很容易可以得到下面的兩個(gè)引理。引理2.3 假設(shè)(H1)成立,則T(K) K。引理2.4 T:K#K是全連續(xù)的。為了證明方便,我們給出下面幾個(gè)記號(hào)N=(1-t)。其中q1=|q(t)|dt,1q%L0,1,C=1M0q1。(M0

9、( -2)q12 -2maxs(1-s),0!s!135期許曉婕:非線性半正分?jǐn)?shù)階微分方程多重正解的存在性86552M0N=1-s(1-s)2 -2p(s)ds,。由(A2),式(3)和引理1.2,對(duì)任意的x% 2,t%,1-有Tx)=min!t!1-2M0面的幾個(gè)條件成立2 -2定理2.1 假設(shè)(H1),(H2)成立,另外假設(shè)下M0C(A1)存在常數(shù)R1>使得Nf(t,u)!R1,( -2)s(1-s)t)02121G(t,s)p(s)g(s,x(s)-#(s)ds)t-2-2(1-p(s)f(s,x(s)-( -2)R22s(1- ( #(s)ds>ts)-2-2(1-t)21

10、-(t,u)%0,1&0,R1;(A2)存在常數(shù)R2>2R1使得Nf(t,u)>R2,(t,u)%0,1&R2,R2;(A3)u#limmax=0。+0!t!1u則方程(1)至少有兩個(gè)正解。證明 我們首先證明式(2)至少有兩個(gè)正解x1,x2滿足R1!x1<R2<x2!R3。令 1=x%K|x|<R1.則對(duì)任意的x% 1,t%0,1,由引理2.1有x(t)-#(t)!x(t)!|x|=R1,( -2)t(1-t) -22x(t)-#(t)R1-Ct(1-t)M0( -2)R1 -22。-Ct(1-t)0M0由(A1)和引理1.2可得Tx=0max(T

11、x)(t)=0maxG(t,s)p(s)g(s,!t!1!t!101-22p(s)ds)2M01-R22 -2s(1-s)& ( )Np(s)ds=R2。因此Tx>x,x%K( 2。接下來取%>0足夠小,滿足maxt(1-t)0!t!12-2%M0( -2)&p1!1。則對(duì)于上述的%,由(A3)知,存在N>R2>0,使得對(duì)任意的t%0,1,u)N,有f(t,u)!%u。令R3=M0( -2)maxs(1-s)0!s!12-2p1(t,u)%max,Nf(t,u)0,1&0( ( )-%M0( -2)maxs(1-s)0!s!11p1)+N,則R3

12、>N>R2。Tx=0max(Tx)(t)=0maxG(t,s)p(s)g(s,!t!1!t!101x(s)-#(s)ds!M0( -2)s(1-s)2-2&x(s)-#(s)ds!s)-2Ms(1-20 -21p(s)(t,u)%maxf(s,u)ds+0,1&0,NM012 -2s(1-s)p(s)%(x(s)- ( )p(s)f(s,x(s)-#(s)ds!( -2)R1#(s)ds!R3。這說明Tx!x,x%K( 3。因此由引理1.3,方程(2)至少存在兩個(gè)正解x1,x2滿足R1!x1<R2<x2!R3。又由R2>R1>CM0,有 -2

13、( -2)t(1-t) -22x1(t)-#(t)R1-Ct(1-t)M0( -2)R1 -22,-Ct(1-t)0M0-22x2(t)-#(t)R2-Ct(1-t)-22-22M0( )N1s(1-s)2p(s)ds!R1。因此Tx!x,x%K( 1。另一方面,令 2=x%K|x<R2。則對(duì)任意的x% 2,t%0,1,注意到R2>2R1,我們有 -2x(t)-#(t)R2-Ct&M0(1-t)-22-22R2(3)2M0-22所以由式(3),對(duì)任意的x% 2,t%,1-,R2!R2!x(t)-#(t)!R2。22(1-t)0。8656科 學(xué) 技 術(shù) 與 工 程210卷所以

14、x1,x2也是式(1)的解,證畢。類似的,我們不加證明的給出下面的結(jié)論。定理2.2 假設(shè)(H1),(H2)成立,另外假設(shè)下面的幾個(gè)條件成立2M0C(A4)存在常數(shù)R1>使得Nf(t,u)R1,(t,u)%0,1&R2,R2;R1(A5)存在常數(shù)R2>mR1,使得Nf(t,N.0007-2(u-7)+10100)7.003>Nf(u)=0R1,(t,u)%&0.084,7,442Nf(u)=0.069-2(u-7)+10100!690<R2,(t,u)%0,1&0,7,Nf(u)=0.069-10(u-7)+10100!690<R2,(t,u

15、)%0,1&7,700。f(u)(u-700)+3170并且,u#lim=lim=+。+u#+uu顯然f:0,1&0,)#0,)是連續(xù)的。由定理2.2知式(4)至少存在兩個(gè)解u1,u2。參 考 文 獻(xiàn)1 AnatolyKA,HariSH,JuanTJ.Theoryandapplicationsoffractionaldifferentialequations.North HollandMathematicsstudies,2u)<R2,(t,u)%0,1&0,R2;(A6)limmin=+。u#+!t!1-u則方程(1)至少有兩個(gè)正解。例2.1 考慮如下的分?jǐn)?shù)階微

16、分方程D0+u(t)=f(u)-3.5,0<t<1;t(4)204,Amsterdam;ElsevierScienceB.V.,2006don;AcademicPree,1974u(0)=u(1)=u (0)=u (1)=0。式(4)中-2(u-7)+10100,f(u)=-10(u-7)+10100,(u-700)+3170,我們有C=N=2&令= N=220!u!7,7!u!700,u)700。3 RossB(ED.).Thefractionalcalculusanditsapplications.LectureNotesinMathematics475,Berlin,

17、Springer Verlag,19754 NonnenmacherTF,MetzlerR.OntheRiemann Liouvilefractionalcalculusandsomerecentapplications.Fractals,1995;3:557 5665 TatomFB.Therelationshipbetweenfractionalcalculusandfractals.Fractals,1995;3:217 2296 BaiZ,LuH.Positivesolutionsforboundaryvalueproblemofnonlinearfractionaldifferent

18、ialequation,495 5057 XuX,JiangD,YuanC.Multiplepositivesolutionsforboundaryvalueproblemofnonlinearfractionaldifferentialequation.NonlinearAnalysisSeriesA:Theory,MethodsandApplications,NonlinearAnalysis,2009;71:4676 4688hof,fGroningen,1964JMathAnalApp,l2005;311:&21.5,-12 -2maxs(1-s)0.069, ( )s%0,1

19、-221( -2)t(1-t)則=1min30.012,42M!t!02M02 -2s(1-s)ds0.0007。2CM0取R1=7,R2=700,則R1>=5,R2>mR1,此有NR1=max7,690=690,因N(下轉(zhuǎn)第8662頁(yè))8662l+1(2l+1)nl科 學(xué) 技 術(shù) 與 工 程10卷lminBf(x)-f(x)=2(l+1)!l+12l+2。參 考 文 獻(xiàn)1 StancuDD.Approximationoffunctionsbyanewclassoflineapoly5 例子1(0)(1)取f(x)=(0!x!1),繪制B3f=B3f=x+1B3f,B3f,B3f=

20、L3f圖像如圖1。從中可看出:BB3f、B(3)3(2)3(2)(3)nomialoperators.RerRoumaineMathPuresApp,l1968;13:1173119430(1):88 91f的逼近效果較B(2)n(0)3f=B(1)3f=4 SablonniereP.AfamilyofBernsteinquasi interpolateson0,1.ApproxTheory&itsApp,l1992;8(3):62 765 蔡華輝,王國(guó)瑾.對(duì)數(shù)螺線段的多項(xiàng)式逼近與C B zier逼近.2009;43(6):999 1004(自然科學(xué)版),2007;33(5):1018 1022f=L3f好,這是因?yàn)锽f兼顧了B3f、L3f二者的優(yōu)點(diǎn)。TheApproximationPropertiesaboutaFamilyofOperatorsBnFANChuan qiang(k)Abstract AfamilyofoperatorsBnwithgraphsistaken.(k)isstudied,andgiventheirexpressionswhenn=3.Thensom