隨機變量及其分布(二)

1、2.1 隨機變量及其分布（二）連續(xù)隨機變量的概率密度函數(shù)(Probability Density of Continuous Random Variable)連續(xù)隨機變量的一切可能取值充滿某個區(qū)間，在這個區(qū)間內(nèi)有無窮不可列個實數(shù)，因此，描述連續(xù)隨機變量的概率分布不能再用分布列的形式表示，而是改用概率密度函數(shù)表示。定義 設隨機變量的分布函數(shù)為，如果存在實數(shù)軸上的一個非負可積函數(shù)，使得對任意，有則稱為連續(xù)隨機變量，為連續(xù)分布，為的概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)。2.1.4.1密度函數(shù)的基本性質(zhì)（1）非負性：。（2）正則性：。以上兩條是判定一個函數(shù)是否為某個隨機變量的密度函數(shù)的充要條件。2.1.4.2（

2、絕對）連續(xù)分布函數(shù)的基本性質(zhì)（1）在整個實數(shù)域上都連續(xù)。因為對任意點的增量，相應的分布函數(shù)的增量有 （2）在的導數(shù)存在的點上，有 （至多有一個Lebesgue零測集除外） 是（累積）概率函數(shù)，其導數(shù)是概率密度函數(shù)，由此稱為概率密度函數(shù)。（3）對應的密度函數(shù)不唯一。因為在若干點上改變密度函數(shù)的值并不影響分布函數(shù)的值。 例 當隨機變量的密度函數(shù)分別為下面兩個函數(shù)時 有 可見兩函數(shù)在概率意義上是無差別的，在此稱函數(shù)是“幾乎處處相等”，其含義是：它們不相等處的點組成的集合的概率為零。2.1.4.3 連續(xù)隨機變量的性質(zhì)（1）連續(xù)隨機變量在上任意一點的概率恒為零，即或 （2）且，有2.1.4.4 分布函數(shù)

3、的分類（了解）根據(jù)實變函數(shù)論知識，定義在上的有屆非降函數(shù)，除了階梯函數(shù) ，絕對連續(xù)函數(shù)之外，還有一類所謂的奇異連續(xù)函數(shù)。由Lebesgue分解理論知，任何一個一元分布函數(shù)都具有如下形式的分解式：其中，分別為階梯函數(shù)，絕對連續(xù)函數(shù)，奇異連續(xù)函數(shù)，且。當中至少有兩個不為零時，稱為混合分布函數(shù)。故分布函數(shù)有四類： 階梯函數(shù)，絕對連續(xù)函數(shù)，奇異連續(xù)函數(shù)，混合分布函數(shù)。例2.1.7（課堂練習）判定下面的函數(shù)是不是某個隨機變量的分布函數(shù)。 解 函數(shù)的圖形如右圖，很明顯的可以看出在實數(shù)域上，既不是階梯函數(shù)也不是連續(xù)函數(shù)，所以它是既不離散也不連續(xù)得分布。例2.1.8 已知隨機變量的密度函數(shù)為試求的分布函數(shù)。解

4、 （1）當時，（2）當時，（3）當時，（4）當時，所以，隨機變量的分布函數(shù)為 這個分布被稱為辛普森分布或三角分布，其密度函數(shù)和分布函數(shù)的圖形如下所示：例 某型號電子元件的壽命（以小時計）具有以下的概率密度函數(shù)現(xiàn)有一大批此種元件（各元件工作相互獨立），問（1） 任取1只，其壽命大于1500小時的概率是多少？（2） 任取4只，4只壽命都大于1500小時的概率是多少？（3） 任取4只，4只中至少有一只壽命大于1500小時的概率是多少？（4） 若已知已知元件的壽命大于1500小時，則該元件的壽命大于2000小時的概率是多少？解 （1）（2）（3）（4）例 向區(qū)間上任意投點，用表示這個點的坐標。設這個點落在中任意小區(qū)間的概率與這個區(qū)間的長度成正比，而與小區(qū)間的位置無關，求隨機變量的分布函數(shù)和密度函數(shù)。解 （1）當時，由于是不可能事件，所以 （2）當時， （3）當時，所以，隨機變量的分布函數(shù)為由連續(xù)分布函數(shù)的性質(zhì)知：故的分布函數(shù)為所以 （1）或時，（2）時，（3）和處，可以取任意值，一般就就近取值，這樣不會影響概率的計算，因為它們是幾乎處處相等的密度函數(shù)。于是，隨機變量的密度函數(shù)為這個分布就是區(qū)間上的均勻分布(Uniform distribu