考研復習資料隨機變量的數(shù)字特征(免積分)

1、第四章 隨機變量的數(shù)字特征（1）一維隨機變量的數(shù)字特征離散型連續(xù)型期望期望就是平均值設X是離散型隨機變量，其分布律為P()pk，k=1,2,n，（要求絕對收斂）設X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x)，（要求絕對收斂）函數(shù)的期望Y=g(X) Y=g(X)方差D(X)=EX-E(X)2，標準差， 矩對于正整數(shù)k，稱隨機變量X的k次冪的數(shù)學期望為X的k階原點矩，記為vk,即k=E(Xk)= , k=1,2, .對于正整數(shù)k，稱隨機變量X與E（X）差的k次冪的數(shù)學期望為X的k階中心矩，記為，即=， k=1,2, .對于正整數(shù)k，稱隨機變量X的k次冪的數(shù)學期望為X的k階原點矩，記為vk,即k=E(X

2、k)= k=1,2, .對于正整數(shù)k，稱隨機變量X與E（X）差的k次冪的數(shù)學期望為X的k階中心矩，記為，即=k=1,2, .切比雪夫不等式設隨機變量X具有數(shù)學期望E（X）=，方差D（X）=2，則對于任意正數(shù)，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對概率的一種估計，它在理論上有重要意義。（2）期望的性質(zhì)（1） E(C)=C（2） E(CX)=CE(X)（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：X和Y獨立； 充要條件：X和Y不相關。（3）方差的性質(zhì)（1） D(C)=0；E(C)=C（2） D(aX)=a2D(X)； E(a

3、X)=aE(X)（3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b（4） D(X)=E(X2)-E2(X)（5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨立； 充要條件：X和Y不相關。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E(X-E(X)(Y-E(Y)，無條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無條件成立。（4）常見分布的期望和方差期望方差0-1分布p二項分布np泊松分布幾何分布超幾何分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布n2nt分布0(n>2)（5）二維隨機變量的數(shù)字特征期望函數(shù)的期望方差協(xié)方差對于隨機變量X與Y，稱它們的二

4、階混合中心矩為X與Y的協(xié)方差或相關矩，記為，即與記號相對應，X與Y的方差D（X）與D（Y）也可分別記為與。相關系數(shù)對于隨機變量X與Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，則稱為X與Y的相關系數(shù)，記作（有時可簡記為）。|1，當|=1時，稱X與Y完全相關：完全相關而當時，稱X與Y不相關。以下五個命題是等價的：；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣混合矩對于隨機變量X與Y，如果有存在，則稱之為X與Y的k+l階混合原點矩，記為；k+l階混合中心矩記為：（6）協(xié)方差的性質(zhì)(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（