絕對值大全(零點分段法-化簡-最值)

1、絕對值大全（零點分段法、化簡、最值）一、去絕對值符號的幾種常用方法解含絕對值不等式的基本思路是去掉絕對值符號，使不等式變?yōu)椴缓^對值符號的一般不等式，而后，其解法與一般不等式的解法相同。因此掌握去掉絕對值符號的方法和途徑是解題關鍵。1利用定義法去掉絕對值符號根據實數含絕對值的意義，即|=，有|<；|>2利用不等式的性質去掉絕對值符號利用不等式的性質轉化|<或|>(>0)來解，如|>(>0)可為>或<；|<可化為<+<，再由此求出原不等式的解集。對于含絕對值的雙向不等式應化為不等式組求解，也可利用結論“|或”來求解，這是種典

2、型的轉化與化歸的數學思想方法。3利用平方法去掉絕對值符號對于兩邊都含有“單項”絕對值的不等式，利用|=可在兩邊脫去絕對值符號來解，這樣解題要比按絕對值定義去討論脫去絕對值符號解題更為簡捷，解題時還要注意不等式兩邊變量與參變量的取值范圍，如果沒有明確不等式兩邊均為非負數，需要進行分類討論，只有不等式兩邊均為非負數(式)時，才可以直接用兩邊平方去掉絕對值，尤其是解含參數不等式時更必須注意這一點。4利用零點分段法去掉絕對值符號所謂零點分段法，是指：若數，分別使含有|，|，|的代數式中相應絕對值為零，稱，為相應絕對值的零點，零點，將數軸分為+1段，利用絕對值的意義化去絕對值符號，得到代數式在各段上的簡

3、化式，從而化為不含絕對值符號的一般不等式來解，即令每項等于零，得到的值作為討論的分區(qū)點，然后再分區(qū)間討論絕對值不等式，最后應求出解集的并集。零點分段法是解含絕對值符號的不等式的常用解法，這種方法主要體現了化歸、分類討論等數學思想方法，它可以把求解條理化、思路直觀化。5利用數形結合去掉絕對值符號解絕對值不等式有時要利用數形結合，利用絕對值的幾何意義畫出數軸，將絕對值轉化為數軸上兩點間的距離求解。數形結合法較為形象、直觀，可以使復雜問題簡單化，此解法適用于或(為正常數)類型不等式。對(或<)，當|時一般不用。二、如何化簡絕對值絕對值的知識是初中代數的重要內容，在中考和各類競賽中經常出現，含有

4、絕對值符號的數學問題又是學生遇到的難點之一，解決這類問題的方法通常是利用絕對值的意義，將絕對值符號化去，將問題轉化為不含絕對值符號的問題，確定絕對值符號內部分的正負，借以去掉絕對值符號的方法大致有三種類型。（一）、根據題設條件例1：設化簡的結果是（   ）。（A） （B）  （C）  （D）思路分析：由可知可化去第一層絕對值符號，第二次絕對值符號待合并整理后再用同樣方法化去解：應選（B）歸納點評  只要知道絕對值將合內的代數式是正是負或是零，就能根據絕對值意義順利去掉絕對值符號，這是解答這類問題的常規(guī)思路（二）、借助數軸例2：實數a、b、c在數

5、軸上的位置如圖所示，則代數式的值等于（  ）（A）  （B）  （C）  （D）思路分析  由數軸上容易看出，這就為去掉絕對值符號掃清了障礙解：原式應選（C）歸納點評  這類題型是把已知條件標在數軸上，借助數軸提供的信息讓人去觀察，一定弄清：1零點的左邊都是負數，右邊都是正數2右邊點表示的數總大于左邊點表示的數3離原點遠的點的絕對值較大，牢記這幾個要點就能從容自如地解決問題了（三）、采用零點分段討論法例3：化簡思路分析  本類型的題既沒有條件限制，又沒有數軸信息，要對各種情況分類討論，可采用零點分段討論法，本例的難點在于的正

6、負不能確定，由于x是不斷變化的，所以它們?yōu)檎?、為負、為零都有可能，應當對各種情況一討論解：令得零點：；令得零點：，把數軸上的數分為三個部分（如圖）當時,   原式當時，原式當時，  原式歸納點評：雖然的正負不能確定，但在某個具體的區(qū)段內都是確定的，這正是零點分段討論法的優(yōu)點，采用此法的一般步驟是：1求零點：分別令各絕對值符號內的代數式為零，求出零點（不一定是兩個）2分段：根據第一步求出的零點，將數軸上的點劃分為若干個區(qū)段，使在各區(qū)段內每個絕對值符號內的部分的正負能夠確定3在各區(qū)段內分別考察問題4將各區(qū)段內的情形綜合起來，得到問題的答案誤區(qū)點撥  千萬不要想當然地把

7、等都當成正數或無根據地增加一些附加條件，以免得出錯誤的結果三、帶絕對值符號的運算      在初中數學教學中，如何去掉絕對值符號？因為這一問題看似簡單，所以往往容易被人們忽視。其實它既是初中數學教學的一個重點，也是初中數學教學的一個難點，還是學生容易搞錯的問題。那么，如何去掉絕對值符號呢？我認為應從以下幾個方面著手：     （ 一）、要理解數a的絕對值的定義。在中學數學教科書中，數a的絕對值是這樣定義的，“在數軸上，表示數a的點到原點的距離叫做數a的絕對值?！睂W習這個定義應讓學生理解，數a的絕

8、對值所表示的是一段距離，那么，不論數a本身是正數還是負數，它的絕對值都應該是一個非負數。      （二）、要弄清楚怎樣去求數a的絕對值。從數a的絕對值的定義可知，一個正數的絕對值肯定是它的本身，一個負數的絕對值必定是它的相反數，零的絕對值就是零。在這里要讓學生重點理解的是，當a是一個負數時，怎樣去表示a的相反數（可表示為“-a”），以及絕對值符號的雙重作用（一是非負的作用，二是括號的作用）。      （三）、掌握初中數學常見去掉絕對值符號的幾種題型。1、對于形如a的一類問題 只要根據絕對值的

9、3個性質，判斷出a的3種情況，便能快速去掉絕對值符號。 當a>0時， a= a (性質1：正數的絕對值是它本身) ； 當a=0 時， a= 0 (性質 2：0的絕對值是0) ； 當 a<0 時；a= a (性質3：負數的絕對值是它的相反數) 。2、對于形如a+b的一類問題首先要把a+b看作是一個整體，再判斷a+b的3種情況，根據絕對值的3個性質，便能快速去掉絕對值符號進行化簡。 當a+b>0時，a+b= (a+b) =a +b (性質1：正數的絕對值是它本身) ； 當a+b=0 時，a+b= (a+b) =0 (性質 2：0的絕對值是0)； 當 a+b<0 時，a+b=

10、 (a+b)=a-b (性質3：負數的絕對值是它的相反數)。3、對于形如a-b的一類問題同樣，仍然要把a-b看作一個整體，判斷出a-b 的3種情況，根據絕對值的3個性質，去掉絕對值符號進行化簡。但在去括號時最容易出現錯誤。如何快速去掉絕對值符號，條件非常簡單，只要你能判斷出a與b的大小即可（不論正負）。因為大-小=小-大=大-小，所以當a>b時， a-b=（a-b）= a-b，b-a=（a-b）= a-b ?？谠E：無論是大減小，還是小減大，去掉絕對值，都是大減小。4、對于數軸型的一類問題，根據3的口訣來化簡，更快捷有效。如a-b的一類問題，只要判斷出a在b的右邊（不論正負），便可得到a-

11、b=（a-b）=a-b，b-a=（a-b）=a-b 。5、對于絕對值符號前有正、負號的運算非常簡單，去掉絕對值符號的同時，不要忘記打括號。前面是正號的無所謂，如果是負號，忘記打括號就慘了，差之毫厘失之千里也！6、對于絕對值號里有三個數或者三個以上數的運算   萬變不離其宗，還是把絕對值號里的式子看成一個整體，把它與0比較，大于0直接去絕對值號，小于0的整體前面加負號。四、去絕對值化簡專題練習（1）  設 化簡 的結果是（  B  ）。（A）   （B）   （C）   （D） (2)  實數a、b、c在數

12、軸上的位置如圖所示，則代數式 的值等于（  C ）。（A）   （B）   （C）   （D） (3)  已知 ，化簡 的結果是 x-8 。 (4)  已知，化簡 的結果是 -x+8 。 (5)  已知，化簡 的結果是 -3x 。 (6) 已知a、b、c、d滿足 且 ，那么a+b+c+d= 0 （提示：可借助數軸完成）(7) 若 ，則有（ A  ）。（A）   （B）   （C）   （D） (8) 有理數a、b、c在數軸上的位置如圖所示，則式子 化簡結果為（ C&

13、#160; ） （A）   （B）   （C）   （D） (9) 有理數a、b在數軸上的對應點如圖所示，那么下列四個式子， 中負數的個數是（B  ）（A）0  （B）1  （C）2  （D）3(10) 化簡 =(1)-3x (x<-4) (2)-x+8(-4x2) (3)3x(x>2)(11) 設x是實數， 下列四個結論中正確的是（ D  ）。（A）y沒有最小值（B）有有限多個x使y取到最小值（C）只有一個x使y取得最小值（D）有無窮多個x使y取得最小值五、絕對值培優(yōu)教案絕對值是初中代數中的

14、一個基本概念，是學習相反數、有理數運算及后續(xù)二次根式的基礎絕對值又是初中代數中的一個重要概念，在解代數式化簡求值、解方程（組)、解不等(組)、函數中距離等問題有著廣泛的應用，全面理解、掌握絕對值這一概念，應從以下方面人手：l絕對值的代數意義：2絕對值的幾何意義從數軸上看，表示數的點到原點的距離(長度，非負) ；表示數、數的兩點間的距離3絕對值基本性質非負性：；培優(yōu)講解（一）、絕對值的非負性問題【例1】若，則 ?？偨Y：若干非負數之和為0， 。（二）、絕對值中的整體思想【例2】已知，且，那么= 變式1. 若|m1|=m1，則m_1; 若|m1|>m1，則m_1;（三）、絕對值相關化簡問題（零

15、點分段法）【例3】閱讀下列材料并解決有關問題：我們知道，現在我們可以用這一個結論來化簡含有絕對值的代數式，如化簡代數式時，可令和，分別求得（稱分別為與的零點值）。在有理數范圍內，零點值和可將全體有理數分成不重復且不遺漏的如下3種情況：（1）當時，原式=;（2）當時，原式=；（3）當時，原式=。綜上討論，原式=通過以上閱讀，請你解決以下問題：（1） 分別求出和的零點值；（2）化簡代數式變式1.化簡 (1)； (2)；變式2.已知的最小值是，的最大值為，求的值。（四）、表示數軸上表示數、數的兩點間的距離【例4】（距離問題）觀察下列每對數在數軸上的對應點間的距離 4與，3與5，與，與3. 并回答下列

16、各題：（1）你能發(fā)現所得距離與這兩個數的差的絕對值有什么關系嗎？答：_ .（2）若數軸上的點A表示的數為x，點B表示的數為1，則A與B兩點間的距離可以表示為 _.（3）結合數軸求得的最小值為 ，取得最小值時x的取值范圍為 _.（4） 滿足的的取值范圍為 _ .（5） 若的值為常數，試求的取值范圍（五）、絕對值的最值問題【例5】（1）當取何值時，有最小值？這個最小值是多少？（2）當取何值時，有最大值？這個最大值是多少？（3）求的最小值。（4）求的最小值。【例6】已知，設，求M 的最大值與最小值課后練習：1、若與互為相反數，求的值。2若與互為相反數，則與的大小關系是( ) A B C D3已知數軸

17、上的三點A、B、C分別表示有理數，1，一l，那么表示( ) AA、B兩點的距離 BA、C兩點的距離 CA、B兩點到原點的距離之和 D A、C兩點到原點的距離之和4.利用數軸分析，可以看出，這個式子表示的是到2的距離與到的距離之和，它表示兩條線段相加：當 時，發(fā)現，這兩條線段的和隨的增大而越來越大；當 時，發(fā)現，這兩條線段的和隨的減小而越來越大；當 時，發(fā)現，無論在這個范圍取何值，這兩條線段的和是一個定值 ，且比、情況下的值都小。因此，總結，有最小值 ，即等于 到 的距離 5. 利用數軸分析，這個式子表示的是到的距離與到1的距離之差它表示兩條線段相減：當 時，發(fā)現，無論取何值，這個差值是一個定值 ；當 時，發(fā)現，無論取何值，這個差值是一個定值 ；當 時，隨著增大，這個差值漸漸由負變正，在中點處是零。 因