數(shù)學(xué)歸納法典型例題

1、v1.0可編輯可修改數(shù)學(xué)歸納法典型例題1 .教學(xué)內(nèi)容：高三復(fù)習(xí)專題：數(shù)學(xué)歸納法2 .教學(xué)目的掌握數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用3 .教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用4 .知識(shí)分析【知識(shí)梳理】數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法，在高等數(shù)學(xué)中有著重要的用途，因而成為高考的熱點(diǎn)之一。近幾年的高考試題，不但要求能用數(shù)學(xué)歸納法去證明現(xiàn)代的結(jié)論，而且加強(qiáng)了對(duì)于不完全歸納法應(yīng)用的考查，既要求歸納發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又要求能證明結(jié)論的正確性，因此，初步形成“觀察-歸納一-猜想證明”的思維模式，就顯得特別重要。一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：（1）（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n=n0時(shí)命題

2、成立；He（2）（歸納遞推）假設(shè)n=k（N%MwN）時(shí)命題成立，證明當(dāng)期時(shí)命題也成立。只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從附開始的所有正整數(shù)n都成立。上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的基礎(chǔ)保證，即通過驗(yàn)證落實(shí)傳遞的起點(diǎn)，這個(gè)基礎(chǔ)必須真實(shí)可靠；它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞性的保證，即只要命題對(duì)某個(gè)正整數(shù)成立，就能保證該命題對(duì)后繼正整數(shù)都成立，兩步合在一起為完全歸納步驟，稱為數(shù)學(xué)歸納法，這兩步各司其職，缺一不可，特別指出的是，第二步不是判斷命題的真?zhèn)?，而是證明命題是否具有傳遞性，如果沒有第一步，而僅有第二步成立，命題也可能是假命題?！?/p>

3、要點(diǎn)解析】1、用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問題的關(guān)鍵在第二步，即n=k+l時(shí)為什么成立，n=k+1時(shí)成立是利用假設(shè)n=k時(shí)成立，根據(jù)有關(guān)的定理、定義、公式、性質(zhì)等數(shù)學(xué)結(jié)論推證出n=k+1時(shí)成立，而不是直接代入，否則n=k+1時(shí)也成假設(shè)了，命題并沒有得到證明。用數(shù)學(xué)歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問題，但并不是所有的正整數(shù)問題都是用數(shù)學(xué)歸納法證明的，學(xué)習(xí)時(shí)要具體問題具體分析。2、運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)易犯的錯(cuò)誤(1)對(duì)項(xiàng)數(shù)估算的錯(cuò)誤，特別是尋找口=卜與口=卜+1的關(guān)系時(shí)，項(xiàng)數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯(cuò)。(2)沒有利用歸納假設(shè)：歸納假設(shè)是必須要用的，假設(shè)是起橋梁作用的，橋梁斷了就通不過去了。(3)關(guān)鍵步驟含糊不清，“假設(shè)n=k

4、時(shí)結(jié)論成立，利用此假設(shè)證明n=k+1時(shí)結(jié)論也成立，是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步，也是證明問題最重要的環(huán)節(jié)，對(duì)推導(dǎo)的過程要把步驟寫完整，注意證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性?！镜湫屠}】111n例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：強(qiáng)N*時(shí)，1x33x5(2口-112n+1)七十1_1_1_1_1解析：當(dāng)口=1時(shí)，左邊一T7J耳，右邊一上工1+1一1,左邊二右邊，所以等式成立。111k假設(shè)n=kk）時(shí)等式成立，即有市+771廿一+即1）即1）.+,則當(dāng)n=k+1時(shí)，111k7x3+說,+（2k-1）（2k+1廣2k+2k+3）=2k+l+（2k+l）（2k+3）k（2k+3）+l2一斗法仁1一僅k+1版+3）二勵(lì)+L司k-

5、nlk十】=環(huán)=2（k+l）+l,所以當(dāng)n=k+l時(shí)，等式也成立。由，可知，對(duì)一切nN卡等式都成立。點(diǎn)評(píng)：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式，命題關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān)，由11=卜到口=卜+1時(shí)等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)。（2）在本例證明過程中，（I）考慮“n取第一個(gè)值的命題形式”時(shí)，需認(rèn)真對(duì)待，一般情況是把第一個(gè)值代入通項(xiàng)，考察命題的真假，（II）步驟在由n=k至g=k+l的遞推過程中，必須用歸納假設(shè)，不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法。本題證明打=k+l時(shí)若利用數(shù)列求和中的拆項(xiàng)相消法，即175而廿+(

6、2kT)(2k+l)+(2k+2k+3).112k+3/2kM,則這不是歸納假設(shè)，這是套用數(shù)學(xué)歸納法的一種偽證。(3)在步驟的證明過程中，突出了兩個(gè)湊字，一“湊”假設(shè)，二“湊”結(jié)論，關(guān)鍵是明確n=k+l時(shí)證明的目標(biāo)，充分考慮由到n=k+l時(shí)，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系。111111111+4-+-=*4-11-例2.2342n72口打+1口+22n0=解析：(1)當(dāng)口=1時(shí)，左邊=,右邊,命題成立。(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即1I1112342k-12k111+k+1k+22k.那么當(dāng)n=k+1時(shí),左邊一r二二.，十.J.一11111I 111+k+1k+22k2k+12k+2.4-4-+4

7、k+2k-hj2k-12k+2上式表明當(dāng)口=卜十1時(shí)命題也成立由(1)(2)知，命題對(duì)一切正整數(shù)均成立例3.用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)n,不等式*1475I_|_解析：當(dāng)口=2時(shí)，左二孑0，右一彳，左右，.不等式成立。假設(shè)小卜仇占俎kwN*）時(shí)，不等式成立，即那么當(dāng)n = k+1時(shí),口十1 2k-L2k-11 1 r1 4- - 一 142依+ )-2 2k $1 2 虎F”15，4k*4就+4J4k*+k+3J4k.-J2k+12 32k 十 12j2k + 1一.=,.n=k+1時(shí)，不等式也成立。由，知，對(duì)一切大于1的自然數(shù)n,不等式都成立。點(diǎn)評(píng)：（1）本題證明n=k十1命題成

8、立時(shí)，利用歸納假設(shè)，并對(duì)照目標(biāo)式進(jìn)行了恰當(dāng)?shù)目s小來實(shí)現(xiàn)，也可以用上歸納假設(shè)后，證明不等式k+1Jg（k+匚1（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與非零自然數(shù)有關(guān)的命題時(shí)要注意兩個(gè)步驟缺一不可，第步式小）成立是推理的基礎(chǔ)，第步P（k）np（k+1）是推理的依據(jù)（即而成立，則門口+1成立，成立，,從而斷定命題對(duì)所有的自然數(shù)均成立）。另一方面，第步中，驗(yàn)證門二中的憶未必是1,根據(jù)題目要求，有時(shí)可為2,3等；第步中，證明n=k十1時(shí)命題也成立的過程中，要作適當(dāng)?shù)淖冃?，設(shè)法用上歸納假設(shè)。11】1a4-l-I-4。例4.若不等式n+1口.2n+3加+124對(duì)一切正整數(shù)n都成立,求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論。11

9、1_26解析：取口=,+廣藥?！盻L令24：24,得aC就，而過巨W+,所以取H25,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，I1125+31口+23力+124,(1) 口=1時(shí)，已證結(jié)論正確(2)假設(shè)n*k(kENj時(shí)，1 1125+-+Ak-lk+23k+l24則當(dāng)n=k+l時(shí)，有1(k+l)+/(k+l)+3+.一3k+1+3k+2-3k+3-3(k+l)+l(111W11111=十十，+U：+Lk+2Jk-Fljl3k+z3k+33k+4k+1JWr11-2ii4k+i)m因?yàn)?k+2.3k+49k2+18k+83pc+1)1-u所以3k+23k+43(k+l),25所以一，-”一1二即n=k+l時(shí)，結(jié)

10、論也成立,由（1）（2）可知，對(duì)一切口】（，11125+-+-4-都有n+1的+124,故a的最大值為25。例5.用數(shù)學(xué)歸納法證明：付7-?。篘*能被9整除。解析：方法一：令=0ti41）T-l（nN*）,（1）巾上（3乂1+1）%71-127能被9整除。（2）假設(shè)山）低三山）能被9整除，則=（3k+4）.7t*1-lh（3k+l）-7k-19（2k+3）7氐.f（k+l雎）+式2k+3）.能被9整除。由（1）（2）知，對(duì)一切命題均成立。方法二：（1）口=1,原式=4x7T=能被9整除，（2）若3由九*N*）,-41”-1能被9整除,則n=k十1時(shí)3（k41）4I.7t+1-1=t3k+l）+

11、3（l+.黃一1=（3k+l）-7k-l+（3k+l）67V+21-71=（3k+L）-71-IJ+lSk.71*C；n=k+1時(shí)也能被9整除。由（1）,（2）可知，對(duì)任何mN*,（3-1卜尸一1能被9整除。點(diǎn)評(píng)：證明整除性問題的關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”，而采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等手段湊出n=k時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問題獲證。例6.求證：產(chǎn)，(341產(chǎn)能被8?”+1整除，口三N一解析：(1)當(dāng)口=1時(shí)，+命題顯然成立。(2)設(shè)hk時(shí),aE+G+l產(chǎn)t能被M整除,則當(dāng)n=k+l時(shí)，產(chǎn)%(a+l嚴(yán)4gd+1)山=亂聲i+a+1產(chǎn)4(a+iy(a+嚴(yán)_儂+產(chǎn)9的產(chǎn)+丘嚴(yán)。由歸納假設(shè)，上式中的兩項(xiàng)

12、均能被a%a+l整除，故n=k+1時(shí)命題成立。由(1)(2)可知，對(duì)口CL,命題成立。例7.平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓都交于兩點(diǎn)，且無三個(gè)圓交于一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓將平面分成Mn-2個(gè)部分。解析：口=1時(shí)，1個(gè)圓將平面分成2部分，顯然命題成立。假設(shè)n=k時(shí)，k個(gè)圓將平面分成/-k-2個(gè)部分，當(dāng)n=k+1時(shí)，第k+1個(gè)圓J+i交前面k個(gè)圓于2k個(gè)點(diǎn)，這2k個(gè)點(diǎn)將圓J+i分成2k段，每段將各自所在區(qū)域一分為二，于是增加了2k個(gè)區(qū)域，所以這k+1個(gè)圓將平面分成k*2+2k個(gè)部分，即化+1卜伏+1)+2個(gè)部分故n=k十1時(shí)，命題成立。由，可知，對(duì)nwN”命題成立。點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵

13、是“找項(xiàng)”，即幾何元素從k個(gè)變成k+1個(gè)時(shí)，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識(shí)或借助于幾何圖形來分析，在實(shí)在分析不出來的情況下，將n=k+1和n=k分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可，這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題的一大技巧。E（I1J=1+-I-一”4,例8.設(shè).23口，是否存在關(guān)于自然數(shù)n的函數(shù)虱口），使等式+f+*池-1）=蛆,昨卜1對(duì)于口之2的一切自然數(shù)都成立并證明你的結(jié)論。解析：當(dāng)口=2時(shí)，由,當(dāng)口=3時(shí),由皿+f-呻）-1,猜想-）一-二-卜面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)心2時(shí)，等式眠+f+臨-1）=皿?。?1恒成立。當(dāng)口=2時(shí)，由上面計(jì)算知，等式成立

14、。假設(shè)。-附-1）=14明-1化）成立,那么當(dāng)n=k+1時(shí)，+-+f(k-l)+f(k)=kf(k)-1+fk)-(k+l)f(k)-k二(以力業(yè)mA占l-k=(k+llf(k+l)-l.當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立。由知，對(duì)一切口之2的自然數(shù)n,等式都成立。故存在函數(shù)虱,使等式成立。點(diǎn)評(píng)：（1）歸納、猜想時(shí)，關(guān)鍵是尋找滿足條件的且向與n的關(guān)系式，猜想的關(guān)系未必對(duì)任意的口值專m*）都滿足條件，故需用數(shù)學(xué)歸納法證明。（2）通過解答歸納的過程提供了一種思路：可直接解出虱目），即if(l)4f44fgT)n -I卜-1)+(口r2).%。-3).卜+n-(n-巾.W（口”【模擬試題】1.用數(shù)學(xué)歸納法證

15、明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，P+T能被三+y整除”時(shí)，第步歸納假設(shè)應(yīng)寫成A.假設(shè)口=.*1只*）時(shí)，命題成立B.假設(shè)時(shí)，命題成立C.假設(shè)口=明強(qiáng)心）時(shí),命題成立D.假設(shè)口=小巨山）時(shí)，命題成立1111n2+41-I（neN*J2 .證明2342劉12，假設(shè)i】=k時(shí)成立，當(dāng)n=k+1時(shí)，左端增加的項(xiàng)數(shù)是A.1項(xiàng)B.卜-1項(xiàng)C.k項(xiàng)D.2k項(xiàng)3 .記凸k邊形的內(nèi)角和為唯），則凸k十1邊形的內(nèi)角和唯十*f（kR（）x3jiA.-B.C.-D.:二4.某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān)，若n=k（kwbP）時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)門=k+l時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知當(dāng)=5時(shí)，該命題不成立，那么可推得A.當(dāng)n=6時(shí)，該命題不成立B.當(dāng)口=后時(shí)，該命題成立C.當(dāng)n=4時(shí)，該命題不成立D.當(dāng)n=4時(shí)，該命題成立5.用數(shù)學(xué)歸納法證明n+1 n+ 2 n+ 3 n+ n 24到口=k+l時(shí)，不等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是11A.一B.士一-C.1 1_12k+l2k+2kZT1 L_1_1D.二丁:-一6.（5分）在數(shù)列%）中，的=且工，】，24成等差數(shù)列（工表示數(shù)列（）的前n項(xiàng)和），則,感,十分別為7. （5分）已知 都成立，那么a=1*2乂34支32444.4口.33-】，3（皿-。工對(duì)一切門亡n*c=f4 4 4-+2 3 4 5 672,2 315,8.（14分）由下列各式:你能得出怎樣的結(jié)論并進(jìn)行證明。