第四章平差模型與最小二乘準(zhǔn)則

1、 第四章 最小二乘準(zhǔn)則4.1 測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型模型：對(duì)客觀事物的高度概括。分類：1)形象模型：航模、建筑模型等；2)抽象模型：地圖、等式、不等式、數(shù)學(xué)模型等。平差中的數(shù)學(xué)模型：函數(shù)模型：觀測(cè)值與觀測(cè)值之間，或者觀測(cè)值與未知參數(shù)之間的一種數(shù)學(xué)表達(dá)式；隨機(jī)模型：觀測(cè)值之間可能有的隨機(jī)相關(guān)性。是隨機(jī)性的，即經(jīng)驗(yàn)上的一種近似關(guān)系。 一、函數(shù)模型同一個(gè)平差問題，建立不同的函數(shù)模型，就有不同的平差方式。經(jīng)典平差中的四種函數(shù)模型：二、隨機(jī)模型： 帶約束的間接平差帶參數(shù)的條件平差、條件平差間接平差000XXFLXLFLFXFL12020PDL三、高斯馬爾柯夫（G-M）平差模型 以上簡稱G-M模型，是經(jīng)典平差

2、所依據(jù)的數(shù)學(xué)模型。Gauss用上述模型證明了最小二乘法將得到參數(shù)的最佳估值；Markov用上述模型證明了最小二乘估值的方差最小性。 120200PQDLDEXALL隨機(jī)模型：函數(shù)模型：4.2 參數(shù)估計(jì)與測(cè)量平差一、數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題總體（母體X：所研究的隨機(jī)變量可能取值的全體。個(gè)體：組成總體的每一個(gè)基本單位。樣本x：從母體中隨機(jī)取出的n個(gè)個(gè)體構(gòu)成一個(gè)樣本。子樣容量（子樣大?。簶?gòu)成子樣的個(gè)體數(shù)目n。抽樣：獲得子樣的過程。統(tǒng)計(jì)量：由子樣構(gòu)成的函數(shù)，不含未知數(shù)。niixnx11無限推斷母體量構(gòu)成統(tǒng)計(jì)有限獲得子樣限個(gè)抽樣通過有nnxxxn,21212)(1xxnSnii212)(11xxnnii1、常用統(tǒng)

3、計(jì)量：子樣均值：子樣方差：子樣無偏方差：數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題：2、常用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法 （1）參數(shù)估計(jì)）參數(shù)估計(jì) （2）統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)）統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn) （3）回歸分析）回歸分析 （4）方差分析）方差分析3、對(duì)抽樣的要求a、代表性：要求子樣的各個(gè)分量 與母體同分布。即b、獨(dú)立性：要求 互獨(dú)立。二、參數(shù)估計(jì)問題參數(shù)估計(jì)包括：a、點(diǎn)估計(jì)（定值估計(jì)）：按某種準(zhǔn)則，求出參數(shù)的一個(gè)具體估值。b、區(qū)間估計(jì)：以一定的概率，求出參數(shù)的某一取值范圍。 XDxDXExEiiixix三、測(cè)量平差的實(shí)質(zhì)是參數(shù)估計(jì)（1）求最或是值即是求E(X)的估值。（2）精度評(píng)定即是求D(X)的估值。 XXEn，時(shí) 每一次觀測(cè)，就是一次在已知或未知母

4、體內(nèi)的隨機(jī)抽樣。觀測(cè)誤差i所具有的隨機(jī)性，決定了觀測(cè)值的隨機(jī)性；觀測(cè)誤差i服從正態(tài)分布，決定了觀測(cè)值也服從正態(tài)分布。4.3 估計(jì)值的最優(yōu)性質(zhì)點(diǎn)估計(jì)的幾種方法：矩法、最大似然法、最小二乘法、中位數(shù)法、截尾法用不同的點(diǎn)估計(jì)方法對(duì)同樣的母體進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，會(huì)產(chǎn)生用不同的點(diǎn)估計(jì)方法對(duì)同樣的母體進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，會(huì)產(chǎn)生不同的估值。不同的估值。最優(yōu)估值標(biāo)準(zhǔn)：（1）無偏無偏 性性 ； （2）一致性一致性 ；（3）有效性有效性。最優(yōu)估計(jì)應(yīng)具有性質(zhì)： 估計(jì)量 能在參數(shù)真值 附近擺動(dòng)，隨著子樣容量的增大，擺幅越來越小，n為 時(shí)， 依概率收斂于 。 一、無偏性 的無偏估計(jì)。是則稱的估值，若滿足：是參數(shù)真值設(shè)E 的無偏估計(jì)

5、？否是母體方差是估計(jì)？子樣方差是否是母體均值的無偏問：22xDsx結(jié)論 數(shù)理統(tǒng)計(jì)中 平差中 性質(zhì)2122121)(11)(11xxnxxnsxnxniiniinii 122nVVnVVsnLx （使用）無偏（不使用）有偏無偏2222EsEaxE二、一致性 n無限增大時(shí)估計(jì)量 依概率收斂于 。為子樣容量。為概率，或或，有即對(duì)任意小的正數(shù)nPPPPnnn1lim0lim1lim補(bǔ)充：嚴(yán)格一致性滿足嚴(yán)格一致性的估值一定滿足一致性。例：證明子樣均值是母體期望的一致性估值。 的嚴(yán)格一致性估計(jì)。為真值則稱滿足：若估值0limlim2EEDEnn 三、有效性有效。較則認(rèn)為估值的無偏估計(jì)若均為及設(shè)212121

6、DD 求還應(yīng)有“有效性”要故僅滿足無偏不夠均無偏，不唯一如：中axEaxEaxEi 的方差最小，最有效?？梢娀蚨褐衳xDnxDxDi22222最小方差性： 性。滿足有效性又滿足一致方差），則該估計(jì)量即有無偏估值中擁有最?。ㄔ谒?，使若有一無偏估計(jì)量2minD 是最優(yōu)無偏估值。4.最小二乘準(zhǔn)則一、最小二乘法 設(shè)有誤差方程：在滿足約束： 下，對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。二、最大似然法lxAVmin2222112nniivvvv ，即間的協(xié)方差為，觀測(cè)值之個(gè)觀測(cè)值：設(shè)有jiLENLnijiii2,以下為似然函數(shù)（n個(gè)子樣聯(lián)合分布的密度函數(shù)）： 221222121122111nnnnnLLnnDLELELELLL PVVDLELDLELDGTLLnLLTLLn2exp2121exp21202121212最大似然法基本思想：最大似然法與最小二乘法的異同點(diǎn)： 最大似然法：必須知道母體的分布； 最小二乘法：可不知母體的分布。當(dāng)觀測(cè)值服從正態(tài)分布時(shí)，二者等價(jià)。為最或然值。，即此時(shí)最接近其真值達(dá)到最大時(shí)，參數(shù)估值數(shù)最大，所以，當(dāng)似然函誤差聯(lián)合出現(xiàn)的概率由偶然誤差特性知，小xxxG minminminmax11PVVVDVLELDLELGTLLTLLT或即要求 例：不一定是無偏的。并。所以，最大似然估值可近似看成很大時(shí)