基于MATLAB仿真單級環(huán)形倒立擺課程設(shè)計說明書

1、專業(yè)課程設(shè)計說明書單級旋轉(zhuǎn)倒立擺的穩(wěn)定控制系統(tǒng)設(shè)計學(xué)生姓名：趙曉博 學(xué)號：1307054153學(xué) 院： 計算機與控制學(xué)院 專 業(yè)： 電氣工程與智能控制 指導(dǎo)教師： 崔建峰，靳鴻 2016年6月目錄引言2單級旋轉(zhuǎn)倒立擺介紹31.建模41.1倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立41.2 環(huán)形單級倒立擺系統(tǒng)的特性分析71.2.1 環(huán)形單級倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析71.2.2 環(huán)形單級倒立擺能控性分析82.對倒立擺系統(tǒng)的控制82.1對簡單線性系統(tǒng)進行狀態(tài)反饋控制82.2最優(yōu)線性二次型對旋轉(zhuǎn)倒立擺的控制11總結(jié)17參考文獻18單級環(huán)形倒立擺引言倒立擺是處于倒置不穩(wěn)定狀態(tài)、通過人為控制使其處于動態(tài)平衡的一種擺。倒立擺是一個

2、復(fù)雜的快速、非線性、多變量、強禍合、自然不穩(wěn)定的非最小相位系統(tǒng),是重心在上、支點在下控制問題的抽象。關(guān)于倒立擺最初的研究始于20世紀50年代,麻省理工學(xué)院腳IT)的控制論專家根據(jù)火箭發(fā)射助推器原理設(shè)計出一級倒立擺實驗設(shè)備。進入60年代,人們開始對倒置系統(tǒng)進行研究。1966年,schaeefr和Cannon應(yīng)用Bang一Bang控制理論,將一個曲軸穩(wěn)定于倒立位置。60年代以后,作為一個不穩(wěn)定、嚴重非線性系統(tǒng)的典型證例人們提出了倒立擺的概念,并用其檢驗控制方法對不穩(wěn)定、非線性和快速性系統(tǒng)的處理能力,受到世界各國科學(xué)家的重視。倒立擺的用途主要有兩個方面。其一,作為一個非線性自然不穩(wěn)定系統(tǒng),倒立擺系統(tǒng)

3、是進行控制理論教學(xué)及開展各種控制實驗的理想實驗平臺。許多抽象的控制概念如控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性、系統(tǒng)收斂速度和系統(tǒng)抗干擾能力等,都可以通過倒立擺系統(tǒng)直觀地表現(xiàn)出來。其二,由于倒立擺系統(tǒng)具有高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性和強禍合等特性,其作為控制理論研究中的一個嚴格的控制對象,通常用于檢驗控制策略的有效性。研究人員不斷從對倒立擺控制方法的研究中發(fā)掘出新的控制方法,并將其應(yīng)用于航天科技和機器人學(xué)等各種高新科技領(lǐng)域。倒立擺的控制方法在半導(dǎo)體及精密儀器加工、導(dǎo)彈攔截控制系統(tǒng)、航空器對接技術(shù)和機器人技術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的用途。例如,機器人行走過程中的平衡控制、火箭發(fā)射中的垂直度控制和衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制

4、等均涉及倒置問題。另外,倒立擺的控制方法對處理一般工業(yè)過程也有借鑒作用。近年來,對倒立擺系統(tǒng)控制方法的研究引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。單級旋轉(zhuǎn)倒立擺介紹單級旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)一種廣泛應(yīng)用的物理模型，其物理模型如下：圖示為單級旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)原理圖。其中擺的長度=0.54m，質(zhì)量=0.127kg ，橫桿的長度 =0.325 m，質(zhì)量=0.202kg，重力加速度。以在水平方向?qū)M桿施加的力矩為輸入，橫桿相對參考系產(chǎn)生的角位移為輸出?？刂频哪康氖钱敊M桿在水平方向上旋轉(zhuǎn)時，將倒立擺保持在垂直位置上。圖1.環(huán)形倒立擺實物圖單級旋轉(zhuǎn)倒立擺可以在平行于紙面360度的范圍內(nèi)自由擺動。倒立擺控制系統(tǒng)的目的是使倒立擺在

5、外力的推動下，擺桿仍然保持豎直向上狀態(tài)。在橫桿靜止的狀態(tài)下，由于受到重力的作用，倒立擺的穩(wěn)定性在擺桿微小的擾動下，就會使倒立擺的平衡無法復(fù)位，這時必須使橫桿在平行于紙面的方向通過位移產(chǎn)生相應(yīng)的加速度。作用力與物體位移對時間的二階導(dǎo)數(shù)存在線性關(guān)系，故單級倒立擺系統(tǒng)是一個非線性系統(tǒng)。本文綜合設(shè)計以以在水平方向?qū)M桿施加的力矩 為輸入，橫桿相對參考系產(chǎn)生的角位移 為輸出，建立狀態(tài)空間模型，在原有系統(tǒng)上中綜合帶狀態(tài)觀測器狀態(tài)反饋系統(tǒng)，從而實現(xiàn)當橫桿在旋轉(zhuǎn)運動時，將倒立擺保持在垂直位置上。1.建模1.1倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立關(guān)于倒立擺運動方程的建立和分析，主要有牛頓一歐拉方法和拉格朗日方法。這里采用拉格朗

6、日方程推導(dǎo)環(huán)形倒立擺運動學(xué)方程的方法得到系統(tǒng)的運動方程。在距擺桿轉(zhuǎn)動軸距離為處取一小段，這一小段的坐標為:對、求導(dǎo)，得則這一小段擺桿的動能為:連桿的動能為擺桿的動能為：質(zhì)量塊的動能為：系統(tǒng)的總動能為：系統(tǒng)的勢能為（以連桿水平的位置為 0 勢能位置）：拉格朗日算子 L=T-V，系統(tǒng)廣義上的坐標為，由于上無外力，由拉格朗日方程等式成立。由等式可得出取平衡位置時各變量的初值為零(1,2,1,2)=(0,0,0,0)將上式在平衡位置進行泰勒級數(shù)展開，并線性化處理，令 得到線性化之后的公式：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可寫成如下的形式：設(shè)定狀態(tài)變量如下：可得系統(tǒng)線性化狀態(tài)方程為：帶入給出的參數(shù)，得到狀態(tài)方程的參數(shù)矩陣

7、：1.2 環(huán)形單級倒立擺系統(tǒng)的特性分析1.2.1 環(huán)形單級倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析在Matlab中的命令行窗口中輸入矩陣A，運行函數(shù)P=eig(A),得:P= 5.2175 -5.2175 0 0 ；由上可知，矩陣A中有一個特征值5.2175大于0，所以環(huán)形倒立擺系統(tǒng)是開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)。1.2.2 環(huán)形單級倒立擺能控性分析在Matlab中的命令行窗口中輸入矩陣A、B、C、D,做如下計算圖2.MATLAB計算是否能控2.對倒立擺系統(tǒng)的控制 2.1對簡單線性系統(tǒng)進行狀態(tài)反饋控制首先構(gòu)建一個線性模型如下圖所示圖3.simulink線性模型仿真圖通過MATLAB計算該系統(tǒng)的能控性圖4.MATLAB計算結(jié)果

8、由于N=4因此系統(tǒng)是能控能觀的。用MATLAB看該系統(tǒng)是否穩(wěn)定如下圖圖5.MATLAB系統(tǒng)仿真圖因此可以看出原系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，需要加入狀態(tài)反饋，使系統(tǒng)的極點全部位于左半平面，控制系統(tǒng)的各種特性及其品質(zhì)指標在很大程度上是由其閉環(huán)系統(tǒng)的零點和極點的位置決定。極點配置問題就是通過對狀態(tài)反饋矩陣的選擇，使其閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在所希望的位置上，從而達到期望的性能指標的要求。極點配置是一個非常復(fù)雜的問題，是一個工程實踐與理論相結(jié)合的問題。我們這里采用一種工程實踐中經(jīng)常用到的簡便方法-主導(dǎo)極點法，其基本思路是先根據(jù)期望的性能指標和經(jīng)驗公式確定一對主導(dǎo)閉環(huán)極點，然后將另外的非主導(dǎo)極點放在復(fù)平面上

9、遠離主導(dǎo)極點的位置。設(shè)倒立擺控制系統(tǒng)期望的性能指標為：阻尼系數(shù) =0.6，調(diào)節(jié)時間 ts=2s。亦即控制系統(tǒng)在任意給定的初始條件下，能夠以適當?shù)淖枘?#160;=0.6 （大約 10%的超調(diào)），在 2s 鐘內(nèi)將擺桿恢復(fù)到垂直平衡位置。根據(jù)控制理論的經(jīng)驗公式得到無阻尼自然頻率為： n =4/ （ ts ） =4/1.2=3.33 P=wn由上述條件的很容易構(gòu)建一個二階系統(tǒng)，其兩個極點為： p1 = -2.0000 +2 j p2 = -2.0000 -2 j它們就是需要的主導(dǎo)極點，控制系統(tǒng)的性能主要由這兩個主導(dǎo)極點決定。另外兩個非主導(dǎo)極

10、點 （為簡化取兩個實數(shù)極點）經(jīng)過反復(fù)試驗整定，分別取距離兩個主導(dǎo)極點1 倍和 1.5 倍的遠處，即： p3 = -2.0000 p4 = -3.0000本文設(shè)計的狀態(tài)反饋要求系統(tǒng)期望的特征值為：-10;-8;-2+j;-2-j。手算求解狀態(tài)反饋陣K有待定系數(shù)法和直接法，由于矩陣A階數(shù)較高，本文使用Matlab中K=place(A,B,P1)，求解K。A=0,1,0,0;0,0,-0.717,0;0,0,0,1;0,0,15.776,0;B=0;0.976;0;-1.463;C=1,0,0,0;P1=-3;-2;-2+2j;-2-2j;K=place(A,B,P1)K = -3.3453 -4.

11、4604 -36.2550 -9.1274由狀態(tài)反饋矩陣可得狀態(tài)反饋模型仿真圖如下圖所示圖6.SIMULINK狀態(tài)模擬仿真圖初始值M=3，=0.152的零狀態(tài)響應(yīng)，響應(yīng)曲線如下圖所示。圖7.狀態(tài)反饋系統(tǒng) 和 零狀態(tài)響應(yīng)曲線從上圖可以看出在3秒左右，擺桿和豎直方向的夾角=0系統(tǒng)達到穩(wěn)定。2.2最優(yōu)線性二次型對旋轉(zhuǎn)倒立擺的控制線性二次型是指系統(tǒng)的狀態(tài)方程是線性的,性能指標函數(shù)是對象狀態(tài)變量和控制輸入變量的二次型函數(shù)。對于線形系統(tǒng),若性能指標為二次性函數(shù),這樣實現(xiàn)的控制叫做線性二次型最優(yōu)控制。二次型最優(yōu)控制問題就是在線性系統(tǒng)的約束條件下,選擇控制輸入使得二次型目標函數(shù)達到最小。其最終目標是為系統(tǒng)設(shè)計

12、線性二次型調(diào)節(jié)器簡稱LQR。線性二次型最優(yōu)控制方法是20世紀60年代發(fā)展起來的一種普遍采用的最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計方法。在工程實際中應(yīng)用線性二次型最優(yōu)控制是非常普遍的。這是因為,二次型性能指標有較為明確的物理概念;而且采用二次型性能指標在數(shù)學(xué)處理上比較簡單,甚至能得到解析形式表達的線性反饋規(guī)律,可以實現(xiàn)狀態(tài)的線性反饋，線性二次型控制理論是反饋系統(tǒng)設(shè)計的一種重要工具,它為多變量反饋系統(tǒng)的設(shè)計提供了一種有效的分析方法,可以適應(yīng)于時變系統(tǒng),能夠處理擾動信號和測量噪聲問題,并可以處理有限和無限的時間區(qū)間。狀態(tài)調(diào)節(jié)器是指采用狀態(tài)反饋,使狀態(tài)向量的各分量迅速趨近于零,而不消耗很多能量的系統(tǒng)?？紤]系統(tǒng)被控對象的狀

13、態(tài)空間方程為x=AXt+BU(t)y=x(t)其中,x為n維狀態(tài)向量,u為r維控制向量,且不受約束,A為n*n維常數(shù)矩陣,B為n*r維常數(shù)矩陣。尋找一個狀態(tài)反饋控制律u'()t=一Kx()t,即確定最優(yōu)控制矩陣K,使得系統(tǒng)下面的性能指標為最小。J=12xfT+12t0tfxTQtx+uTR(t)udt式中Q為n*n對稱半正定矩陣, R為r*r對稱正定矩陣; F為n*n對稱半正定矩陣?？傻脿顟B(tài)反饋控制律為:u*=-kxt=-R-1BTtP(t)x定義方程給出的線性控制矩陣K為最優(yōu)控制矩陣,因此最優(yōu)控制矩陣K為:K=-R-1BTtP(t)圖8.系統(tǒng)的控制框圖從控制效果來看,LQR是連續(xù)線性

14、二次型最優(yōu)控制函數(shù),用于計算連續(xù)狀態(tài)空間控制方程,LQR指標中引入對控制增量的約束,可以保證控制量的變化不至于太劇烈,且通過加權(quán)系數(shù),可以選擇對跟蹤誤差和控制量的變化的抑制兩方面的側(cè)重過程,LQR指標具有一定的魯棒性。在MATLAB控制工具箱中有解黎卡提方程的專用函數(shù)，對于形式為A+XA-XBX+C=0的代數(shù)黎卡提方程,它的調(diào)用方式為X=are(A,B,C,顯然X代入P(t),A代入A(t),代入B的應(yīng)是BtR-1tBT(t),代入C的應(yīng)是Q（t）。MATLAB也給出了求解線性二次型最優(yōu)調(diào)節(jié)器的函數(shù)lqr,其調(diào)用語句為K，P，E=lqrA,B,Q,R可見公式中的輸入變量都是系統(tǒng)中的已知矩陣,而

15、返回的解除了增益矩陣K和方差陣P之外,還有一個特征根矩陣E,它是特征方程I-A-BK=0的根，根據(jù)它可以判斷系統(tǒng)的動態(tài)穩(wěn)定性。根據(jù)現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制原理利用MATLAB提供的LQR(A,B，Q，R)可以方便的算出控制矩陣K。選擇合適的加權(quán)矩陣Q和R，矩陣Q是用來衡量輸入量與輸出量的敏感程度，從而可以計算出狀態(tài)反饋增益矩陣K。Q和R的選取依據(jù)如下；在一般的情況下,令R矩陣為1,則參數(shù)調(diào)節(jié)的重心集中在Q矩陣的參數(shù)調(diào)節(jié)。Q矩陣通常是對角線常數(shù)陣,對角線上的元素q,分別表示對應(yīng)誤差分量xi的重視程度。越加被重視的誤差分量,希望它越小,相應(yīng)地其加權(quán)系數(shù)q,就應(yīng)取得越大。如果對誤差在動態(tài)過程中不同階段有

16、不同的強調(diào)時,那么,相應(yīng)的qi就應(yīng)取成時變的?，F(xiàn)在開始給定Q矩陣:Q=diag(q1,q2,0,0)參數(shù)的q1主要與伺服齒輪偏轉(zhuǎn)角,而參數(shù)q2主要與擺桿的偏轉(zhuǎn)角度有關(guān)，通過參數(shù)的設(shè)定使得哪一個變量優(yōu)先為0.默認的Q=diag(1 1 0 0),為此保持q2不變慢慢加大q1的值，可以調(diào)出較穩(wěn)定的值?；诂F(xiàn)代控制理論的LQR方法依賴于局部線性化后的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型,在系統(tǒng)平衡點附近的控制效果良好,但是當系統(tǒng)偏離平衡點較大時,非線性因素的影響突顯出來,造成了模型失配和系統(tǒng)發(fā)散。模糊控制不依賴于系統(tǒng)的精確模型,對旋轉(zhuǎn)倒立擺在大范圍內(nèi)控制效果良好,但是在系統(tǒng)平衡點附近對零位的判斷不精確,使得系統(tǒng)出現(xiàn)了較

17、大的穩(wěn)態(tài)誤差,并且在平衡點附近出現(xiàn)了明顯的振蕩。此次研究的單級倒立擺實物為固高公司所產(chǎn)的，下面是MATLAB仿真圖。圖9.MATLAB仿真圖根據(jù)lqr可求得狀態(tài)反饋增益矩陣K選取最簡單Q，R值：在Q=diag(1,0,1,0),R=1;求得狀態(tài)反饋增益K K=-1.0000 -1.7978 78.8811 15.1174加入狀態(tài)反饋增益K后，驗證系統(tǒng)在線性情況下是否穩(wěn)定。加入K后可求得此時系統(tǒng)的極點 P=-5.2182 + 0.0864i -5.2182 - 0.0864i-0.7069 + 0.7069i -0.7069 - 0.7069i極點都具有負實部，系統(tǒng)穩(wěn)定。且系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如下

18、： 由曲線可知，連桿，擺桿的擺動幅度不大，大約在四五秒后穩(wěn)定圖10.系統(tǒng)階躍響應(yīng)在Q=diag(1,0,1,0),R=1時，連桿角度變化圖11.連桿角度的變化圖12. 擺桿角度變化：圖13.輸出曲線Q=diag(5,0,1,0)圖14. 階躍響應(yīng)曲線Q=diag(20,0,1,0)圖15.系統(tǒng)階躍響應(yīng)通過實時仿真得：（1）隨著q11的增大，擺桿角度越大，一直抖動，穩(wěn)定性較差。但達到穩(wěn)定時間較短。（2）q11保持不變，q33增大，倒立擺現(xiàn)象變化不明顯，q33對控制系統(tǒng)靈敏度較小?？偨Y(jié)這次專業(yè)課程設(shè)計，使我明白了控制系統(tǒng)的一些基本的應(yīng)用，對控制有了更深的理解，也發(fā)現(xiàn)了自己的不足，特別是在非線性系統(tǒng)理解與運用上，明顯感覺有點吃力，還有非常感謝靳鴻和崔建峰老師，對我耐心的指導(dǎo)，讓我在這次課程設(shè)計中學(xué)到了許多東西，在此向幫助過我的各位老師表示衷心的感謝！參考文獻1 吳愛國,張小明,張釗.基于lagrange方程建模的單