圓錐曲線經(jīng)典題型總結(jié)含答案

1、圓錐曲線整理1圓錐曲線的定義：(1)橢圓：|MF1|MF2|2a(2a>|F1F2|)；(2)雙曲線：|MF1|MF2|2a(2a<|F1F2|)；(3)拋物線：|MF|d.圓錐曲線的定義是本部分的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，在解題中有廣泛的應(yīng)用，在理解時(shí)要重視“括號(hào)”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個(gè)定點(diǎn)F，F(xiàn)的距離的和等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要大于，當(dāng)常數(shù)等于時(shí)，軌跡是線段FF，當(dāng)常數(shù)小于時(shí)，無軌跡；雙曲線中，與兩定點(diǎn)F，F(xiàn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要小于|FF|，定義中的“絕對(duì)值”與|FF|不可忽視。若|FF|，則軌跡是以F，F(xiàn)為端點(diǎn)的兩條射線，若|FF|，則軌跡不存在。若去掉定義中

2、的絕對(duì)值則軌跡僅表示雙曲線的一支。2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂點(diǎn)）在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程）：（1）橢圓：焦點(diǎn)在軸上時(shí)（）,焦點(diǎn)在軸上時(shí)1（）。（2）雙曲線：焦點(diǎn)在軸上： =1，焦點(diǎn)在軸上：1（）。（3）拋物線：開口向右時(shí)，開口向左時(shí)，開口向上時(shí)，開口向下時(shí)。注意：1.圓錐曲線中求基本量，必須把圓錐曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程。2.圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）：橢圓：由,分母的大小決定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上。雙曲線：由,項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；拋物線：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號(hào)決定開口方向。在橢圓中，最大，在雙

3、曲線中，最大，。3與雙曲線1有相同漸近線的雙曲線方程也可設(shè)為(0)，漸近線方程為y±x的雙曲線方程也可設(shè)為(0)要求雙曲線(0)的漸近線，只需令0即可4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷是利用代數(shù)方法，即將直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系解決直線與圓錐曲線問題的通法(1)設(shè)方程及點(diǎn)的坐標(biāo)(2)聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組，消元得方程(3)應(yīng)用韋達(dá)定理及判別式(4)結(jié)合已知、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率公式及弦長公式求解5若直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且直線P1P2的斜率為k，則弦長|P1P2|x1x2| |y1y2|

4、(k0)|x1x2|，|y1y2|的求法，通常使用根與系數(shù)的關(guān)系，需要作下列變形：|x1x2|，|y1y2|.6與圓錐曲線的弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題(1)通法聯(lián)立方程利用根與系數(shù)的關(guān)系(2)“點(diǎn)差法”點(diǎn)差法的作用是用弦的中點(diǎn)坐標(biāo)表示弦所在直線的斜率點(diǎn)差法的步驟：將兩交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐標(biāo)代入曲線的方程作差消去常數(shù)項(xiàng)后分解因式得到關(guān)于x1x2，x1x2，y1y2，y1y2的關(guān)系式應(yīng)用斜率公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解特別提醒：因?yàn)槭侵本€與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件，故在求解有關(guān)弦長、對(duì)稱問題時(shí)，務(wù)必別忘了檢驗(yàn)！6求曲線方程的基本方法有：(1)直譯法：建系、設(shè)動(dòng)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、證明(可以

5、省略)，此法適用于較簡(jiǎn)單的問題；(2)定義法：如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足已知曲線的定義，則可由曲線的定義直接寫出軌跡方程；(3)相關(guān)點(diǎn)法(坐標(biāo)代換法)：若動(dòng)點(diǎn)P(x，y)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲線上，則可先寫出關(guān)于x1，y1的方程，再根據(jù)x1，y1與x，y的關(guān)系求出P(x，y)的軌跡方程；(4)待定系數(shù)法：若已知曲線的形狀(如橢圓、雙曲線等)，可用待定系數(shù)法；(5)點(diǎn)差法：求與圓錐曲線的弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題，可以設(shè)出兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)，并將其代入圓錐曲線方程，再作差；(6)交軌法：先根據(jù)條件求出兩條動(dòng)曲(直)線的交點(diǎn)，然后消去其中的參數(shù)即得軌跡方程.7.常見類型轉(zhuǎn)

6、化： “以弦AB為直徑的圓過點(diǎn)0” （提醒：需討論K是否存在） “點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上、圓外問題”“鈍角、直角、銳角問題”“向量的數(shù)量積小于、等于、大于0問題”<0；=0; >0 “等角、角平分、角互補(bǔ)問題”斜率關(guān)系（或）； 例如： EF平分一、圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，性質(zhì)及應(yīng)用例1. (1)如圖，已知圓O的方程為x2+y2=100,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-6,0),M為圓O上的任意一點(diǎn),AM的垂直平分線交OM于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡方程（ ） A.+=1B. =1C.+ =1D. - =1解：由于P為AM的垂直平分線上的點(diǎn)，|PA|=|PM|所以|PA|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|=

7、R=10>|OA|=6根據(jù)橢圓的定義知:P點(diǎn)軌跡方程為+=1.所以選A (2)設(shè)F為拋物線y24x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若0，則|()A9 B6 C4 D3設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，拋物線焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1.由已知得x1x2x33，y1y2y30，而|FA|x1(1)x11，|FB|x2(1)x21，|FC|x3(1)x31，|FA|FB|FC|x11x21x31(x1x2x3)3336.例2.(1)若雙曲線1(a>0，b>0)與直線yx無交點(diǎn)，則離心率e的取值范圍為()A(1,2) B(1,2 C(1，) D(1，

8、(2)函數(shù)y的圖象上至少存在不同的三點(diǎn)到(1,0)的距離構(gòu)成等比數(shù)列，則公比的取值范圍是_（3）設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為,如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（ ）（A） （B） （C） （D）（4）橢圓的右焦點(diǎn)，其右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為A，在橢圓上存在點(diǎn)P滿足線段AP的垂直平分線過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）w_w_w.k*s 5*u.c o*m（A） （B） （C） （D） A. B. C. D. (6)一只雙曲線O為雙曲線的中心，P是雙曲線右支上的點(diǎn)，的內(nèi)切圓的圓心為I,且圓I與x 軸相切與點(diǎn)A,過作直線PI的垂線，垂足為B，若雙曲線的離心率e=,則

9、( ) A. B. C. D.解析 (1)因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y±x，要使直線yx與雙曲線無交點(diǎn)，則直線yx，應(yīng)在兩漸近線之間，所以有，即ba，所以b23a2，c2a23a2，即c24a2，e24，所以1<e2，選B.(2)函數(shù)y可變?yōu)?(y0)，(1,0)為橢圓的右焦點(diǎn)，上半橢圓上點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最大值和最小值分別為3和1.此數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列；要使等比數(shù)列公比最大，只要首項(xiàng)最小，末項(xiàng)最大即可，所以公比最大值為，要使等比數(shù)列公比最小，只要首項(xiàng)最大，末項(xiàng)最小即可，所以最小值為.（3）【解析】選D.不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)其方程為：，則一個(gè)焦點(diǎn)為一條漸近線斜率為：，直線的斜率

10、為：， 即e2-e-1=0,所以或（舍去）（4）解析：由題意，橢圓上存在點(diǎn)P，使得線段AP的垂直平分線過點(diǎn)，即F點(diǎn)到P點(diǎn)與A點(diǎn)的距離相等w_w w. k#s5_u.c o*m而|FA| w_w_w.k*s 5*u.c o*m |PF|ac,ac于是ac,ac即acc2b2acc2（5）答案：B(6) 答案：C解析：依題意設(shè)內(nèi)切圓與的切點(diǎn)分別為M,N,A.且。設(shè)A的橫坐標(biāo)為x，可得c+x-(c-x)=2a,即x=a,所以；延長則B為中點(diǎn)，O為的中點(diǎn)，又因?yàn)槿?、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例3 .過拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若|AF|3，則AOB的面積為()A.

11、B. C. D2變式題 過拋物線y22px焦點(diǎn)F作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB為()A銳角三角形 B直角三角形C不確定 D鈍角三角形例3答案 C 解析 如圖，設(shè)A(x0，y0)(y0<0)易知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1,0)，拋物線的準(zhǔn)線方程為x1，故由拋物線的定義得|AF|x0(1)3，解得x02，所以y02，故點(diǎn)A(2，2)則直線AB的斜率為k2，直線AB的方程為y2x2，聯(lián)立 消去y得2x25x20，由x1x21，得A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之積為1，所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為.再由拋物線的定義得，3.又因?yàn)辄c(diǎn)O到直線AB的距離為d，所以SAOB××.變式

12、題 答案 D解析 設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為(x1，y1)，(x2，y2)，則·(x1，y1)·(x2，y2)x1x2y1y2p2p2<0，所以AOB為鈍角，故OAB一定為鈍角三角形五、圓錐曲線背景下的定點(diǎn)問題例5(2012年·福建卷)如圖，橢圓E：1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率e.過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且ABF2的周長為8.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)動(dòng)直線l：ykxm與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x4相交于點(diǎn)Q.試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在

13、，說明理由解析(1)因?yàn)閨AB|AF2|BF2|8，即|AF1|F1B|AF2|BF2|8.又|AF1|AF2|BF1|BF2|2a，所以4a8，a2.又因?yàn)閑，即，所以c1，所以b.故橢圓E的方程是1.(2)由消去y得(4k23)x28kmx4m2120.因?yàn)閯?dòng)直線l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P(x0，y0)，所以m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化簡(jiǎn)得4k2m230. (*)所以P(，)由得Q(4，4km)假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，由圖形對(duì)稱性知，點(diǎn)M必在x軸上設(shè)M(x1，0)，則對(duì)滿足(*)式的m，k恒成立因?yàn)?(x1，)，=(4x1，4km)，由，得4x1x3

14、0，整理，得(4x14)x4x130.(* *)由于(* *)式對(duì)滿足(*)式的m，k恒成立，所以解得x11.故存在定點(diǎn)M(1，0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M.跟蹤練習(xí)解析：（1）由題意知，c=1根據(jù)橢圓定義得，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)Q（m,0）,使得恒成立。當(dāng)直線解得當(dāng)直線由于當(dāng)直線與橢圓方程聯(lián)立得 法二：假設(shè)存在，設(shè)Q (t,0)則六、圓錐曲線背景下的定值問題例6：(2012·湖南卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1上的點(diǎn)均在圓C2：(x5)2y29外，且對(duì)C1上任意一點(diǎn)M，M到直線x2的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值(1)求曲線C1的方

15、程；(2)設(shè)P(x0，y0)(y0±3)為圓C2外一點(diǎn)，過P作圓C2的兩條切線，分別與曲線C1相交于點(diǎn)A，B和C，D.證明：當(dāng)P在直線x4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值解：(1)方法1：設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，由已知得|x2|3，易知圓C2上的點(diǎn)位于直線x2的右側(cè)，于是x2>0，所以x5.化簡(jiǎn)得曲線C1的方程為y220x.方法2：由題設(shè)知，曲線C1上任意一點(diǎn)M到圓心C2(5,0)的距離等于它到直線x5的距離，因此，曲線C1是以(5,0)為焦點(diǎn)，直線x5為準(zhǔn)線的拋物線，故其方程為y220x.(2)證明：當(dāng)點(diǎn)P在直線x4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P的坐標(biāo)為(4，y0)，又y0

16、77;3，則過P且與圓C2相切的直線的斜率k存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，切線方程為yy0k(x4)，即kxyy04k0.于是3.整理得72k218y0ky90.設(shè)過P所作的兩條切線PA，PC的斜率分別為k1，k2，則k1，k2是方程的兩個(gè)實(shí)根，故k1k2.由得k1y220y20(y04k1)0.設(shè)四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，y3，y4，則y1，y2是方程的兩個(gè)實(shí)根，所以y1·y2.同理可得 y3·y4.于是由，三式得y1y2y3y46 400.所以，當(dāng)P在直線x4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值6 400.跟蹤訓(xùn)練已知雙曲線C：

17、x21，過圓O：x2y22上任意一點(diǎn)作圓的切線l，若l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，證明：AOB的大小為定值證明當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為x±.當(dāng)x時(shí)，代入雙曲線方程，得y±，即A(，)，B(，)，此時(shí)AOB90°.同理當(dāng)x時(shí)，AOB90°.當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為ykxb，則，即b22(1k2)由直線方程和雙曲線方程消掉y，得(2k2)x22kbx(b22)0，由于直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，故2k20，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2，故x1x2y1y

18、2.由于b22(1k2)，故x1x2y1y20，即·0，AOB90°.綜上可知，若l交雙曲線A，B兩點(diǎn)，AOB的大小為定值七、圓錐曲線背景下的最值問題例7 已知圓C的方程為x2y24，過點(diǎn)M(2,4)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓T：1(a>b>0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn).(1)求橢圓T的方程;(2)若直線l與橢圓T相交于P，Q兩不同點(diǎn)，直線l方程為ykx(k>0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求OPQ面積的最大值.解：(1)由題意：一條切線方程為x2，設(shè)另一條切線方程為y4k(x2)，則2，解得k，此時(shí)切線方程為yx，切線方程與圓方程聯(lián)立得：x，y

19、，則直線AB的方程為x2y2.令x0，解得y1，b1；令y0，得x2，a2.故所求橢圓方程為y21.(2)聯(lián)立整理得(14k2)x28kx80，(8k)232(14k2)>0，即2k21>0.令P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x2，x1x2，原點(diǎn)到直線l的距離為d，|PQ|x1x2|，SOPQ|PQ|·d|x1x2|2·2·2·1.當(dāng)且僅當(dāng)k時(shí)取等號(hào)，則OPQ面積的最大值為1.變式：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)C(0，p)作直線與拋物線x22py(p>0)相交于A，B兩點(diǎn)(1)若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求ANB面

20、積的最小值；(2)是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程，若不存在，說明理由(1) 設(shè)直線AB的斜率為k，A(x1，y1)B(x2，y2)，由題意知：C(0，p)，N(0，p)，則l的方程為ykxp，與x22py聯(lián)立消去y得，x22pkx2p20.所以x1x22pk，x1x22p2 2分又因?yàn)镾ANBSANCSBNC，CN2p.所以SANB×2p|x1x2|p2p2.4分所以，當(dāng)k0時(shí)，(SABN)min2p2.6分(2)易得以AC為直徑的圓的方程為(x0)(xx1)(yp)·(yy1)0.8分假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為ya，代入圓的方程，整理得x2x1x(ap)(ay1)0.設(shè)直線l與圓的交點(diǎn)為P(x3，y3)，Q(x4，y4)由弦長公式并結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得PQ|x3x4|2.12分由此知，當(dāng)a時(shí)，PQp為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y.九與圓的綜合應(yīng)用已知直線l1:4x:-3y+6=0和直線l2x=-p/2:.若拋物線C:y2=2px上的點(diǎn)到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為2.(I ) 求 拋 物 線C的方程；(II)若以拋 物 線上任意一點(diǎn)M為切點(diǎn)的直線l與直線l2交于點(diǎn)N，試問在x軸上是否存 在定點(diǎn)Q，使Q點(diǎn)在以MN為直徑的圓上，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明