圓錐曲線題型總結(jié)含答案

1、圓錐曲線整理1圓錐曲線的定義：(1)橢圓：|MF1|MF2|2a(2a>|F1F2|)；(2)雙曲線：|MF1|MF2|2a(2a<|F1F2|)；(3)拋物線：|MF|d.圓錐曲線的定義是本部分的一個重點內(nèi)容，在解題中有廣泛的應(yīng)用，在理解時要重視“括號”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個定點F，F(xiàn)的距離的和等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要大于，當(dāng)常數(shù)等于時，軌跡是線段FF，當(dāng)常數(shù)小于時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點F，F(xiàn)的距離的差的絕對值等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要小于|FF|，定義中的“絕對值”與|FF|不可忽視。若|FF|，則軌跡是以F，F(xiàn)為端點的兩條射線，若|FF|，則軌跡不存在。若去掉定義中

2、的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。2.圓錐曲線的標準方程（標準方程是指中心（頂點）在原點，坐標軸為對稱軸時的標準位置的方程）：（1）橢圓：焦點在軸上時（）,焦點在軸上時1（）。（2）雙曲線：焦點在軸上： =1，焦點在軸上：1（）。（3）拋物線：開口向右時，開口向左時，開口向上時，開口向下時。注意：1.圓錐曲線中求基本量，必須把圓錐曲線的方程化為標準方程。2.圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程，然后再判斷）：橢圓：由,分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上。雙曲線：由,項系數(shù)的正負決定，焦點在系數(shù)為正的坐標軸上；拋物線：焦點在一次項的坐標軸上，一次項的符號決定開口方向。在橢圓中，最大，在雙

3、曲線中，最大，。3與雙曲線1有相同漸近線的雙曲線方程也可設(shè)為(0)，漸近線方程為y±x的雙曲線方程也可設(shè)為(0)要求雙曲線(0)的漸近線，只需令0即可4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷是利用代數(shù)方法，即將直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)方程組解的個數(shù)判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系解決直線與圓錐曲線問題的通法(1)設(shè)方程及點的坐標(2)聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組，消元得方程(3)應(yīng)用韋達定理及判別式(4)結(jié)合已知、中點坐標公式、斜率公式及弦長公式求解5若直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且直線P1P2的斜率為k，則弦長|P1P2|x1x2| |y1y2|

4、(k0)|x1x2|，|y1y2|的求法，通常使用根與系數(shù)的關(guān)系，需要作下列變形：|x1x2|，|y1y2|.6與圓錐曲線的弦的中點有關(guān)的問題(1)通法聯(lián)立方程利用根與系數(shù)的關(guān)系(2)“點差法”點差法的作用是用弦的中點坐標表示弦所在直線的斜率點差法的步驟：將兩交點A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐標代入曲線的方程作差消去常數(shù)項后分解因式得到關(guān)于x1x2，x1x2，y1y2，y1y2的關(guān)系式應(yīng)用斜率公式及中點坐標公式求解特別提醒：因為是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關(guān)弦長、對稱問題時，務(wù)必別忘了檢驗！6求曲線方程的基本方法有：(1)直譯法：建系、設(shè)動點、列式、化簡、證明(可以

5、省略)，此法適用于較簡單的問題；(2)定義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足已知曲線的定義，則可由曲線的定義直接寫出軌跡方程；(3)相關(guān)點法(坐標代換法)：若動點P(x，y)依賴于另一動點Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲線上，則可先寫出關(guān)于x1，y1的方程，再根據(jù)x1，y1與x，y的關(guān)系求出P(x，y)的軌跡方程；(4)待定系數(shù)法：若已知曲線的形狀(如橢圓、雙曲線等)，可用待定系數(shù)法；(5)點差法：求與圓錐曲線的弦的中點有關(guān)的問題，可以設(shè)出兩個端點坐標，并將其代入圓錐曲線方程，再作差；(6)交軌法：先根據(jù)條件求出兩條動曲(直)線的交點，然后消去其中的參數(shù)即得軌跡方程.7.常見類型轉(zhuǎn)

6、化： “以弦AB為直徑的圓過點0” （提醒：需討論K是否存在） “點在圓內(nèi)、圓上、圓外問題”“鈍角、直角、銳角問題”“向量的數(shù)量積小于、等于、大于0問題”<0；=0; >0 “等角、角平分、角互補問題”斜率關(guān)系（或）； 例如： EF平分一、圓錐曲線的定義及標準方程，性質(zhì)及應(yīng)用例1. (1)如圖，已知圓O的方程為x2+y2=100,點A的坐標為(-6,0),M為圓O上的任意一點,AM的垂直平分線交OM于點P,則點P的軌跡方程（ ） A.+=1B. =1C.+ =1D. - =1解：由于P為AM的垂直平分線上的點，|PA|=|PM|所以|PA|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|=

7、R=10>|OA|=6根據(jù)橢圓的定義知:P點軌跡方程為+=1.所以選A (2)設(shè)F為拋物線y24x的焦點，A，B，C為該拋物線上三點，若0，則|()A9 B6 C4 D3設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，拋物線焦點為F(1,0)，準線方程為x1.由已知得x1x2x33，y1y2y30，而|FA|x1(1)x11，|FB|x2(1)x21，|FC|x3(1)x31，|FA|FB|FC|x11x21x31(x1x2x3)3336.例2.(1)若雙曲線1(a>0，b>0)與直線yx無交點，則離心率e的取值范圍為()A(1,2) B(1,2 C(1，) D(1，

8、(2)函數(shù)y的圖象上至少存在不同的三點到(1,0)的距離構(gòu)成等比數(shù)列，則公比的取值范圍是_（3）設(shè)雙曲線的一個焦點為，虛軸的一個端點為,如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（ ）（A） （B） （C） （D）（4）橢圓的右焦點，其右準線與軸的交點為A，在橢圓上存在點P滿足線段AP的垂直平分線過點，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）w_w_w.k*s 5*u.c o*m（A） （B） （C） （D） A. B. C. D. (6)一只雙曲線O為雙曲線的中心，P是雙曲線右支上的點，的內(nèi)切圓的圓心為I,且圓I與x 軸相切與點A,過作直線PI的垂線，垂足為B，若雙曲線的離心率e=,則

9、( ) A. B. C. D.解析 (1)因為雙曲線的漸近線方程為y±x，要使直線yx與雙曲線無交點，則直線yx，應(yīng)在兩漸近線之間，所以有，即ba，所以b23a2，c2a23a2，即c24a2，e24，所以1<e2，選B.(2)函數(shù)y可變?yōu)?(y0)，(1,0)為橢圓的右焦點，上半橢圓上點到右焦點距離的最大值和最小值分別為3和1.此數(shù)列為正項數(shù)列；要使等比數(shù)列公比最大，只要首項最小，末項最大即可，所以公比最大值為，要使等比數(shù)列公比最小，只要首項最大，末項最小即可，所以最小值為.（3）【解析】選D.不妨設(shè)雙曲線的焦點在軸上，設(shè)其方程為：，則一個焦點為一條漸近線斜率為：，直線的斜率

10、為：， 即e2-e-1=0,所以或（舍去）（4）解析：由題意，橢圓上存在點P，使得線段AP的垂直平分線過點，即F點到P點與A點的距離相等w_w w. k#s5_u.c o*m而|FA| w_w_w.k*s 5*u.c o*m |PF|ac,ac于是ac,ac即acc2b2acc2（5）答案：B(6) 答案：C解析：依題意設(shè)內(nèi)切圓與的切點分別為M,N,A.且。設(shè)A的橫坐標為x，可得c+x-(c-x)=2a,即x=a,所以；延長則B為中點，O為的中點，又因為三、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例3 .過拋物線y24x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標原點若|AF|3，則AOB的面積為()A.

11、B. C. D2變式題 過拋物線y22px焦點F作直線l交拋物線于A，B兩點，O為坐標原點，則OAB為()A銳角三角形 B直角三角形C不確定 D鈍角三角形例3答案 C 解析 如圖，設(shè)A(x0，y0)(y0<0)易知拋物線y24x的焦點為F(1,0)，拋物線的準線方程為x1，故由拋物線的定義得|AF|x0(1)3，解得x02，所以y02，故點A(2，2)則直線AB的斜率為k2，直線AB的方程為y2x2，聯(lián)立 消去y得2x25x20，由x1x21，得A，B兩點橫坐標之積為1，所以點B的橫坐標為.再由拋物線的定義得，3.又因為點O到直線AB的距離為d，所以SAOB××.變式

12、題 答案 D解析 設(shè)點A，B的坐標為(x1，y1)，(x2，y2)，則·(x1，y1)·(x2，y2)x1x2y1y2p2p2<0，所以AOB為鈍角，故OAB一定為鈍角三角形五、圓錐曲線背景下的定點問題例5(2012年·福建卷)如圖，橢圓E：1(a>b>0)的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率e.過F1的直線交橢圓于A、B兩點，且ABF2的周長為8.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)動直線l：ykxm與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x4相交于點Q.試探究：在坐標平面內(nèi)是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在

13、，說明理由解析(1)因為|AB|AF2|BF2|8，即|AF1|F1B|AF2|BF2|8.又|AF1|AF2|BF1|BF2|2a，所以4a8，a2.又因為e，即，所以c1，所以b.故橢圓E的方程是1.(2)由消去y得(4k23)x28kmx4m2120.因為動直線l與橢圓E有且只有一個公共點P(x0，y0)，所以m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化簡得4k2m230. (*)所以P(，)由得Q(4，4km)假設(shè)平面內(nèi)存在定點M滿足條件，由圖形對稱性知，點M必在x軸上設(shè)M(x1，0)，則對滿足(*)式的m，k恒成立因為=(x1，)，=(4x1，4km)，由，得4x1x3

14、0，整理，得(4x14)x4x130.(* *)由于(* *)式對滿足(*)式的m，k恒成立，所以解得x11.故存在定點M(1，0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點M.跟蹤練習(xí)解析：（1）由題意知，c=1根據(jù)橢圓定義得，所以，所以橢圓C的標準方程為（2）假設(shè)在x軸上存在定點Q（m,0）,使得恒成立。當(dāng)直線解得當(dāng)直線由于當(dāng)直線與橢圓方程聯(lián)立得 法二：假設(shè)存在，設(shè)Q (t,0)則六、圓錐曲線背景下的定值問題例6：(2012·湖南卷)在直角坐標系xOy中，曲線C1上的點均在圓C2：(x5)2y29外，且對C1上任意一點M，M到直線x2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值(1)求曲線C1的方

15、程；(2)設(shè)P(x0，y0)(y0±3)為圓C2外一點，過P作圓C2的兩條切線，分別與曲線C1相交于點A，B和C，D.證明：當(dāng)P在直線x4上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標之積為定值解：(1)方法1：設(shè)M的坐標為(x，y)，由已知得|x2|3，易知圓C2上的點位于直線x2的右側(cè)，于是x2>0，所以x5.化簡得曲線C1的方程為y220x.方法2：由題設(shè)知，曲線C1上任意一點M到圓心C2(5,0)的距離等于它到直線x5的距離，因此，曲線C1是以(5,0)為焦點，直線x5為準線的拋物線，故其方程為y220x.(2)證明：當(dāng)點P在直線x4上運動時，P的坐標為(4，y0)，又y0

16、77;3，則過P且與圓C2相切的直線的斜率k存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個交點，切線方程為yy0k(x4)，即kxyy04k0.于是3.整理得72k218y0ky90.設(shè)過P所作的兩條切線PA，PC的斜率分別為k1，k2，則k1，k2是方程的兩個實根，故k1k2.由得k1y220y20(y04k1)0.設(shè)四點A，B，C，D的縱坐標分別為y1，y2，y3，y4，則y1，y2是方程的兩個實根，所以y1·y2.同理可得 y3·y4.于是由，三式得y1y2y3y46 400.所以，當(dāng)P在直線x4上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標之積為定值6 400.跟蹤訓(xùn)練已知雙曲線C：

17、x21，過圓O：x2y22上任意一點作圓的切線l，若l交雙曲線于A，B兩點，證明：AOB的大小為定值證明當(dāng)切線的斜率不存在時，切線方程為x±.當(dāng)x時，代入雙曲線方程，得y±，即A(，)，B(，)，此時AOB90°.同理當(dāng)x時，AOB90°.當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為ykxb，則，即b22(1k2)由直線方程和雙曲線方程消掉y，得(2k2)x22kbx(b22)0，由于直線l與雙曲線交于A，B兩點，故2k20，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2，故x1x2y1y

18、2.由于b22(1k2)，故x1x2y1y20，即·0，AOB90°.綜上可知，若l交雙曲線A，B兩點，AOB的大小為定值七、圓錐曲線背景下的最值問題例7 已知圓C的方程為x2y24，過點M(2,4)作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓T：1(a>b>0)的右頂點和上頂點.(1)求橢圓T的方程;(2)若直線l與橢圓T相交于P，Q兩不同點，直線l方程為ykx(k>0)，O為坐標原點，求OPQ面積的最大值.解：(1)由題意：一條切線方程為x2，設(shè)另一條切線方程為y4k(x2)，則2，解得k，此時切線方程為yx，切線方程與圓方程聯(lián)立得：x，y

19、，則直線AB的方程為x2y2.令x0，解得y1，b1；令y0，得x2，a2.故所求橢圓方程為y21.(2)聯(lián)立整理得(14k2)x28kx80，(8k)232(14k2)>0，即2k21>0.令P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x2，x1x2，原點到直線l的距離為d，|PQ|x1x2|，SOPQ|PQ|·d|x1x2|2·2·2·1.當(dāng)且僅當(dāng)k時取等號，則OPQ面積的最大值為1.變式：在平面直角坐標系xOy中，過定點C(0，p)作直線與拋物線x22py(p>0)相交于A，B兩點(1)若點N是點C關(guān)于坐標原點O的對稱點，求ANB面

20、積的最小值；(2)是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程，若不存在，說明理由(1) 設(shè)直線AB的斜率為k，A(x1，y1)B(x2，y2)，由題意知：C(0，p)，N(0，p)，則l的方程為ykxp，與x22py聯(lián)立消去y得，x22pkx2p20.所以x1x22pk，x1x22p2 2分又因為SANBSANCSBNC，CN2p.所以SANB×2p|x1x2|p2p2.4分所以，當(dāng)k0時，(SABN)min2p2.6分(2)易得以AC為直徑的圓的方程為(x0)(xx1)(yp)·(yy1)0.8分假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為ya，代入圓的方程，整理得x2x1x(ap)(ay1)0.設(shè)直線l與圓的交點為P(x3，y3)，Q(x4，y4)由弦長公式并結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得PQ|x3x4|2.12分由此知，當(dāng)a時，PQp為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y.九與圓的綜合應(yīng)用已知直線l1:4x:-3y+6=0和直線l2x=-p/2:.若拋物線C:y2=2px上的點到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為2.(I ) 求 拋 物 線C的方程；(II)若以拋 物 線上任意一點M為切點的直線l與直線l2交于點N，試問在x軸上是否存 在定點Q，使Q點在以MN為直徑的圓上，若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明