圓錐曲線離心率的求法總結(jié)教師

1、離心率的專題復(fù)習(xí)橢圓的離心率，雙曲線的離心率，拋物線的離心率一、直接求出、，求解已知圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程或、易求時(shí)，可利用率心率公式來解決。例1：已知、是雙曲線（）的兩焦點(diǎn)，以線段為邊作正三角形，若邊的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（ ）A. B. C. D. 解1：變式練習(xí)1：若橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為、，則其離心率為（ ）A. B. C. D. 解：由、知 ，又橢圓過原點(diǎn)，所以離心率.故選C.變式練習(xí)2： 點(diǎn) 在橢圓（）的左準(zhǔn)線上，過點(diǎn)且方向?yàn)?的光線，經(jīng)直線反射后通過橢圓的左焦點(diǎn)，則這個(gè)橢圓的離心率為（ ）A B C D 解：由題意知，入射光線為，關(guān)于的反射光線（對(duì)稱關(guān)系）為，則解得，則

2、，故選A變式練習(xí)3：2016·全國(guó)卷 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C （）的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，且PFx軸過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為()A. B. C. D. 12A解析 設(shè)M(c，y0)，則AM所在直線方程為y(xa)，令x0，得E（0，）.BM所在直線方程為y(xa)，令x0，得y.由題意得×，解得a3c，即e.2、 構(gòu)造、的齊次式，解出根據(jù)題設(shè)條件，借助、之間的關(guān)系，構(gòu)造、的關(guān)系（特別是齊二次式），進(jìn)而得到關(guān)于的一元方程，從而解得離心率。例2：設(shè)雙曲線（）的半焦距為，直線過，兩點(diǎn)

3、.已知原點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為( )A. B. C. D. 解：由已知，直線的方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式，得，又, ,兩邊平方，得，整理得，得或，又 ，故選A變式練習(xí)1：雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為、，則雙曲線的離心率為（ ）A B C D 解：如圖所示，不妨設(shè)，則，又，在中， 由余弦定理，得,即， ，故選B變式練習(xí)2：【2017課標(biāo)3，文11】已知橢圓C：，（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為（ ）A B CD【答案】A變式練習(xí)3：2016·全國(guó)卷文 直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若

4、橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的，則該橢圓的離心率為()A. B. C. D. 解析 不妨設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)F(c，0)和頂點(diǎn)(0，b)，則直線l的方程為1，橢圓中心到直線l的距離為×2b.又a2b2c2，所以離心率e. B三、采用離心率的定義以及橢圓的定義求解例3：設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，過作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是_。解：變式練習(xí)1已知長(zhǎng)方形ABCD，AB4，BC3，則以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的離心率為 . 變式練習(xí)2已知F1、F2是雙曲線的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的

5、離心率是 . 變式練習(xí)3如圖，和分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為 . 四、根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解例4：設(shè)橢圓（）的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，若過且垂直于軸的弦的長(zhǎng)等于點(diǎn)到的距離，則橢圓的離心率是.解：如圖所示，是過且垂直于軸的弦，于，為到準(zhǔn)線的距離，根據(jù)橢圓的第二定義， 變式練習(xí)1：在給定橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，則該橢圓的離心率為（ ）A B C D 解：變式練習(xí)2：已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,過且斜率為的直線交于兩點(diǎn)，若,則的離心率為 . 變式練習(xí)3：已知橢圓C：（a>b>0

6、）的離心率為，過右焦點(diǎn)F且斜率為k（k>0）的直線于C相交于A、B兩點(diǎn)，若，則k = . 五、構(gòu)建關(guān)于的不等式，求的取值范圍：一般來說，求橢圓或雙曲線的離心率的取值范圍，通?？梢詮膬蓚€(gè)方面來研究：一是考慮幾何的大小，例如線段的長(zhǎng)度、角的大小等；二是通過設(shè)橢圓（或雙曲線）點(diǎn)的坐標(biāo)，利用橢圓或雙曲線本身的范圍，列出不等式（一）基本問題例橢圓的焦點(diǎn)為，兩條準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)分別為，若，則該橢圓離心率的取值范圍是 Ex1設(shè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是 Ex2【2017課標(biāo)II，文5】若，則雙曲線的離心率的取值范圍是A. B. C. D. 【答案】C【解析】由題意，因?yàn)椋?，則，故選C.【考點(diǎn)】雙曲線離心率【名師點(diǎn)睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.（二）數(shù)形結(jié)合例已知橢