四年級(jí)奧數(shù)數(shù)字謎綜合有答案

1、第十九講 數(shù)字謎綜合（二）內(nèi)容概述 涉及質(zhì)數(shù)與合數(shù)等概念,以及需要利用數(shù)的整除特征、分解質(zhì)因數(shù)等數(shù)論手段解的數(shù)字謎問(wèn)題典型問(wèn)題 1.試將1,2,3,4,5,6,7分別填入下面的方框中,每個(gè)數(shù)字只用一次: 口口口(這是一個(gè)三位數(shù)).口口口(這是一個(gè)三位數(shù)),口(這是一個(gè)一位數(shù)),使得這三個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)都互質(zhì).已知其中一個(gè)三位數(shù)已填好,它是714,求其他兩個(gè)數(shù) 【分析與解】 714=2×3×7×17 由此可以看出,要使最下面方框中的數(shù)與714互質(zhì),在剩下未填的數(shù)字2,3,5，6中只能選5，也就是說(shuō)，第三個(gè)數(shù)只能是5 現(xiàn)在來(lái)討論第二個(gè)數(shù)的三個(gè)方框中應(yīng)該怎樣填2,3,6這

2、3個(gè)數(shù)字 因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)偶數(shù)都有公約數(shù)2,而714是偶數(shù),所以第二個(gè)的三位數(shù)不能是偶數(shù),因此個(gè)位數(shù)字只能是3.這樣一來(lái),第二個(gè)三位數(shù)只能是263或623.但是623能被7整除,所以623與714不互質(zhì) 最后來(lái)看263這個(gè)數(shù).通過(guò)檢驗(yàn)可知:714的質(zhì)因數(shù)2,3,7和17都不是263的因數(shù),所以714與263這兩個(gè)數(shù)互質(zhì) 顯然,263與5也互質(zhì)因此,其他兩個(gè)數(shù)為263和52.如圖19-1,4個(gè)小三角形的頂點(diǎn)處有6個(gè)圓圈.如果在這些圓圈中分別填上6個(gè)質(zhì)數(shù)，它們的和是20，而且每個(gè)小三角形3個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)之和相等.問(wèn)這6個(gè)質(zhì)數(shù)的積是多少? 【分析與解】 設(shè)每個(gè)小三角形三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)的和都是S.4個(gè)小三角形

3、的和S相加時(shí),中間三角形每個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)被算了3次,所以 4S=2S+20,即S=10 這樣,每個(gè)小三角形頂點(diǎn)上出現(xiàn)的三個(gè)質(zhì)數(shù)只能是2,3,5,從而六個(gè)質(zhì)數(shù)是2,2,3,3,5,5,它們的積是：2×2×3×3×5×5=9003.在圖19-2.所示算式的每個(gè)方框內(nèi)填人一個(gè)數(shù)字,要求所填的數(shù)字都是質(zhì)數(shù),并使豎式成立 【分析與解】記兩個(gè)乘數(shù)為和cd其中a、b、c、d的值只能取自2、3、5或7 由已知條件,b與c相乘的個(gè)位數(shù)字仍為質(zhì)數(shù),這只可能是b與c中有一個(gè)是5另一個(gè)是3、5或7,如果b不是5,那么c必然是5,但73×5=365、77

4、5;5=385的十位數(shù)字都不是質(zhì)數(shù).因此b是5,c是3、5、7中的一個(gè),同樣道理,d也是3、5、7中的一個(gè) 再由已知條件,的乘積的各位數(shù)字全是質(zhì)數(shù),所以乘積肯定大于2000,滿足積大于2000且a、c取質(zhì)數(shù),只有以下六種情況： 775×3=2325,575×5=2875,775×5=3875,375×7=2625,575×7=4025,775×7=5425 其中只有第一組的結(jié)果各位數(shù)字是質(zhì)數(shù),因此a=7,c=3，同理,d也是3最終算式即為775×33=255754.把一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與其十位數(shù)字交換后得到一個(gè)新數(shù),它與原

5、來(lái)的數(shù)加起來(lái)恰好是某個(gè)自然數(shù)的平方.那么這個(gè)和數(shù)是多少? 【分析與解】 設(shè)原來(lái)的兩位數(shù)為,則交換十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字后的兩位數(shù)為,兩個(gè)數(shù)的和為,兩個(gè)數(shù)和為 =是ll的倍數(shù),因?yàn)樗峭耆椒綌?shù),所以也是11 ×11=121的倍數(shù).但是這個(gè)和小于100+100=200<121×2,所以這個(gè)和數(shù)只能是1215. 迎杯×春杯=好好好 在上面的乘法算式中,不同的漢字表示不同的數(shù)字,相同的漢字表示相同的數(shù)字.那么“迎+春+杯+好”之和等于多少? 【分析與解】 好好好=好×111=好×3×37 那么37必定是“迎杯”或“春杯”的約數(shù),不妨設(shè)為“

6、迎杯”的約數(shù),那么“迎杯”為37或74 當(dāng)“迎杯”為37時(shí),“春杯”為“好”×3,且“杯”為7,此時(shí)“春杯”為27,“好”為9,“迎+春+杯+好”之和為3+2+7+9=21； 當(dāng)“迎杯”為74時(shí),“春杯”為“好”×3÷2,且“杯”為4,此時(shí)“春杯”為24,“好”為16,顯然不滿足 所以“迎+春+杯+好”之和為3+2+7+9=216 數(shù)數(shù)×科學(xué)=學(xué)數(shù)學(xué) 在上面的算式中,每一漢字代表一個(gè)數(shù)字,不同的漢字代表不同的數(shù)字.那么“數(shù)學(xué)”所代表的兩位數(shù)是多少? 【分析與解】 “學(xué)數(shù)學(xué)”是“數(shù)數(shù)”的倍數(shù)，因而是“數(shù)”與1l的倍數(shù).學(xué)數(shù)學(xué)=學(xué)×101+數(shù)

7、15;10是“數(shù)”的倍數(shù),而101是質(zhì)數(shù),所以“學(xué)”一定是“數(shù)”的倍數(shù) 又“學(xué)數(shù)學(xué)”是11的倍數(shù),因而:“學(xué)+學(xué)-數(shù)”為11的倍數(shù) 因?yàn)椤皩W(xué)”是“數(shù)”的倍數(shù),從上式推出“數(shù)”是11的約數(shù),所以“數(shù)”=1,“學(xué)”=(11+1)÷2=6 “數(shù)學(xué)”所代表的兩位數(shù)是167.將1,2,3,4,5,6,7,8,9這9個(gè)數(shù)字分別填人下式的各個(gè)方框中,可使此等式成立:口口×口口=口口×口口口=3634填好后得到三個(gè)兩位數(shù)和一個(gè)三位數(shù),這三個(gè)兩位數(shù)中最大的一個(gè)是多少? 【分析與解】 3634=2×23×79,表達(dá)為兩個(gè)兩位數(shù)的乘積只能是(2×23)&#

8、215;79,即46×79； 表達(dá)為一個(gè)兩位數(shù)與一個(gè)三位數(shù)的乘積,只能是23×(2×79)=23×158滿足題意,所以這三個(gè)兩位數(shù)中最大的一個(gè)是798.六年級(jí)的學(xué)生總?cè)藬?shù)是三位數(shù),其中男生占,男生人數(shù)也是三位數(shù),而組成以上兩個(gè)三位數(shù)的6個(gè)數(shù)字,恰好是l,2,3,4,5,6.那么六年級(jí)共有學(xué)生多少人? 【分析與解】 設(shè)六年級(jí)總?cè)藬?shù)為,其中男生有人 有×=,即5=3,其中為5的倍數(shù),所以z為5.而為3的倍數(shù)，所以其數(shù)字和a+b+c應(yīng)為3的倍數(shù),則在剩下的5個(gè)數(shù)中,a、b、c(不計(jì)順序)只能為1,2,6或l,2,3或4,2,6或4,2,3 而c不能是

9、偶數(shù)(不然z應(yīng)為0),所以只能是l,2,6或1,2,3或4,2,3可能滿足；又因?yàn)樽畲鬄?45,對(duì)應(yīng)為387,即c不超過(guò)3 于是有可能為261,123,321,213,231,243這6種可能,驗(yàn)證只有當(dāng)=261時(shí),對(duì)應(yīng)為261÷3×5=435所以六年級(jí)共有學(xué)畢435人.9.圖19-3是三位數(shù)與一位數(shù)相乘的算式,在每個(gè)方格填入一個(gè)數(shù)字,使算式成立.那么共有多少種不同的填法?【分析與解】 設(shè)1992=×d(a,b,c,d可以相同),有1992=2×2×2×3×83,其中d可以取2,3，4，6,8這5種,對(duì)應(yīng)的算式填法有5種10

10、.在圖19-4殘缺的算式中,只寫(xiě)出3個(gè)數(shù)字l,其余的數(shù)字都不是1.那么這個(gè)算式的乘積是多少?【分析與解】 如下圖所示,為了方便說(shuō)明,將某些數(shù)用字母標(biāo)出 第4行口口1對(duì)應(yīng)為AB×C,其個(gè)位為1,那么B×C的個(gè)位數(shù)字也是1,而B(niǎo)、C又均不能為1,所以只有3×7,9×9對(duì)應(yīng)為1,那么B為9、7或3 第3行10口對(duì)應(yīng)為AB×D,可能為100、102、103、104、105、106、107、108、109.103、107、109均為質(zhì)數(shù),沒(méi)有兩位數(shù)的約數(shù),不滿足； 100、105沒(méi)有個(gè)位數(shù)字為3、7、9的約數(shù),不滿足； 102=17×6、104

11、=13×8、106=53×2、108=27×4,但102、104對(duì)應(yīng)的AB中4均為1,不滿足 所以AB為53或27 當(dāng)AB為27時(shí),第4行為27×C,且個(gè)位數(shù)字為1,所以只能為27×3=8l,但不是三位數(shù),不滿足當(dāng)AB為53時(shí),第4行為53×C,且個(gè)位數(shù)字為1,所以只能為53×7=371,因此被乘數(shù)必須為53,乘數(shù)為72,積為381611.圖19-5是一個(gè)殘缺的乘法豎式,在每個(gè)方框中填入一個(gè)不是2的數(shù)字,可使其成為正確的算式.那么所得的乘積是多少? 【分析與解】 方法一:由已知條件,最后結(jié)果的首位數(shù)字不能是2,因此只能是3.

12、這說(shuō)明千位上作加法時(shí)有進(jìn)位 百位數(shù)上相加時(shí)最多向千位進(jìn)2,所以要使千位數(shù)有進(jìn)位,其中的未知數(shù)字至少是10-2-2=6,即三個(gè)三位數(shù)加數(shù)中的第二個(gè)至少是600.因?yàn)樗堑谝粋€(gè)乘數(shù)與一個(gè)一位數(shù)字的乘積,因此該乘數(shù)肯定大于60 第二個(gè)乘數(shù)的百位數(shù)字與第一個(gè)乘數(shù)的乘積在220229之間,所以它只能是3(否則4×60>229).而220229之間個(gè)位數(shù)字不是2且是3的倍數(shù)的只有225=3×75和228=3×76 如果第一乘數(shù)是75,又第二個(gè)乘數(shù)的百位數(shù)字是3,那么它們的乘積小于75×400=30000,它的首位數(shù)字也就不可能是3,不滿足 乘數(shù)是76,另一個(gè)乘

13、數(shù)就要大于30000÷76>394,那么只有395、396、397、398、399這五種可能,它們與76的乘積依次為30020、30096、30172、30248、30324.由于各個(gè)數(shù)字都不能是2,所以只有76×396=30096滿足題目的要求 算式中所得的乘積為30096 方法二：為了方便說(shuō)明，將某些位置標(biāo)上字母，如下圖所示，因?yàn)楦晌蛔疃噙M(jìn)1，而最終的乘積萬(wàn)位又不能是2，所以只能是3： 而第5行對(duì)應(yīng)為22口=AB×C,其中C不可能為1,又不能為2,那么最小為3 當(dāng)C為3時(shí),22口=AB×3,那么A只能為7,B只能為4,5或6， (1)當(dāng)B為4時(shí)

14、,74×3=222,第5行個(gè)位為2,不滿足題意； (2)當(dāng)B為5時(shí),AB×CDE對(duì)應(yīng)為75×3DE,小于30000,不滿足；(3)當(dāng)B為6時(shí),AB×CDE對(duì)應(yīng)為76×3DE,D只能為9,此時(shí)第4行對(duì)應(yīng)為AB×D即76×9=684.因?yàn)?0000÷76>394,所以39E只有395、396、397、398、399這五種可能,它們與76的乘積依次為30020、30096、30172、30248、30324.由于各個(gè)數(shù)字都不能是2,所以只有76×396=30096滿足題目的要求 驗(yàn)證C取其他值時(shí)沒(méi)有滿足題

15、意的解所以算式中所得的乘積為3009612.請(qǐng)補(bǔ)全圖19-6這個(gè)殘缺的除法豎式.問(wèn)這個(gè)除法算式的商數(shù)是多少? 【分析與解】 易知除號(hào)下第二行的首位為9.除號(hào)下第一行開(kāi)頭兩位為1、0,商的十位為0 第二行9口對(duì)應(yīng)為CD×A， (1)9口不可能為90,不然第一行前三位10口與第二行90的差不可能為一位數(shù),不滿足第三行特征； (2)9口對(duì)應(yīng)為91時(shí),第三行的首位對(duì)應(yīng)為10口-91,最小為9，所以只能為9,那么有91=CD×A,928=CD×B,不可能； (3)9口對(duì)應(yīng)為92時(shí),第三行的首位對(duì)應(yīng)為10口-92,最小為8,所以可能為8、9，如果為9,那么對(duì)應(yīng)有92=CD&#

16、215;A,928=CD×B,不可能； 如果為8,那么對(duì)應(yīng)有92=CD×A,828=CD×B,不難得知A=l,B=9,CD=92時(shí)滿足,那么被除數(shù)為92×109=10028驗(yàn)證沒(méi)有其他的情況滿足,所以這個(gè)除法算式的商數(shù)為109 13.若用相同漢字表示相同數(shù)字,不同漢字表示不同數(shù)字,則在等式學(xué)習(xí)好勤動(dòng)腦×5=勤動(dòng)腦學(xué)習(xí)好×8中,“學(xué)習(xí)好勤動(dòng)腦”所表示的六位數(shù)最小是多少? 【分析與解】 設(shè)“學(xué)習(xí)好”為x,“勤動(dòng)腦”為Y,則“學(xué)習(xí)好勤動(dòng)腦”為1000X+Y,“勤動(dòng)腦學(xué)習(xí)好”為1000y+x， 有(1000x+Y)×5=(1000y

17、+x)×8,化簡(jiǎn)有4992x=7995y,4992=128×3×13,7995=3×41×5×13,即128x=205y,有所以,“學(xué)習(xí)好勤動(dòng)腦”所表示的六位數(shù)可能為205128,410256,615384,820512,但是不能有重復(fù)數(shù)字,所以只有410256,615384滿足,其中最小的是410256 14.互為反序的兩個(gè)自然數(shù)的積是92565,求這兩個(gè)互為反序的自然數(shù).(例如102和201,35和53,11和11,稱為互為反序的數(shù),但120和2l不是互為反序的數(shù)) 【分析與解】 首先可以確定這兩個(gè)自然數(shù)均為三位數(shù),不然得到的乘積

18、不可能為五位數(shù) 設(shè)×=92565,那么C、A中必定有一個(gè)為5,一個(gè)為奇數(shù).不妨設(shè)C為5 ×=92565,那么A只能為1,=92565.又注意到92565=3×3×5×11×1l×17驗(yàn)證只有為165時(shí)滿足,所以這兩個(gè)自然數(shù)為165、56115.開(kāi)放的中國(guó)盼奧運(yùn)×口=盼盼盼盼盼盼盼盼盼 上面的橫式中不同的漢字代表不同的數(shù)字,口代表某個(gè)一位數(shù).那么,“盼”字所代表的數(shù)字是多少? 【分析與解】 我們從“口”中所應(yīng)填入的一位自然數(shù)開(kāi)始分析,設(shè)A=“開(kāi)放的中國(guó)盼奧運(yùn)”,B=“盼盼盼盼盼盼盼盼盼”. 于是B=A×口.顯然口內(nèi)不會(huì)是1 由于口是B的約數(shù),因此口不會(huì)是“盼”所代表的數(shù)字,要不然A就等于111111111,這說(shuō)明口內(nèi)不會(huì)是5,而111111111不是7的倍數(shù),說(shuō)明口內(nèi)也不會(huì)是7 如果口內(nèi)填3,則“盼”只能是1或2,當(dāng)“盼”是1時(shí),B÷3