圓錐曲線中典型問題的求解策略與方法

1、圓錐曲線中典型問題的求解策略與方法 圓錐曲線中的幾個重點問題久考不衰，且常考常新，因此，掌握其求解的基本策略與方法是至關(guān)重要的。一. 求曲線方程問題 求曲線方程問題的基本形式有兩種：一是已知曲線的形狀與位置關(guān)系求曲線方程，即通常所說的“求曲線方程”問題，求解的基本策略是：根據(jù)題設(shè)的“定位”條件，合理選擇曲線方程形式，根據(jù)“定量”條件利用待定系數(shù)法建立關(guān)于特征參數(shù)（a、b、c、e、p）的方程（組），解出有關(guān)參數(shù)，得到所求曲線方程。二是題設(shè)條件給出了點的運動規(guī)律，但難以判斷曲線類型和方程的具體形式，即通常所說的“求軌跡方程”問題，求解的基本策略是：分析清楚動點運動的基本規(guī)律（動點所滿足的幾何條件）

2、，把該條件坐標(biāo)化，使條件坐標(biāo)化的常用方法有定義法、直接法、代點法、轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法、向量法等。 例1. 如圖1所示，拋物線的準線和焦點分別是雙曲線的右準線和右焦點，直線與拋物線及雙曲線在第一象限分別交于A、B兩點，且A為OB中點。圖1 （1）當(dāng)時，求雙曲線漸近線的斜率； （2）在（1）的條件下，若雙曲線的一條漸近線在y軸上截距為，求拋物線和雙曲線方程。 分析：（1）注意，故需求出e； （2）由題意知雙曲線方程為 根據(jù)已知條件利用特征參數(shù)a、b、c、p的關(guān)系可獲解 解：（1）由，得點A（p，）或A（）（舍去） 由A是OB的中點，得點B（2p，） 則，且點B到準線的距離為 由離心率及雙曲線定義，得：

3、 （2）依題意設(shè)雙曲線方程為，則雙曲線的一條漸近線方程為，由漸近線在y軸上截距為，得，從而知雙曲線的半焦距c4。 由，得 所求雙曲線方程為 所求拋物線方程為 評注：圓錐曲線中的特征參數(shù)a、b、c、e、p（焦點到相應(yīng)準線的距離）及其間的關(guān)系：（橢圓取“”，雙曲線取“”），反映了圓錐曲線的本質(zhì)屬性，且與坐標(biāo)系的選取無關(guān)，在解決圓錐曲線的諸多問題中起著十分重要的作用。二. 直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題 求解的基本策略是，將其轉(zhuǎn)化為直線與圓錐曲線方程的方程組的解的問題，進而轉(zhuǎn)化為一元二次方程的實根問題，因而判別式、韋達定理、弦長公式、焦半徑公式的應(yīng)用，以及設(shè)而不求、整體代入、數(shù)形結(jié)合的思想方法技巧在這里

4、起著極為重要的作用。 例2. 直線與雙曲線相交于不同兩點A、B。 （1）以AB為直徑的圓恰好過原點，求k的值。 （2）是否存在k，使A、B兩點關(guān)于直線對稱？若存在，求出k值；若不存在，請說明理由。 分析：（1）所給圓過原點的條件為（C為AB中點），將其轉(zhuǎn)化為k的方程；（2）用假設(shè)法求解。 解：（1）將代入，消去y，得： 依題意知，由，得或或 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點C（x0，y0），由韋達定理，得 于是 即C（） 因以AB為直徑的圓過原點，則在RtAOB中，由兩點距離公式及弦長公式，得： 化簡，得，解得或（舍去） （2）假設(shè)存在k，使A、B關(guān)于直線對稱，則直線垂直平分線段

5、AB，于是且AB中點在直線上。 由與聯(lián)立，消去y，得： 由韋達定理、中點公式，可得AB中點C（） 顯然點C不在直線上，故滿足條件的k不存在。 評注：（1）中要注意圓錐曲線與直線方程聯(lián)立得到相應(yīng)的一元二次方程的二次項系數(shù)，對它們交點個數(shù)的影響；（2）屬探索型問題，也是高考中的常見題型，基本解法有假設(shè)法、反證法。三. 最值問題 求解的基本策略有二：一是從幾何角度考慮，當(dāng)題目中的條件和結(jié)論明顯體現(xiàn)幾何特征及意義時，可用圖形性質(zhì)來解；二是從代數(shù)角度考慮，當(dāng)題中的條件和結(jié)論體現(xiàn)出一種明顯的函數(shù)關(guān)系時，可通過建立目標(biāo)函數(shù)，求其目標(biāo)函數(shù)的最值，求函數(shù)最值的常用方法有：一元二次函數(shù)法、基本不等式法、判別式法、

6、定義法、函數(shù)單調(diào)性法等。 例3. 已知O為坐標(biāo)原點，A、B為拋物線上的點，設(shè)，試求m的最小值。圖2 分析：設(shè)AB與x軸交點為M（t，0），則可根據(jù)題設(shè)條件利用向量數(shù)量積建立目標(biāo)函數(shù)。 解：如圖2，設(shè)AB交x軸于點M（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2）。當(dāng)AB與x軸斜交時，設(shè)AB： 由，得 當(dāng)軸時，上面結(jié)論仍成立。 由已知條件 得 當(dāng)tp時， 評注：選取自變量t是關(guān)鍵，這是一道立意新穎、涉及知識點多且難度適中的好題。四. 參數(shù)范圍問題 求解的基本策略是構(gòu)建以待定參數(shù)為主元的關(guān)系式。常用方法有：不等式法（列出關(guān)于待定參數(shù)的不等式組，解得待定參數(shù)的范圍），函數(shù)法。 例4. 如圖3，拋物線的一段與橢圓的一段圍成封閉圖形，點N（1，0）在x軸上，又A、B兩點分別在拋物線及橢圓上，且AB/x軸，求NAB的周長l的取值范圍。圖3 分析：利用l與拋物線的準線和橢圓右準線之間的距離關(guān)系是求解的關(guān)鍵。 解：易知N為拋物線的焦點，又