各圓錐曲線的定義與性質整理

1、圓錐曲線的定義與性質一、基本知識點1、橢圓橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內動點與兩定點、的距離的和大于|這個條件不可忽視.若這個距離之和小于|，則這樣的點不存在；若距離之和等于|，則動點的軌跡是線段.橢圓的標準方程：（0），（0）.橢圓的標準方程判別方法：判別焦點在哪個軸只要看分母的大?。喝绻椀姆帜复笥陧椀姆帜?，則橢圓的焦點在x軸上，反之，焦點在y軸上.求橢圓的標準方程的方法： 正確判斷焦點的位置； 設出標準方程后，運用待定系數(shù)法求解.橢圓（0）的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.橢圓的簡單幾何性質：設橢圓方程為（0）.1°范圍： -axa，-bxb，所以橢圓位于直線x=和y=所圍成的矩形里.

2、2°對稱性：分別關于x軸、y軸成軸對稱，關于原點中心對稱.橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心.3°頂點：有四個（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）. 線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸.它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長. 所以橢圓和它的對稱軸有四個交點，稱為橢圓的頂點.4°離心率：橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率.它的值表示橢圓的扁平程度.0e1.e越接近于1時，橢圓越扁；反之，e越接近于0時，橢圓就越接近于圓.橢圓的四個主要元素a、b、c、e中有=+、兩個關系，因此確定橢圓的標準方程只需兩個獨立條件.2、雙曲線及其標準方

3、程雙曲線的定義：平面內與兩個定點、的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a（小于|）的動點的軌跡叫做雙曲線.在這個定義中，要注意條件2a|，這一條件可以用“三角形的兩邊之差小于第三邊”加以理解.若2a=|，則動點的軌跡是兩條射線；若2a|，則無軌跡. 若時，動點的軌跡僅為雙曲線的一個分支，又若時，軌跡為雙曲線的另一支.而雙曲線是由兩個分支組成的，故在定義中應為“差的絕對值”.雙曲線的標準方程：和（a0，b0）.這里，其中|=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關系與橢圓中的異同.雙曲線的標準方程判別方法是：如果項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在x軸上；如果項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在y軸上.對于雙曲線，a不一定大

4、于b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點在哪一條坐標軸上.求雙曲線的標準方程，應注意兩個問題： 正確判斷焦點的位置； 設出標準方程后，運用待定系數(shù)法求解.雙曲線的簡單幾何性質1°雙曲線的實軸長為2a，虛軸長為2b，離心率1，離心率e越大，雙曲線的開口越大.2°雙曲線的漸近線方程為或表示為.若已知雙曲線的漸近線方程是，即，那么雙曲線的方程具有以下形式：，其中k是一個不為零的常數(shù).在雙曲線中，a、b、c、e四個元素間有與的關系，與橢圓一樣確定雙曲線的標準方程只要兩個獨立的條件.3、拋物線拋物線的定義：平面內到一定點（F）和一條定直線（l）的距離相等的點的軌跡叫拋物

5、線。這個定點F叫拋物線的焦點，這條定直線l叫拋物線的準線。設，拋物線的標準方程、類型及其幾何性質：圖形焦點準線范圍對稱軸軸軸頂點（0，0）離心率焦半徑對于以上四種方程：應注意掌握它們的規(guī)律：曲線的對稱軸是哪個軸，方程中的該項即為一次項；一次項前面是正號則曲線的開口方向向x軸或y軸的正方向；一次項前面是負號則曲線的開口方向向x軸或y軸的負方向。二、典型習題（一）圓錐曲線定義1、（1）橢圓上一點M到焦點F1的距離是2，N時MF1的中點，則的長為 。（2）已知雙曲線的方程是，點P在雙曲線上，且到其中一個焦點F1的距離為10，點N是PF1的中點，則的大小為 （O為坐標原點）（3）已知雙曲線的方程是，點

6、P在雙曲線上，且到其中一個焦點F1的距離為8，點N是PF1的中點，則的大小為 （O為坐標原點）2、已知圓C1：(x+3)2+y2=1和圓C2：(x3)2+y2=9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，求動圓圓心M的軌跡。3、已知橢圓的焦點F1(3,0)、F2(3,0)且與直線xy+9=0有公共點，求其中長軸最短的橢圓方程.（二）焦點三角形：橢圓或雙曲線上一點P，與兩個焦點、構成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。解題時還可能要用到： 圓錐曲線的第一定義式及其平方等；三角形的面積公式：； 平面幾何的性質等。4、雙曲線的兩個焦點為，點P在雙曲線上，若，求點P的坐標。5、已知是橢圓的兩個焦點，P為橢圓

7、上一點，=60°(1) 求橢圓離心率的范圍；(2) 求證的面積只與橢圓的短軸長有關。6、已知橢圓的焦點是，和，離心率為（1）求橢圓上的點到直線距離的最大值；（2）若P在橢圓上，求的面積（三）圓錐曲線的方程7、（1）中心在原點，對稱軸為坐標軸，且過點（）和（）的橢圓的方程為 ；（2）與雙曲線有相同的漸近線，且過點（12，6）的雙曲線的方程為 ；（3）頂點在原點，對稱軸是坐標軸，且過點（2，3）的拋物線的方程為 ；（4）已知橢圓的焦距是，且經(jīng)過點P，則橢圓的標準方程為 ；（5）若雙曲線的漸近線方程為，它的一個焦點是，則雙曲線的方程是 ；（6）雙曲線的兩條漸近線方程為，且它的焦點到漸近線的

8、距離為3，則此雙曲線方程為 。（7）橢圓的焦點坐標是（，）和（，），過作軸，交橢圓于，兩點，且是等邊三角形，此橢圓的標準方程為 。8、雙曲線與橢圓有共同的焦點，點是雙曲線的漸近線與橢圓的一個交點，求雙曲線與橢圓的方程。9、代表實數(shù)，討論方程所表示的曲線yOK圖1（四）幾何性質10、（1）點P是拋物線上的任意一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，點M的坐標是（2，3），則的最小值為 ，此時點P的坐標為 。（2）如圖1，過拋物線的焦點F的直線與拋物線交于兩點A，B，若A，B在拋物線的準線上的射影分別是A1，B1，則等于 ；（3）拋物線y=ax2的準線方是y=2，則a的值是 .11、（1）如果雙曲線的兩條漸近線方

9、程是y=，則此雙曲線的離心率是 。（2）雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則離心率是 .（3）下圖中兩個橢圓和兩條雙曲線的離心率分別是、，且，則曲線的離心率是_，曲線的離心率是_，曲線的離心率是_，曲線的離心率是_。（4）（2005年四川高考題）設橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若 F1PF2為等腰直角三角形 ，則橢圓的離心率是 ； （5）已知橢圓C1：=1的一條通徑(過焦點且垂直于對稱軸的弦)與拋物線C2：y2=2px(p0)的通徑重合，則橢圓的離心率為 ；（6）若橢圓的離心率為，則m為 （7）2007年（全國2理）設分別是雙曲線=1的左、右焦點，若雙曲線上存在

10、點，使且，則雙曲線的離心率為 .12、（1）設橢圓 的兩個焦點是 ，且橢圓上存在點P使得直線與 垂直，則實數(shù)m的取值范圍為 ；（2）已知P是橢圓上一點，Q、R分別是圓(x+4) 2+y2= 和(x-4) 2+y2=上的點，則|PQ|+|PR|的最小值是 .（3）若動點(x,y)在曲線=1(b0)上變化，則x2+2y的最大值為 .（4）07年（全國）設分別是雙曲線的左、右焦點若點在雙曲線上，且，則 13、關于雙曲線xy=1有下面4個命題：（1）它的漸近線方程為x=0和y=0;（2）它的實軸長為；（3）它的離心率為；（4）正三角形的三頂點在雙曲線xy=1上，則不可能同號。以上正確命題的序號為 。1

11、4、已知雙曲線（x-h）（y-k）=a()的水平漸近線為y=k,垂直漸近線為x=h,雙曲線中線為(h,k)，若雙曲線上的點到它的水平漸近線，垂直漸近線，中心的距離分別為，則的最小值為 。15、如圖，在正方體的側面內有一動點P到直線AB的距離等于到直線B1C1的距離，則動點P的軌跡是 。xF1OF2MyN圓錐曲線定義與性質答案1、（1）解：由橢圓方程知，因為（F2為另一個焦點坐標），又因為，所以，ON是三角形MF1F2的中位線，所以即的長是4。（2）解：ON是三角形PF1F2的中位線，所以，因為，所以，（3）8 2、解：設動圓圓心M(x,y)，動圓半徑為R，則MC1=1+R，MC2=3+R， 所

12、以|MC2|MC1|=2<|C1C2|=6， 從而M的軌跡為以C1、C2為焦點，2為實軸長的雙曲線的左支。3、解法1：設橢圓為=1與直線方程xy+9=0聯(lián)立并消去y得：(2 a2 9) x2 + 18 a2 x + 90 a2a4= 0， 由題設=(18 a2)24(2 a29) (90 a2a4) 0a454 a2 + 405 0a245或a29.a29> 0, a245, 故amin=3，得（2a）min=6,此時橢圓方程為.解法2：設橢圓=1與直線xy+9=0的公共點為M(acos,)，則acos+9=0有解.=9cos(+)=，|19a245, amin=3，得（2a）mi

13、n=6,此時橢圓的方程.MF2xF1 1OyF解法3：先求得F1(3，0)關于直線xy+9=0的對稱點F(9,6)，設直線F1F2與橢圓的交點為M，則2a=|MF1|+|MF2| =|MF| +|MF2|FF2|=6，于是(2a)min=6,易得a2=45,b2=36， 此時橢圓的方程為.4、解：由雙曲線的方程知：，不妨設點P在第一象限，坐標為，F(xiàn)1為左焦點，那么： 由得：，所以，在直角三角形PF1F2中，所以代入雙曲線的方程得：，即點P的坐標是，再根據(jù)雙曲線的對稱性得點P的坐標還可以是，。5、（1） （2）6、解：設橢圓，半焦距為c，則橢圓方程為設橢圓上的點為，P到直線的距離，當且僅當時取“

14、”（其中），橢圓上的點到直線的最大值為（2），又，即，7、（1）解：設橢圓的方程是：，將已知點的坐標代入得：，所以，即所求的橢圓方程是：（2）解:因為所求雙曲線與已知雙曲線有相同的漸近線，設所求的雙曲線的方程是，將點（12，）代入得：所以，所求的雙曲線的方程是：。（3）解：設拋物線的方程是或，那么：，或，所求拋物線的方程是：或。（4）或；（5）；（6）解：設該雙曲線的方程為3x2y2=k（k0）當k>0時，焦點坐標為，由焦點到漸近線距離為3得k=9當k<0時，焦點坐標為，由焦點到漸近線距離為3得k=27所以所求雙曲線的標準方程為或（也可利用雙曲線焦點到漸近線的距離為b求解）（7）解

15、：點撥：本題根據(jù)橢圓的定義和等邊三角形的性質解答。由橢圓的定義得：，又因為是等邊三角形，所以，即，所以，所以，所求的橢圓的標準方程是8、解：由共同的焦點，可設橢圓方程為；雙曲線方程為，點在橢圓上，雙曲線的過點的漸近線為，即所以橢圓方程為；雙曲線方程為9、解：當時，曲線為焦點在軸的雙曲線；當時，曲線為兩條平行的垂直于軸的直線；當時，曲線為焦點在軸的橢圓；當時，曲線為一個圓；當時，曲線為焦點在軸的橢圓。10、（1）解：拋物線的準線方程是，那么點P到焦點F的距離等于到準線的距離，作準線，垂足為D，那么，所以當點M，P，D三點共線時，的值最小，即用點M的橫坐標減去準線方程的數(shù)值得：，所以的最小值是4。

16、此時點P的縱坐標為3，所以橫坐標是，即點P的坐標是。（2）解：點撥：利用拋物線的定義和平面幾何的知識解題。設準線與軸的交點為K，那么，,所以，又因為AA1軸,所以，同理可證，所以（3）11、（1）解：當雙曲線的焦點在x軸上時有，又c2=a2+b2，解得e= 當雙曲線的焦點在y軸上時有，又c2=a2+b2，解得e=（2） （3）（4）解：設|PF2|=m，則由題設得|PF1|=m，2c =|F1F2|=m.由橢圓第一定義，得2=|PF1|+|PF2|=()me=. （5）由已知得,則b2=2ac，a2-c2=2ac，1-e2=2e，即e2+2e-1=0，則e=-1（6） （7）12、（1）分析：要求m的取值范圍，首先需要導出相關的不等式，由題設知，橢圓方程為第一標準方程，因而這里應有 ， 便是特設條件中隱蔽的不等關系. (2)設F1、F2為橢圓的左右焦點，則F1、F2分別為兩已知圓的圓心，則|P