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文檔簡介
1、圓錐曲線的定義與性質(zhì)一、基本知識點1、橢圓橢圓的定義:橢圓的定義中,平面內(nèi)動點與兩定點、的距離的和大于|這個條件不可忽視.若這個距離之和小于|,則這樣的點不存在;若距離之和等于|,則動點的軌跡是線段.橢圓的標準方程:(0),(0).橢圓的標準方程判別方法:判別焦點在哪個軸只要看分母的大?。喝绻椀姆帜复笥陧椀姆帜福瑒t橢圓的焦點在x軸上,反之,焦點在y軸上.求橢圓的標準方程的方法: 正確判斷焦點的位置; 設(shè)出標準方程后,運用待定系數(shù)法求解.橢圓(0)的參數(shù)方程為(為參數(shù)).橢圓的簡單幾何性質(zhì):設(shè)橢圓方程為(0).1°范圍: -axa,-bxb,所以橢圓位于直線x=和y=所圍成的矩形里.
2、2°對稱性:分別關(guān)于x軸、y軸成軸對稱,關(guān)于原點中心對稱.橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心.3°頂點:有四個(-a,0)、(a,0)(0,-b)、(0,b). 線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸.它們的長分別等于2a和2b,a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長. 所以橢圓和它的對稱軸有四個交點,稱為橢圓的頂點.4°離心率:橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率.它的值表示橢圓的扁平程度.0e1.e越接近于1時,橢圓越扁;反之,e越接近于0時,橢圓就越接近于圓.橢圓的四個主要元素a、b、c、e中有=+、兩個關(guān)系,因此確定橢圓的標準方程只需兩個獨立條件.2、雙曲線及其標準方
3、程雙曲線的定義:平面內(nèi)與兩個定點、的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a(小于|)的動點的軌跡叫做雙曲線.在這個定義中,要注意條件2a|,這一條件可以用“三角形的兩邊之差小于第三邊”加以理解.若2a=|,則動點的軌跡是兩條射線;若2a|,則無軌跡. 若時,動點的軌跡僅為雙曲線的一個分支,又若時,軌跡為雙曲線的另一支.而雙曲線是由兩個分支組成的,故在定義中應(yīng)為“差的絕對值”.雙曲線的標準方程:和(a0,b0).這里,其中|=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.雙曲線的標準方程判別方法是:如果項的系數(shù)是正數(shù),則焦點在x軸上;如果項的系數(shù)是正數(shù),則焦點在y軸上.對于雙曲線,a不一定大
4、于b,因此不能像橢圓那樣,通過比較分母的大小來判斷焦點在哪一條坐標軸上.求雙曲線的標準方程,應(yīng)注意兩個問題: 正確判斷焦點的位置; 設(shè)出標準方程后,運用待定系數(shù)法求解.雙曲線的簡單幾何性質(zhì)1°雙曲線的實軸長為2a,虛軸長為2b,離心率1,離心率e越大,雙曲線的開口越大.2°雙曲線的漸近線方程為或表示為.若已知雙曲線的漸近線方程是,即,那么雙曲線的方程具有以下形式:,其中k是一個不為零的常數(shù).在雙曲線中,a、b、c、e四個元素間有與的關(guān)系,與橢圓一樣確定雙曲線的標準方程只要兩個獨立的條件.3、拋物線拋物線的定義:平面內(nèi)到一定點(F)和一條定直線(l)的距離相等的點的軌跡叫拋物
5、線。這個定點F叫拋物線的焦點,這條定直線l叫拋物線的準線。設(shè),拋物線的標準方程、類型及其幾何性質(zhì):圖形焦點準線范圍對稱軸軸軸頂點(0,0)離心率焦半徑對于以上四種方程:應(yīng)注意掌握它們的規(guī)律:曲線的對稱軸是哪個軸,方程中的該項即為一次項;一次項前面是正號則曲線的開口方向向x軸或y軸的正方向;一次項前面是負號則曲線的開口方向向x軸或y軸的負方向。二、典型習(xí)題(一)圓錐曲線定義1、(1)橢圓上一點M到焦點F1的距離是2,N時MF1的中點,則的長為 。(2)已知雙曲線的方程是,點P在雙曲線上,且到其中一個焦點F1的距離為10,點N是PF1的中點,則的大小為 (O為坐標原點)(3)已知雙曲線的方程是,點
6、P在雙曲線上,且到其中一個焦點F1的距離為8,點N是PF1的中點,則的大小為 (O為坐標原點)2、已知圓C1:(x+3)2+y2=1和圓C2:(x3)2+y2=9,動圓M同時與圓C1及圓C2相外切,求動圓圓心M的軌跡。3、已知橢圓的焦點F1(3,0)、F2(3,0)且與直線xy+9=0有公共點,求其中長軸最短的橢圓方程.(二)焦點三角形:橢圓或雙曲線上一點P,與兩個焦點、構(gòu)成的三角形問題,常用正、余弦定理搭橋。解題時還可能要用到: 圓錐曲線的第一定義式及其平方等;三角形的面積公式:; 平面幾何的性質(zhì)等。4、雙曲線的兩個焦點為,點P在雙曲線上,若,求點P的坐標。5、已知是橢圓的兩個焦點,P為橢圓
7、上一點,=60°(1) 求橢圓離心率的范圍;(2) 求證的面積只與橢圓的短軸長有關(guān)。6、已知橢圓的焦點是,和,離心率為(1)求橢圓上的點到直線距離的最大值;(2)若P在橢圓上,求的面積(三)圓錐曲線的方程7、(1)中心在原點,對稱軸為坐標軸,且過點()和()的橢圓的方程為 ;(2)與雙曲線有相同的漸近線,且過點(12,6)的雙曲線的方程為 ;(3)頂點在原點,對稱軸是坐標軸,且過點(2,3)的拋物線的方程為 ;(4)已知橢圓的焦距是,且經(jīng)過點P,則橢圓的標準方程為 ;(5)若雙曲線的漸近線方程為,它的一個焦點是,則雙曲線的方程是 ;(6)雙曲線的兩條漸近線方程為,且它的焦點到漸近線的
8、距離為3,則此雙曲線方程為 。(7)橢圓的焦點坐標是(,)和(,),過作軸,交橢圓于,兩點,且是等邊三角形,此橢圓的標準方程為 。8、雙曲線與橢圓有共同的焦點,點是雙曲線的漸近線與橢圓的一個交點,求雙曲線與橢圓的方程。9、代表實數(shù),討論方程所表示的曲線yOK圖1(四)幾何性質(zhì)10、(1)點P是拋物線上的任意一點,F(xiàn)是拋物線的焦點,點M的坐標是(2,3),則的最小值為 ,此時點P的坐標為 。(2)如圖1,過拋物線的焦點F的直線與拋物線交于兩點A,B,若A,B在拋物線的準線上的射影分別是A1,B1,則等于 ;(3)拋物線y=ax2的準線方是y=2,則a的值是 .11、(1)如果雙曲線的兩條漸近線方
9、程是y=,則此雙曲線的離心率是 。(2)雙曲線的兩條漸近線互相垂直,則離心率是 .(3)下圖中兩個橢圓和兩條雙曲線的離心率分別是、,且,則曲線的離心率是_,曲線的離心率是_,曲線的離心率是_,曲線的離心率是_。(4)(2005年四川高考題)設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1、F2,過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P,若 F1PF2為等腰直角三角形 ,則橢圓的離心率是 ; (5)已知橢圓C1:=1的一條通徑(過焦點且垂直于對稱軸的弦)與拋物線C2:y2=2px(p0)的通徑重合,則橢圓的離心率為 ;(6)若橢圓的離心率為,則m為 (7)2007年(全國2理)設(shè)分別是雙曲線=1的左、右焦點,若雙曲線上存在
10、點,使且,則雙曲線的離心率為 .12、(1)設(shè)橢圓 的兩個焦點是 ,且橢圓上存在點P使得直線與 垂直,則實數(shù)m的取值范圍為 ;(2)已知P是橢圓上一點,Q、R分別是圓(x+4) 2+y2= 和(x-4) 2+y2=上的點,則|PQ|+|PR|的最小值是 .(3)若動點(x,y)在曲線=1(b0)上變化,則x2+2y的最大值為 .(4)07年(全國)設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點若點在雙曲線上,且,則 13、關(guān)于雙曲線xy=1有下面4個命題:(1)它的漸近線方程為x=0和y=0;(2)它的實軸長為;(3)它的離心率為;(4)正三角形的三頂點在雙曲線xy=1上,則不可能同號。以上正確命題的序號為 。1
11、4、已知雙曲線(x-h)(y-k)=a()的水平漸近線為y=k,垂直漸近線為x=h,雙曲線中線為(h,k),若雙曲線上的點到它的水平漸近線,垂直漸近線,中心的距離分別為,則的最小值為 。15、如圖,在正方體的側(cè)面內(nèi)有一動點P到直線AB的距離等于到直線B1C1的距離,則動點P的軌跡是 。xF1OF2MyN圓錐曲線定義與性質(zhì)答案1、(1)解:由橢圓方程知,因為(F2為另一個焦點坐標),又因為,所以,ON是三角形MF1F2的中位線,所以即的長是4。(2)解:ON是三角形PF1F2的中位線,所以,因為,所以,(3)8 2、解:設(shè)動圓圓心M(x,y),動圓半徑為R,則MC1=1+R,MC2=3+R, 所
12、以|MC2|MC1|=2<|C1C2|=6, 從而M的軌跡為以C1、C2為焦點,2為實軸長的雙曲線的左支。3、解法1:設(shè)橢圓為=1與直線方程xy+9=0聯(lián)立并消去y得:(2 a2 9) x2 + 18 a2 x + 90 a2a4= 0, 由題設(shè)=(18 a2)24(2 a29) (90 a2a4) 0a454 a2 + 405 0a245或a29.a29> 0, a245, 故amin=3,得(2a)min=6,此時橢圓方程為.解法2:設(shè)橢圓=1與直線xy+9=0的公共點為M(acos,),則acos+9=0有解.=9cos(+)=,|19a245, amin=3,得(2a)mi
13、n=6,此時橢圓的方程.MF2xF1 1OyF解法3:先求得F1(3,0)關(guān)于直線xy+9=0的對稱點F(9,6),設(shè)直線F1F2與橢圓的交點為M,則2a=|MF1|+|MF2| =|MF| +|MF2|FF2|=6,于是(2a)min=6,易得a2=45,b2=36, 此時橢圓的方程為.4、解:由雙曲線的方程知:,不妨設(shè)點P在第一象限,坐標為,F(xiàn)1為左焦點,那么: 由得:,所以,在直角三角形PF1F2中,所以代入雙曲線的方程得:,即點P的坐標是,再根據(jù)雙曲線的對稱性得點P的坐標還可以是,。5、(1) (2)6、解:設(shè)橢圓,半焦距為c,則橢圓方程為設(shè)橢圓上的點為,P到直線的距離,當(dāng)且僅當(dāng)時取“
14、”(其中),橢圓上的點到直線的最大值為(2),又,即,7、(1)解:設(shè)橢圓的方程是:,將已知點的坐標代入得:,所以,即所求的橢圓方程是:(2)解:因為所求雙曲線與已知雙曲線有相同的漸近線,設(shè)所求的雙曲線的方程是,將點(12,)代入得:所以,所求的雙曲線的方程是:。(3)解:設(shè)拋物線的方程是或,那么:,或,所求拋物線的方程是:或。(4)或;(5);(6)解:設(shè)該雙曲線的方程為3x2y2=k(k0)當(dāng)k>0時,焦點坐標為,由焦點到漸近線距離為3得k=9當(dāng)k<0時,焦點坐標為,由焦點到漸近線距離為3得k=27所以所求雙曲線的標準方程為或(也可利用雙曲線焦點到漸近線的距離為b求解)(7)解
15、:點撥:本題根據(jù)橢圓的定義和等邊三角形的性質(zhì)解答。由橢圓的定義得:,又因為是等邊三角形,所以,即,所以,所以,所求的橢圓的標準方程是8、解:由共同的焦點,可設(shè)橢圓方程為;雙曲線方程為,點在橢圓上,雙曲線的過點的漸近線為,即所以橢圓方程為;雙曲線方程為9、解:當(dāng)時,曲線為焦點在軸的雙曲線;當(dāng)時,曲線為兩條平行的垂直于軸的直線;當(dāng)時,曲線為焦點在軸的橢圓;當(dāng)時,曲線為一個圓;當(dāng)時,曲線為焦點在軸的橢圓。10、(1)解:拋物線的準線方程是,那么點P到焦點F的距離等于到準線的距離,作準線,垂足為D,那么,所以當(dāng)點M,P,D三點共線時,的值最小,即用點M的橫坐標減去準線方程的數(shù)值得:,所以的最小值是4。
16、此時點P的縱坐標為3,所以橫坐標是,即點P的坐標是。(2)解:點撥:利用拋物線的定義和平面幾何的知識解題。設(shè)準線與軸的交點為K,那么,,所以,又因為AA1軸,所以,同理可證,所以(3)11、(1)解:當(dāng)雙曲線的焦點在x軸上時有,又c2=a2+b2,解得e= 當(dāng)雙曲線的焦點在y軸上時有,又c2=a2+b2,解得e=(2) (3)(4)解:設(shè)|PF2|=m,則由題設(shè)得|PF1|=m,2c =|F1F2|=m.由橢圓第一定義,得2=|PF1|+|PF2|=()me=. (5)由已知得,則b2=2ac,a2-c2=2ac,1-e2=2e,即e2+2e-1=0,則e=-1(6) (7)12、(1)分析:要求m的取值范圍,首先需要導(dǎo)出相關(guān)的不等式,由題設(shè)知,橢圓方程為第一標準方程,因而這里應(yīng)有 , 便是特設(shè)條件中隱蔽的不等關(guān)系. (2)設(shè)F1、F2為橢圓的左右焦點,則F1、F2分別為兩已知圓的圓心,則|P
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