圓錐曲線中的定點與定值問題教學設(shè)計

1、課題名稱：圓錐曲線中的定點與定值問題教學內(nèi)容分析圓錐曲線在高考中占有重要的位置，也是高考命題的熱點之一.由于圓錐曲線內(nèi)容的豐富性，與其他章節(jié)知識交叉的綜合性，決定了圓錐曲線在高考中地位的特殊性. 定點、定值問題與運動變化密切相關(guān)，這類問題常與函數(shù)，不等式，向量等其他章節(jié)知識綜合，是學習圓錐曲線的一個難點，這就要求我們在圓錐曲線的復習中，要重視基礎(chǔ)知識和方法的學習，理解和掌握圓錐曲線中的基本知識與方法，幫助學生自我構(gòu)架圓錐曲線思維導圖，實現(xiàn)對圓錐曲線的整體把握.學情分析在學習本節(jié)課以前，學生對圓錐曲線中的基礎(chǔ)知識和基本方法有了一定的理解和掌握，學生具備一定的探究問題、分析問題和解決問題的能力，但

2、對圓錐曲線中的定點和定值等綜合問題的解決缺乏一個明確的“主線”，正確解答這類問題既要有較強的分析問題能力、幾何直觀能力還要有較強的運算能力，是對學生數(shù)學能力的綜合體現(xiàn)，但這幾方面學生都比較欠缺，這也是本節(jié)課需要對學生數(shù)學素養(yǎng)進行培育的重要著眼點.教學目標（1）掌握圓錐曲線中定點與定值問題的分析方法和解題策略；（2）通過師生互動探究的過程，理解和掌握圓錐曲線中的基本知識與方法在處理定點和定值綜合問題中的應用，幫助學生自我構(gòu)架圓錐曲線思維導圖，實現(xiàn)對圓錐曲線章節(jié)的整體把握；（3）通過合作學習，讓學生在團隊協(xié)作中，自我探究，進一步讓學生學會思考問題的方法，培養(yǎng)學生計算能力，嚴謹?shù)耐评砟芰投嘟嵌人伎?/p>

3、問題的數(shù)學素養(yǎng)。教學重點掌握圓錐曲線中定點與定值問題的分析方法；參變量的選取原則教學難點對圓錐曲線基本知識與方法的綜合運用；分析問題的能力和運算能力的突破教學方法啟發(fā)式、討論探究式.教學過程設(shè)計教學環(huán)節(jié)師生活動設(shè)計意圖（一）課題引入提問學生：前面我們主要學習了圓錐曲線的哪些內(nèi)容？這節(jié)課我們來利用這些知識和方法一起研究圓錐曲線中的一些綜合問題.通過提問，讓學生總結(jié)歸納之前學習的圓錐曲線的基礎(chǔ)知識和基本方法，為接下來的定點和定值問題的探究作鋪墊.（二）范例講解例1：已知橢圓，過點的直線與橢圓交于兩點，點關(guān)于軸的對稱點為，求證：直線橫過一定點.教師活動：讓學生思考，小組討論解決這一問題的策略.分析：

4、直線是變化的，本質(zhì)是由于過點的直線的變化引起的，所以可以設(shè)過點的直線的斜率為參變量，將直線的方程用斜率加以表示，由于定點是與參變量的變化是無關(guān)的，然后通過代數(shù)變形，將參變量分離出來，令參變量的系數(shù)為零，即可求出定點.解法1：設(shè)，則，聯(lián)立，得 ，代入上式，得 ，不妨設(shè)，上式化為因為定點與的變化無關(guān)，所以，即直線恒過點，經(jīng)檢驗，當直線的斜率為時，結(jié)論也成立綜上，直線橫過定點進一步提問：這個定點能否通過分析，提前確定下來呢？解法2：根據(jù)橢圓的對稱性，再結(jié)合幾何直觀感受，猜想直線很可能過軸上一定點.在直線方程中，令，得將代入上式，化簡得 所以，直線橫過定點深入分析解題過程，與學生一起歸納定點問題的解決

5、策略：（1）找到變化的根源，探究這一變化是由哪些量的變化引起的；進而引進參變量，根據(jù)題意建立這些參變量與已知量之間的關(guān)系；要使參變量的變化對建立的關(guān)系沒有影響，其系數(shù)或整個代數(shù)結(jié)構(gòu)就應滿足一定的條件，而恰恰是這些條件決定了我們要探究的定點，這是解決定點問題的基本思路。（2）特殊到一般的思想可以先通過特殊情況找到這個定點，明確解決問題的目標，然后就一般的情形進行推理計算證明.例2：設(shè)點分別是雙曲線的左頂點和右焦點,點是雙曲線右支上的動點.問：是否存在常數(shù),使得對于任意的動點恒成立？證明你的結(jié)論.教師活動：引導學生類比例1的解題策略進行分析，大小的變化是由于動點在雙曲線右支上移動導致的，若存在滿足

6、條件的常數(shù)，則其值與動點的變化無關(guān)，所以可以設(shè)點的坐標為參變量；進一步引導學生通過觀察圖形，可以把探究的倍數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化為探究直線與直線斜率間的關(guān)系；解：由題意知：,（1）當直線與軸垂直時，易知，所以（2）以下證明當直線與軸不垂直時，即可，設(shè)，直線的斜率；直線的斜率，而又得代入上式，得 綜上，存在常數(shù),使得對于任意的動點恒成立.回顧分析解題過程，歸納定值問題的解決策略：與解決定點問題類似，首先尋找變化的根源，引入合適的參變量，建立參變量與其他已知量的關(guān)系；其次，把幾何定值用引入的參變量表示；最后，利用代數(shù)恒等變形進行化簡或消參變量，求得定值?？筛鶕?jù)特殊情形，先確定定值，這對一般情形的推理指明了解

7、決方向.教師補充總結(jié)：定值問題的含義比較豐富：可以是一些幾何量：線段長度，三角形面積，向量的數(shù)量積、線段的比例系數(shù)等，但都有有個共同特征，即：在變化過程中表現(xiàn)出來的不變量。立足于學生現(xiàn)有認知水平，通過此中等難度的例題，與學生一起探究分析解決圓錐曲線中的定點問題的主線，并對解決策略和通性通法加以梳理，體會特殊到一般思想的運用，培養(yǎng)學生的邏輯推理和數(shù)學運算核心素養(yǎng).與學生一起板書解決例1，學生能夠?qū)?的分析和解決有清楚的梳理.通過對例1的探究，再分析此例可知，定值問題本質(zhì)上與例1中的定點問題是類似的，即這兩個問題都是尋求運動變化過程中的不變性，而這些不變性常常反映了數(shù)學對象的本質(zhì)屬性，通過類比思

8、想，探究定值問題的解決策略.學生的難點在于把代數(shù)恒等式進行變形化簡或消參（三）課堂練習1、（2017上海春考20改編）已知雙曲線，過點的直線與雙曲線交于兩點，為關(guān)于軸的對稱點，是否存在一個定點，使得直線總經(jīng)過此定點？若存在，求出該定點的坐標，若不存在，請說明理由。2、過拋物線上一點作傾斜角互補的兩條直線，它們分別交拋物線于兩點，求證：直線的斜率為定值.通過前面兩道例題的分析和策略總結(jié)，學生對解決圓錐曲線中的定點與定值問題有了整體把握，利用這兩道題，當堂檢驗學生的課堂學習效果；并讓學生在親自的解題體驗中感悟“解決圓錐曲線的定點定值問題關(guān)鍵在于尋找產(chǎn)生變化的本質(zhì)原因”.通過與學生一起嘗試找出突破圓

9、錐曲線的定點定值問題之“難”的對策，從而實現(xiàn)對圓錐曲線內(nèi)容的“整體把握”.（四）小結(jié)結(jié)合本節(jié)課所學內(nèi)容，談談你的收獲，與學生一起總結(jié)：1、數(shù)學知識：2、思想與方法：特殊到一般、類比、化歸、設(shè)參的原則（五）布置作業(yè)1、（2016格致三模22）已知拋物線，過點與軸不垂直的直線與交于、兩點。設(shè)關(guān)于軸的對稱點為，求證：直線過定點。2、（2017金山一模19） 已知橢圓C以原點為中心，左焦點的坐標是，長軸長是短軸長的倍，直線與橢圓C交于點與，且都在軸上方，滿足（1）求橢圓C的標準方程；（2）對于動直線，是否存在一個定點，無論如何變化，直線總經(jīng)過此定點？若存在，求出該定點的坐標，若不存在，請說明理由。xy

10、3、（2017黃浦二模20）設(shè)橢圓M:的左頂點為、中心為，若橢圓M過點，且（1）求橢圓M的方程；（2）若APQ的頂點Q也在橢圓M上，試求APQ面積的最大值；（3）過點作兩條斜率分別為的直線交橢圓M于兩點，且，求證：直線恒過一個定點4、（2017虹口一模20） 橢圓（）過點，且右焦點為，過的直線與橢圓相交于、兩點，設(shè)點，記、的斜率分別為和；（1）求橢圓的方程；（2）探討是否為定值？如果是，求出該定值，如果不是，求出的取值范圍；5、（2017奉賢一模20）過雙曲線的右支上的一點作一直線與兩漸近線交于、兩點，其中是的中點. 求證：是一個定值6、 （2017青浦一模19）如圖，、分別是橢圓（）的左、右焦點，且焦距為，動弦平行于軸，且；（1）求橢圓的方程；（2）若點是橢圓上異于點、的任意一點，且直線、分別與軸交于點、，若、的斜率分別為、，求證：是定值；這六道作業(yè)題分別選自上