2015年高考全國2卷數(shù)學(xué)文科試題和答案解析詳解

1、WORD格式.WORD.格式 .2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)第一卷一、選擇題：本大題共 12 小題，每題 5 分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的。 1集合A 2,0,2， B x | x2x 20，那么A B=(A)B2C0(D)2考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算分析：先解出集合 B，再求兩集合的交集即可得出正確選項(xiàng)解答：解： A= 2， 0， 2 ， B=x|x2 x2=0= 1， 2 ， A B=2 應(yīng)選： B點(diǎn)評(píng)：此題考察交的運(yùn)算，理解好交的定義是解答的關(guān)鍵213i()1iA12iB1 2i C1-2i (D)1-2i考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算分析：分子分母同乘

2、以分母的共軛復(fù)數(shù)1+i 化簡即可解答：解：化簡可得 = 1+2i應(yīng)選： B點(diǎn)評(píng)：此題考察復(fù)數(shù)代數(shù)形式的化簡，分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)是解決問題的關(guān)鍵，屬根底題 3函數(shù)f x在x x0處導(dǎo)數(shù)存在，假設(shè)p : f (x0 ) 0; q : xx0是 f x 的極值點(diǎn)，那么() Ap是q的充分必要條件 Bp是q的充分條件，但不是q 的必要條件 Cp是q的必要條件，但不是q 的充分條件(D)p 既不是 q 的充分條件，也不是 q 的必要條件考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷菁優(yōu)網(wǎng)所有分析：根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)的極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，利用充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論解答：函數(shù) f x=x3 的

3、導(dǎo)數(shù)為 f' x=3x2，由 f x0=0，得 x0=0 ，但此時(shí)函數(shù) f x單調(diào)遞增，無極值，充分性不成立根據(jù)極值的定義和性質(zhì)，假設(shè)x=x0 是 f x的極值點(diǎn)，那么f x0 =0成立，即必要性成立，故p 是 q 的必要條件，但不是q 的充分條件，專業(yè)資料整理WORD格式.專業(yè)資料 .整理分享 .專業(yè)資料整理WORD格式.WORD.格式 .應(yīng)選：C點(diǎn)評(píng)：此題主要考察充分條件和必要條件的判斷，利用函數(shù)單調(diào)性和極值之間的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵，比較根底（ 4設(shè)向量a , b滿足|a+b|= 10，|a-b|= 6，那么 a·b= ()A1B 2C3(D) 5考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的

4、運(yùn)算分析：將等式進(jìn)展平方，相加即可得到結(jié)論解答： |+ |=，|=，分別平方得，+2"+ 2 " + =6，兩式相減得 4" "=106=4，即" =1，=10，應(yīng)選：A點(diǎn)評(píng)：此題主要考察向量的根本運(yùn)算，利用平方進(jìn)展相加是解決此題的關(guān)鍵，比較根底 5等差數(shù)列an的公差為 2，假設(shè)a2， a4， a8成等比數(shù)列，那么an的前n項(xiàng) Sn= () An n1 B n n 1 Cn n 1n n 1(D)22考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)分析：由題意可得 a42= a4 4a4+8，解得 a4 可得 a1，代入求和公式可得解答：由題意可得 a42=a2"

5、;a8，即 a42= a4 4 a4+8，解得 a4=8， a1=a4 3× 2=2， Sn=na1+d， =2n+× 2=n n+1，應(yīng)選：A點(diǎn)評(píng)：此題考察等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，屬根底題 6如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1表示1cm，圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個(gè)底面半徑為3cm，高為 6c m的圓柱體毛坯切削得到，那么切削掉局部的體積與原來毛坯體積的比值為 ()A17B5C10(D)1279273專業(yè)資料整理WORD格式.專業(yè)資料 .整理分享 .專業(yè)資料整理WORD格式.WORD.格式 .考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積菁優(yōu)網(wǎng)所有分析：由三視圖判斷幾何體的

6、形狀，通過三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可解答：幾何體是由兩個(gè)圓柱組成，一個(gè)是底面半徑為3 高為 2，一個(gè)是底面半徑為2，高為 4，組合體體積是：32 "2+22 "4=34 底面半徑為3cm，高為 6cm 的圓柱體毛坯的體積為：32 ×6=54切削掉局部的體積與原來毛坯體積的比值為：=應(yīng)選： C點(diǎn)評(píng)：此題考察三視圖與幾何體的關(guān)系，幾何體的體積的求法，考察空間想象能力以及計(jì)算能力 7正三棱柱ABCA B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為3 ，D為BC中點(diǎn)，那么三棱錐AB1 DC1的體積1為 ()A 3B3C1D322考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積菁優(yōu)網(wǎng)所有分析：由題意求

7、出底面B1DC1的面積，求出A 到底面的距離，即可求解三棱錐的體積解答：正三棱柱ABC A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為，D為 BC中點(diǎn)，底面 B1DC1的面積： =， A 到底面的距離就是底面正三角形的高：三棱錐 AB1DC1的體積為： =1應(yīng)選： C點(diǎn)評(píng)：此題考察幾何體的體積的求法，求解幾何體的底面面積與高是解題的關(guān)鍵 8執(zhí)行右面的程序框圖，如果如果輸入的x， t 均為 2，那么輸出的S= ()A4B5C6D7考點(diǎn)：程序框圖菁優(yōu)網(wǎng)所有分析：根據(jù)條件，依次運(yùn)行程序，即可得到結(jié)論解答：假設(shè) x=t=2 ，那么第一次循環(huán)，12 成立，那么M=， S=2+3=5， k=2，第二次循環(huán)，2 2

8、成立，那么M=， S=2+5=7， k=3，此時(shí) 3 2 不成立，輸出S=7，應(yīng)選： D點(diǎn)評(píng)：此題主要考察程序框圖的識(shí)別和判斷，比較根底專業(yè)資料整理WORD格式.專業(yè)資料 .整理分享 .專業(yè)資料整理WORD格式.WORD.格式 .xy10 9設(shè) x， y 滿足的約束條件xy10，那么zx2 y 的最大值為()x3y30A8B7C2D1考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃分析：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過平移即可求z 的最大值解答：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，由z=x+2y ，得 y=，平移直線y=，由圖象可知當(dāng)直線y=經(jīng)過點(diǎn) A 時(shí)，直線y=的截距最大，此時(shí) z 最大由，得， 即 A3， 2

9、，此時(shí) z 的最大值為z=3+2× 2=7，應(yīng)選： B點(diǎn)評(píng)：此題主要考察線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法 10設(shè) F 為拋物線C : y23x 的焦點(diǎn)，過F 且傾斜角為30°的直線交于C于A, B兩點(diǎn)，那么AB = () A30 B6C 12D7 33考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)分析：求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式求出直線的方程，代入拋物線的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，由弦長公式求得 |AB| 解答：由 y2=3x 得其焦點(diǎn) F ， 0，準(zhǔn)線方程為 x= 那么過拋物線 y2=3x 的焦點(diǎn) F 且傾斜角為 30°的直線方程為y=tan30 ° x

10、 = x代入拋物線方程，消去y，得 16x2 168x+9=0專業(yè)資料整理WORD格式.專業(yè)資料 .整理分享 .專業(yè)資料整理WORD格式.WORD.格式 .設(shè) A x1，y1， Bx2， y2那么 x1+x2=，所以 |AB|=x1+x2+= +=12故答案為： 12點(diǎn)評(píng)：此題考察拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，弦長公式的應(yīng)用，運(yùn)用弦長公式是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵 11假設(shè)函數(shù)f ( x) kxln x 在區(qū)間1，+單調(diào)遞增，那么k 的取值X圍是 () A, 2B,1C2,D1,考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)分析：由題意可得，當(dāng)x1 時(shí)， f x =k 0，故 k 10，由此求得 k 的X圍解答：函數(shù)

11、 f x =kx lnx 在區(qū)間 1， +單調(diào)遞增，當(dāng) x 1 時(shí)， f x =k 0， k 1 0， k 1，應(yīng)選： D點(diǎn)評(píng)：此題主要考察利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，屬于根底題 12設(shè)點(diǎn)M ( x0,1)，假設(shè)在圓O : x2y21上存在點(diǎn)N，使得OMN45°那么 x0的取值X圍是 (), A1,1 B11 C2, 2 D2，22，222考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)所有分析：根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論專業(yè)資料整理WORD格式.專業(yè)資料 .整理分享 .專業(yè)資料整理WORD格式.WORD.格式 .解答：由題意畫出圖形如圖：點(diǎn) M x0 ， 1

12、，假設(shè)在圓O： x2+y2=1 上存在點(diǎn)N，使得 OMN=45°，圓上的點(diǎn)到 MN的距離的最大值為 1，要使 MN=1，才能使得 OMN=45°，圖中 M顯然不滿足題意，當(dāng) MN垂直 x 軸時(shí)，滿足題意， x0 的取值X圍是 1， 1 應(yīng)選： A點(diǎn)評(píng)：此題考察直線與圓的位置關(guān)系，直線與直線設(shè)出角的求法，數(shù)形結(jié)合是快速解得此題的策略之一第二卷本卷包括必考題和選考題兩局部。第13 題 第 21 題為必考題，每個(gè)考試考生都必須做答。第22 題第 24 題為選考題，考生根據(jù)要求做答。二、填空題：本大題共 4 小題，每題 5 分。 13甲、已兩名元發(fā)動(dòng)各自等可能地從紅、白、藍(lán)3 種顏

13、色的運(yùn)動(dòng)服種選擇1 種，那么他們選擇一樣顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為_.考點(diǎn)：相互獨(dú)立事件的概率乘法公式菁優(yōu)網(wǎng)所有分析：所有的選法共有3×3=9 種，而他們選擇一樣顏色運(yùn)動(dòng)服的選法共有3 種，由此求得他們選擇一樣顏色運(yùn)動(dòng)服的概率解答：有的選法共有3× 3=9 種，而他們選擇一樣顏色運(yùn)動(dòng)服的選法共有3 種，故他們選擇一樣顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為=，故答案為：點(diǎn)評(píng)：此題主要考察相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于根底題 14函數(shù)f (x)sin( x)2sincos x 的最大值為_.考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值分析：展開兩角和的正弦，合并同類項(xiàng)后再用兩角差的正弦化簡，那么答案可求解答：解： f x =s

14、in x+ 2sin cosx=sinxcos +cosxsin 2sin cosx=sinxcos sin cosx=sinx f x的最大值為1故答案為： 1點(diǎn)評(píng)：此題考察兩角和與差的正弦，考察了正弦函數(shù)的值域，是根底題專業(yè)資料整理WORD格式.專業(yè)資料 .整理分享 .專業(yè)資料整理WORD格式.WORD.格式 . 15函數(shù)f ( x)的圖像關(guān)于直線x2 對(duì)稱， f (0) 3 ，那么 f ( 1) _.考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性的性質(zhì)，得到f x+4 =f x，即可得到結(jié)論解答：解：因?yàn)榕己瘮?shù) y=f x的圖象關(guān)于直線 x=2 對(duì)稱，所以 f

15、2+x =f 2 x =f x 2，即 f x+4 =f x，那么 f 1 =f 1+4 =f 3 =3，故答案為： 3點(diǎn)評(píng)：此題主要考察函數(shù)值的計(jì)算，利用函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性的性質(zhì)得到周期性f x+4 =f x是解決此題的關(guān)鍵，比較根底 16數(shù)列 an滿足an 112 ，那么a1=_., a21an考點(diǎn)：數(shù)列遞推式分析：根據(jù) a8=2，令 n=7 代入遞推公式an+1=，求得 a7，再依次求出a6， a5 的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出 a1 的值解答：由題意得， an+1=， a8=2，令 n=7 代入上式得， a8=，解得 a7=；令 n=6 代入得， a7=，解得 a6= 1；令 n=5 代入得

16、， a6=，解得 a5=2；根據(jù)以上結(jié)果發(fā)現(xiàn)，求得結(jié)果按2， 1 循環(huán)， 8÷ 3=2 2，故 a1=故答案為：點(diǎn)評(píng)：此題考察了數(shù)列遞推公式的簡單應(yīng)用，即給n 具體的值代入后求數(shù)列的項(xiàng)，屬于根底題專業(yè)資料整理WORD格式.專業(yè)資料 .整理分享 .專業(yè)資料整理WORD格式.WORD.格式 .三、解答題：解容許寫出文字說明過程或演算步驟。 17本小題總分值12 分四邊形 ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ)， AB=1， BC=3, CD=DA=2.求 C和BD;求四邊形ABCD的面積。解：由題設(shè)及余弦定理得BD 2BC 2CD 22BC CD cosC1312cos CBD 2AB2DA 22 A

17、B DA cos A54cos C1由，得cosC，故 C60 , BD72四邊形ABCD 的面積S1 AB DA sin A1 BC CD sin C22(1121 32)sin 60222 3專業(yè)資料整理WORD格式.專業(yè)資料 .整理分享 .專業(yè)資料整理WORD格式.WORD.格式 . 18本小題總分值12 分如圖，四凌錐PABCD 中，底面 ABCD 為矩形， PA面ABCD ， E 為 PD 的中點(diǎn)。證明：PB / 平面 AEC ;設(shè)置 AP1，AD3 ，三棱錐PABD 的體積 V3，4求 A 到平面 PBD的距離。解：設(shè) BD與 AC的交點(diǎn)為O，連接EO因?yàn)?ABCD為矩形，所以O(shè)

18、為BD的中點(diǎn)，又因?yàn)?E 為 PD的中點(diǎn)，所以EO/PBEO平面 AEC ， PB平面 AEC ，所以 PB / 平面 AEC V1S ABDPA1PA AB AD3 AB366由題設(shè)知 V334，可得 AB2做 AHPB交PB于H由題設(shè)知 BC平面 PAB ，所以 BCAH ，故 AH平面 PBC ，PAAB313又 AHPB133 13所以 A 到平面 PBC 的距離為專業(yè)資料整理WORD格式.專業(yè)資料 .整理分享 .專業(yè)資料整理WORD格式.WORD.格式 . 19本小題總分值12 分某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機(jī)訪問了50 位市民。根據(jù)這50 位市民甲部門乙部門35 9440

19、4489 7512245667778997665332110601123468898877766555554443332100700113449665520081233456322209011456100 0 0分別估計(jì)該市的市民對(duì)甲、乙部門評(píng)分的中位數(shù)；分別估計(jì)該市的市民對(duì)甲、乙部門的評(píng)分做于90 的概率；根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對(duì)甲、乙兩部門的評(píng)價(jià)。解：由所給莖葉圖知， 50 位市民對(duì)甲部門的評(píng)分由小到大排序，排在第25， 26 位的是 75， 75，故樣本中位數(shù)為 75，所以該市的市民對(duì)甲部門評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值是75.50 位市民對(duì)乙部門的評(píng)分由小到大排序，排在第25， 26位的是66

20、， 68，故樣本中位數(shù)為666867.67 ，所以該市的市民對(duì)乙部門品分的中位數(shù)的估計(jì)值是2由所給莖葉圖知， 50 位市民對(duì)甲、乙部門的評(píng)分高于90的比率分別為50.1, 80.16 ，故該5050市的市民對(duì)甲、乙部門的評(píng)分高于90 的概率的估計(jì)值分別為0.1 ， 0.16.由所給莖葉圖知，市民對(duì)甲部門的評(píng)分的中位數(shù)高于對(duì)乙部門的評(píng)分的中位數(shù)，而且由莖葉圖可以大致看出對(duì)甲部門的評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)差要小于對(duì)乙部門的評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)差，說明該市市民對(duì)甲部門的評(píng)價(jià)較高、評(píng)價(jià)較為一致，對(duì)乙部門的評(píng)價(jià)較低、評(píng)價(jià)差異較大注：考生利用其他統(tǒng)計(jì)量進(jìn)展分析，結(jié)論合理的同樣給分。 專業(yè)資料整理WORD格式.專業(yè)資料 .整理分享

21、 .專業(yè)資料整理WORD格式.WORD.格式 . 20本小題總分值12 分設(shè) F1, F2x2y2分別是橢圓 C ：2b2 1 a>b>0的左右焦點(diǎn)，M是 C 上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線aMF1與 C 的另一個(gè)交點(diǎn)為N。假設(shè)直線MN的斜率為3，求 C 的離心率；4假設(shè)直線MN在 y 軸上的截距為2 且 |MN|=5|F 1N| ，求 a， b。解：根據(jù) ca2b2及題設(shè)知M (c,b2), 2b23aca將 b2a2c2代入 2b23ac ，解得c1 , c2舍去故 C 的離心率為1a2 a2由題意，原點(diǎn)O 為F1F2的中點(diǎn)，MF2/ y軸，所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D (0,

22、2)是線段 MF1的中點(diǎn)，故b24，即ab24a由|MN | 5| F1N |得| DF1 | 2| F1N|設(shè) N ( x1 , y1) ，由題意知 y1 0，那么2( cx1 )cx13 c2 y12即2y11代入 C 的方程，得9c2114a2b2將及 ca2b2代入得 9( a24a)114a24a解得 a7,b24a28 ，故a 7, b27專業(yè)資料整理WORD格式.專業(yè)資料 .整理分享 .專業(yè)資料整理WORD格式.WORD.格式 . 21本小題總分值12 分函數(shù)f ( x)x33x2ax2 ，曲線 yf ( x) 在點(diǎn)0,2處的切線與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2.求a；證明：當(dāng)時(shí)，曲線yf ( x) 與直線 ykx2 只有一個(gè)交點(diǎn)。解： f ( x)3x2 6xa ，f (0) a曲線 yf ( x) 在點(diǎn)0，2處的切線方程為 y ax 2由題設(shè)得2，所以 a 12a由知，f ( x)x33x2x2設(shè) g (x)f ( x)kx2x33x2(1k )x4由題設(shè)知 1k0當(dāng) x0 時(shí)，g (x)3x26x1k0 ，g( x)單調(diào)遞增，g ( 1)k10, g (0)4 ，所以g( x)0 在 (,0 有唯一實(shí)根。當(dāng) x0 時(shí)，令h( x)x33x24 ，那么g( x)h( x)(1k )xh(x)h (x)3x