工程力學(下)—總復習

1、總總 復復 習習軸力軸力 N拉伸為正拉伸為正 壓縮為負壓縮為負ANANmaxmax扭矩扭矩 Mn右手法則：扭矩右手法則：扭矩矢背離截面為正，矢背離截面為正，反之為負。反之為負。trMn22IMPnmaxmaxntMW橫截面上的內(nèi)力橫截面上的內(nèi)力橫截面上的應力橫截面上的應力強度條件強度條件 ANmaxmax maxmaxntMW會畫實心圓會畫實心圓和空心圓橫和空心圓橫截面上內(nèi)力截面上內(nèi)力分布圖分布圖（畫軸力圖）（畫軸力圖）（畫扭矩圖）（畫扭矩圖）會畫薄壁筒會畫薄壁筒橫截面上內(nèi)橫截面上內(nèi)力分布圖力分布圖剛度條件剛度條件變形（虎克定律）變形（虎克定律）EAlNlEG GIMPnmaxmaxGIlMP

2、nGIMPn剪應力互等定理剪應力互等定理 1800maxmaxGIMPn超靜定問題超靜定問題確定變形相容條件確定變形相容條件將力與變形的關系代入幾何方程將力與變形的關系代入幾何方程得補充方程得補充方程聯(lián)立靜力平衡方程與補充方程，聯(lián)立靜力平衡方程與補充方程，解出未知力解出未知力將各（段）桿之間變形的幾何關將各（段）桿之間變形的幾何關系代入相容條件得幾何方程系代入相容條件得幾何方程一般超靜定問題一般超靜定問題解超靜定問解超靜定問題的步驟題的步驟桿件超靜定問題桿件超靜定問題桿系超靜定問題桿系超靜定問題ABCP1m300例題例題 14 簡易起重設備中，簡易起重設備中，AC桿由兩根桿由兩根 80 8 0

3、 7等邊角鋼組成，等邊角鋼組成，AB桿由兩根桿由兩根 10號工字鋼組成。材料為號工字鋼組成。材料為Q235鋼，許用應力鋼，許用應力 =170MPa 。求許可荷載。求許可荷載 P。300PAxyN1N2解：取結點解：取結點A為研究對象，受力分析如圖為研究對象，受力分析如圖所示。所示。ABCP1m300結點結點A的平衡方程為的平衡方程為由型鋼表查得由型鋼表查得m10286021430A242 300PAxyN1N2 0y0P30sinN01 0X030cosNN012 得到：得到：P2N1 P732. 1N2 4211086 2217210 mA許可軸力為許可軸力為AN KN24.369AN11

4、KN20.486AN22 N1=2P N2=1.732P各桿的許可荷載各桿的許可荷載KN6 .1842NP11 許可荷載許可荷載 P=184.6kNKN7 .280732.1NP22 ACDBPPaaa例例 ：求約束反力并畫軸力圖：求約束反力并畫軸力圖ACDBPPaaaRARB解：列平衡方程解：列平衡方程0RPPRBA這是一次超靜定問題這是一次超靜定問題ACDBPPaaaACDBPPaaaRARB變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件0llllDBCDACEAaRlAACEAaPRlACD)(EAaRlBDB補充方程補充方程02PRRBAACDBPPaaaACDBPPaaaRARB02PRRBA聯(lián)立列平衡方

5、程與補聯(lián)立列平衡方程與補充方程充方程0RPPRBA解得解得PRPRBAACDBPPaaaACDBPPaaaRARBPRPRBA-+PP畫軸力圖畫軸力圖例題例題 ：實心圓軸：實心圓軸和空心圓軸和空心圓軸（圖（圖a、b）材料、扭轉(zhuǎn)力偶矩）材料、扭轉(zhuǎn)力偶矩 m 和長度和長度 l 均相等，最大剪應力也相等。若空心圓軸的內(nèi)外徑之比為均相等，最大剪應力也相等。若空心圓軸的內(nèi)外徑之比為 = 0.8 ，試求空心圓截面的外徑和實心圓截面直徑之比及兩軸的重，試求空心圓截面的外徑和實心圓截面直徑之比及兩軸的重量比量比。ld2D2ld1(a)(b)解：設實心圓截面解：設實心圓截面直徑為直徑為d1，空心圓，空心圓截面的

6、內(nèi)、外徑分截面的內(nèi)、外徑分別為別為 d2、 D2 ; 又又扭轉(zhuǎn)力偶矩相等，扭轉(zhuǎn)力偶矩相等，則兩軸的扭矩也相則兩軸的扭矩也相等，設為等，設為 Mn 。ld2D2ld1(a)(b)2max1max已知已知21ttWW有有22max11maxtntnWMWM 21tntnWMWM ld2D2ld1(a)(b)16)1(164322311DWdWtt16)1(1643231Dd因此因此194.18 .0113412dD解得解得ld2D2ld1(a)(b)兩軸材料、長度均相等同，故兩軸的重量比等于兩軸的兩軸材料、長度均相等同，故兩軸的重量比等于兩軸的橫截面積之比橫截面積之比，512. 0)8 . 01

7、(194. 1)1 (4)(4222122221222212dDddDAA 在最大剪應力相等的情況下空心圓軸比實心圓軸在最大剪應力相等的情況下空心圓軸比實心圓軸輕，即節(jié)省材料。輕，即節(jié)省材料。36：階梯形圓桿：階梯形圓桿AE段為空心，外徑段為空心，外徑 D =140mm，內(nèi)徑，內(nèi)徑d=100mm。BC段為實心，直徑段為實心，直徑 d=100mm。外力偶矩。外力偶矩mA=18KN.m，mB=32KN.m，mC=14KN.m。已知許用切應力。已知許用切應力 =80MPa 。試校核軸的強度。試校核軸的強度。ABCEddDmAmBmCABCEddDmAmBmC-+1814解；作扭矩圖解；作扭矩圖mAB

8、 =18KN.m ，mBD =14KN.mABCEddDmAmBmCmAB =18KN.m ，mBD =14KN.m2 .45)(1 1643MPaDdDMWMnAEnnAEAEABCEddDmAmBmCmAB =18KN.m ，mBD =14KN.m3 .71163MPadMWMnBCnnBCBC剪剪 切切 與與 擠擠 壓壓AQ式中，式中， Q 為受剪面上的剪力為受剪面上的剪力A為受剪面的面積。為受剪面的面積。PPmmmmP剪切面剪切面Q剪應力為剪應力為剪切的強度條件為剪切的強度條件為 AQ 為材料的許用剪應力。為材料的許用剪應力。在擠壓在擠壓近似計算中，假設近似計算中，假設 名義名義擠壓應

9、力擠壓應力 的的計算式為計算式為APjyjyjyAjy 為計算擠壓面的面積為計算擠壓面的面積Pjy 為接觸面上的擠壓力為接觸面上的擠壓力擠壓的強度條件為擠壓的強度條件為jyjyjyjyAP jy 為許用擠壓應力為許用擠壓應力dh（1）當接觸面為圓柱面時）當接觸面為圓柱面時, 擠壓擠壓面積面積 Ajy 為實際接觸面在直徑平面為實際接觸面在直徑平面上的投影面積上的投影面積 hdAjy實際接觸面直徑投影面（2）當接觸面為平面時）當接觸面為平面時, 擠壓擠壓面積面積 Ajy 為實際接觸面積為實際接觸面積 DdhP銷釘?shù)募羟忻婷娣e銷釘?shù)募羟忻婷娣e A銷釘?shù)臄D壓面面積銷釘?shù)臄D壓面面積 Ajy思考題hdDd

10、hP剪切面dhADdhP剪切面擠壓面擠壓面)(422dDAjybllaPP剪切面面積：剪切面面積： A=b l擠壓面面積：擠壓面面積： Ajy = a b 例題：在厚度例題：在厚度t=5mm的鋼板上沖出形狀如圖的孔，若鋼的鋼板上沖出形狀如圖的孔，若鋼板材料的剪切強度極限板材料的剪切強度極限 b=300MPa,求求沖床所需的沖壓力沖床所需的沖壓力F。R=50R=50400解：剪切面的面積為解：剪切面的面積為mmdtbtA5570550214. 35400223KNAFb1671bAF彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力（剪力，彎矩）彎曲內(nèi)力（剪力，彎矩）剪力和彎矩符號的規(guī)定剪力和彎矩符號的規(guī)定截面法求剪力和

11、彎矩截面法求剪力和彎矩簡易法求剪力和彎矩簡易法求剪力和彎矩作內(nèi)力圖作內(nèi)力圖寫出剪力方程和彎矩方程，寫出剪力方程和彎矩方程， 畫出內(nèi)力圖畫出內(nèi)力圖利用分部荷載集度，剪力，彎矩之間的關系畫利用分部荷載集度，剪力，彎矩之間的關系畫出內(nèi)力圖出內(nèi)力圖)()(xqdxxdQ )()(xQdxxdM )()(xqxdMdx 22分部荷載集度，剪力，彎矩之間的關系分部荷載集度，剪力，彎矩之間的關系q0向下的均布向下的均布荷載荷載無荷載無荷載集中力集中力PC集中力偶集中力偶mC向下傾斜的向下傾斜的直線直線上凸的二次上凸的二次拋物線拋物線在在Q=0的截面的截面水平直線水平直線一般斜直線一般斜直線或或在在C處有突變

12、處有突變P在在C處有尖角處有尖角或或在剪力突變在剪力突變的截面的截面在在C處無變化處無變化C在在C處有突變處有突變m在緊靠在緊靠C的某的某一側截面一側截面一段梁上一段梁上的外力情的外力情況況剪力圖的特征剪力圖的特征彎矩圖的特征彎矩圖的特征最大彎矩所在最大彎矩所在截面的可能位截面的可能位置置幾種荷載下剪力圖與彎矩圖的特征幾種荷載下剪力圖與彎矩圖的特征支座反力為支座反力為例：畫剪力圖和彎矩圖例：畫剪力圖和彎矩圖RA=22KNRB=18KNq=10kN/mm=8kNmABC4m4mRARB2m2mq=10kN/mm=8kNmRARBABC剪力圖剪力圖CA段：段：()QC = 0AB段：段：( )QA

13、右右=RA = 22KNQB左左 = - RB = -18KN+-22KN18KN令令 Qx= -RB + qx = 0X=1.8mxE彎矩圖彎矩圖CA段：段：()MC右右 = -m= -8KN。mAB段：段：( )q=10kN/mm=8kNmRARBABCEX=1.8MB = 016.2KN.m8KN.m-+)2(28 . 1qxxRMBxEmKN.2 .16例：畫內(nèi)力圖例：畫內(nèi)力圖AC: ()2qaQA 右CB: ( )23qaQB 左2qaP qa2aACB+-2qa23qa x(1) 剪力圖剪力圖設距設距A端為端為x的截面上剪力等于零的截面上剪力等于零0右BQ0)(axqPax5 .

14、122qaMC 85222qaaxqPxM )(max2qaP qa2aACBAC: ( )(2) 彎矩圖彎矩圖0 AMCB: ( )2232qaaqaaPMB左0 MB右x=1.5a+-22qa852qa22qa彎曲應力彎曲應力一一 橫截面上正應力橫截面上正應力IyxMZ)(（1）彎曲時橫截面上正應力公式）彎曲時橫截面上正應力公式 （2）橫截面上正應力分布）橫截面上正應力分布 橫截面上正應力沿截面高度成直線分布；橫截面上正應力沿截面高度成直線分布；中性軸上正應力中性軸上正應力 = 0 ； 橫截面上離中性軸最遠的各點處，橫截面上離中性軸最遠的各點處， 正應力值最大。正應力值最大。zWxM)(m

15、ax（3）當中性軸）當中性軸 z為截面對稱軸時為截面對稱軸時（4）當中性軸）當中性軸z不是截面對稱軸時不是截面對稱軸時zyzycmaxytmaxIyxMzttmaxmax)(IyxMzccmaxmax)( （5） 梁的正應力強度條件梁的正應力強度條件maxmaxzWM中性軸是對稱軸時中性軸是對稱軸時對于材料的對于材料的 ， 且中性軸且中性軸 z不是橫截面不是橫截面對稱軸的梁，要分別用最大拉應力和最大壓應力對稱軸的梁，要分別用最大拉應力和最大壓應力進行強度校核，進行強度校核， 即：即：ctmaxmaxmaxmaxmaxmaxczcctzttIyMIyM彎彎 曲曲 變變 形形一，撓曲線近似微分方程

16、一，撓曲線近似微分方程)(xMyEI 2，撓曲線近似微分方程，撓曲線近似微分方程1，轉(zhuǎn)角與的撓度關系，轉(zhuǎn)角與的撓度關系ydxdy二，積分法求轉(zhuǎn)角和撓度方程二，積分法求轉(zhuǎn)角和撓度方程)(xMyEI 積分常數(shù)的確定積分常數(shù)的確定邊界條件邊界條件變形相容條件變形相容條件三，疊加法三，疊加法應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析一，平面應力狀態(tài)分析一，平面應力狀態(tài)分析1，任一斜截面上的應力，任一斜截面上的應力 2sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyx2，解析法求，解析法求 主應力，主平面，主應力方向（主平面方位）主應力，主平面，主應力方向（主平面方位）yxxtg220190012 minmax22)2

17、(2xyxyx )90(45,0101范范圍圍內(nèi)內(nèi)取取值值在在則則yx1 1若若yxxtg220190012 2，平面應力狀態(tài)分析圖解法，平面應力狀態(tài)分析圖解法二，空間應力狀態(tài)分析二，空間應力狀態(tài)分析1，畫空間應力狀態(tài)應力圓，畫空間應力狀態(tài)應力圓2，最大剪應力公式，最大剪應力公式231max三，廣義虎克定律三，廣義虎克定律)(1zyxxE)(1)(1yxzzxzyyEEGyzyzGxyxy Gzxzx)(13211E)(11322E)(12133E三向廣義虎克定律（已知三向廣義虎克定律（已知 1， 2， 3） 1 1 ， 2 2 ， 3 3 稱為主應變稱為主應變 。四，強度理論四，強度理論1，

18、四種基本強度理論，四種基本強度理論2，莫爾強度理論，莫爾強度理論 11r)(3212 r 313r213232221421 r r31ctrM例一：單元體應力狀態(tài)如圖。用解析法和圖解法求：例一：單元體應力狀態(tài)如圖。用解析法和圖解法求：主應力，并在單元體中畫出主應力方向。主應力，并在單元體中畫出主應力方向。50202050 xx200 yy(1) 解析法解析法maxmin22)2(2xyxyx =57-77057321 )2(210yxxtq4 .1416 .3800 )2(210yxxtq4 .1416 .3800 07 .703 .1900 因為因為 x x y y，所以，所以3 .1901

19、 3 .1900 3150202050 xx200 yy0 (2) 圖解法圖解法D1CA1A22 0317057321 3 .196 .3820000 50202050 xx200 yyD2(3) 畫主應力方向畫主應力方向 7057321 3 .1900 3 .1900 13由由 x =70 ， y = 30 ， x = 40 求另兩個求另兩個主應力主應力解：解： （1）首先求主應力）首先求主應力 z = 50 主應力之一主應力之一30MPa70MPa50MPa40MPa70MPa40MPa30MPa例四：求相當應力例四：求相當應力24022307023070minmax 94.725.282

20、8. 5,50,72.94321 70MPa40MPa30MPaMPa.r44893 （2）計算相當應力）計算相當應力MPar5 .774 30MPa70MPa50MPa40MPa彎扭組合變形中四個強度公式的應用彎扭組合變形中四個強度公式的應用WTMr223WTMr75. 0224422313 r2243r例一，截面矩形柱如圖所示。例一，截面矩形柱如圖所示。P1的作用線與桿軸線重合，的作用線與桿軸線重合，P2作用在作用在 y 軸上。已知，軸上。已知， P1 = P2 = 80KN，b=24cm , h=30cm。如要使柱的如要使柱的mm截面只出現(xiàn)壓應力，求截面只出現(xiàn)壓應力，求 P2 的偏心距的

21、偏心距e。P2yzebhP1P2mm解：解：1將力將力P2向截面形心簡化后，梁向截面形心簡化后，梁上的外力有上的外力有軸向壓力軸向壓力PPP21 力偶矩力偶矩ePmZ2 P2yzebhP1P2mmyZmmP2yzebhP1P2mm2mm截面上的內(nèi)力有截面上的內(nèi)力有軸力軸力 N =P1+P2 =P彎矩彎矩 Mz = P2eNMzyZmmP2yzebhP1P2mmN軸力產(chǎn)生壓應力軸力產(chǎn)生壓應力APPAP21 yZmmP2yzebhP1P2mmMz彎矩產(chǎn)生的最大正應力彎矩產(chǎn)生的最大正應力622bhePWMzz maxtmaxCAPPAP21 622bhePWMzz yZmmNyZmmMzmaxtma

22、xC3橫截面上不產(chǎn)生拉應力的條件為橫截面上不產(chǎn)生拉應力的條件為062221 bhePAPPt解得：解得： e =10cm例二，鋼制圓截面桿，直徑例二，鋼制圓截面桿，直徑 d=100mm , 受力受力 P=4.2KN , 力偶矩力偶矩 m=1.5KN.m 。許用應力。許用應力 =80MPa 。按第三強。按第三強度條件校核軸的強度。度條件校核軸的強度。500500mPPxyz500500mPPxyz解：該桿為兩個平面內(nèi)的彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形。解：該桿為兩個平面內(nèi)的彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形。固定端截面是危險截面固定端截面是危險截面500500mPPxyzmKNPMz.241 mKNPMy.1250 mKNMMMyz.7422 合成彎矩為合成彎矩為500500mPPxyzmKNMMMyz.7422 扭矩為扭矩為mKNMn.5 . 1 MPaTMWr35041223.323dW 例三，例三， 某軸受力如圖所示。已知圓的直徑某