概率論與數(shù)理統(tǒng)計

1、4.3 協(xié)方差協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)與相關(guān)系數(shù)當當X與與Y相互獨立相互獨立有有. 0)()( YEYXEXE當當0)()( YEYXEXEX與與Y一定不相互獨立，一定不相互獨立，這這說明量說明量)()(YEYXEXE 在在一定程度上反映了隨機變量一定程度上反映了隨機變量X與與Y之間的關(guān)系之間的關(guān)系.定義定義1 設(shè)設(shè)Y)(X,為二維隨機向量為二維隨機向量, 若若)()(YEYXEXE 存在存在, 則稱其為隨機變量則稱其為隨機變量X和和Y的的協(xié)方差協(xié)方差, 記為記為),(YXCov即即 ),(YXCov)()(YEYXEXE 按定義按定義, 若若Y)(X,為離散型隨機向量為離散型隨機向量, 其概率分布其

2、概率分布為為), 2 , 1,(, jipyYxXPijii則則ijjijipYEyXExYXCov ,)()(),(一、協(xié)方差一、協(xié)方差的定義的定義若若Y)(X,為連續(xù)型隨機向量為連續(xù)型隨機向量, 其概率密度為其概率密度為),(yxf則則dxdyyxfYEyXExYXCov ),()()(),(計算協(xié)方差的簡化公式計算協(xié)方差的簡化公式:).()()(),(YEXEXYEYXCov 特別地特別地, 當當X與與Y獨立時獨立時, 有有. 0),( YXCov ),(YXCov)()(YEYXEXE 二、二、協(xié)方差的基本性質(zhì)協(xié)方差的基本性質(zhì)(1);(),(XDXXCov (2);,(),(XYCov

3、YXCov (3),(),(YXabCovbYaXCov 其中其中ba,是是常數(shù)常數(shù);(4), 0),( XCCovC為任意常數(shù)為任意常數(shù);(5);,(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov 2. 隨機變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系隨機變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系Y),2Cov(X,D(Y)D(X)Y)(X D特別地特別地, 若若X與與Y相互獨立相互獨立, 則則D(Y).D(X)Y)(X D例例1已知離散型隨機向量已知離散型隨機向量),(YX的概率分布如右表的概率分布如右表, ,求求).,cov(YX1 . 0015. 021 . 005. 03 . 0102 . 01 . 00201

4、 XY解解容易求得容易求得X的概率分的概率分, 3 . 00 XP,45. 01 XP;25. 02 XPY的概率分布為的概率分布為,55. 01 YP,25. 00 YP, 2 . 02 YP布為布為例例1已知離散型隨機向量已知離散型隨機向量),(YX的概率分布如右表的概率分布如右表, ,求求).,cov(YX1 . 0015. 021 . 005. 03 . 0102 . 01 . 00201 XY解解計算得計算得0202 . 0001 . 0)1(0)( XYE1 . 0215 . 0013 . 0)1(1 1 . 02200215. 0)1(2 . 0 2 . 0225. 0055.

5、0)1()( YE.15. 0 于是有于是有25. 0245. 013 . 00)( XE,95. 0 于是于是)()()(),cov(YEXEXYEYX .1425. 015. 095. 0 例例2 設(shè)連續(xù)型隨機變量設(shè)連續(xù)型隨機變量),(YX的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為, 010,8),( 其它其它yxxyyxf求求),cov(YX和和).(YXD 解解由由),(YX的密度函數(shù)可求得其邊緣密度函的密度函數(shù)可求得其邊緣密度函數(shù)分別為數(shù)分別為: :, 010),1(4)(2 其它其它xxxxfX, 010,4)(3 其它其它yyyfY例例2 設(shè)連續(xù)型隨機變量設(shè)連續(xù)型隨機變量),(YX的密度函數(shù)為的密

6、度函數(shù)為, 010,8),( 其它其它yxxyyxf求求),cov(YX和和).(YXD 解解 于是于是 dxxxfXEX)()( 102)1(4dxxxx,15/8 dyyyfYEY)()( 1034dyyy, 5/4 dxdyyxxyfXYE),()( 1108xdyxyxydx, 9/4 例例2 設(shè)連續(xù)型隨機變量設(shè)連續(xù)型隨機變量),(YX的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為, 010,8),( 其它其它yxxyyxf求求),cov(YX和和).(YXD 解解 于是于是)(XE,15/8 )(YE, 5/4 )(XYE, 9/4 從而從而)()()(),cov(YEXEXYEYX ,225/4 又又

7、dxxfxXEX)()(22 1022)1(4dxxxx, 3/1 dyyfyYEY)()(22 10324dyyy, 3/2 所以所以22)()()(XEXEXD ,225/11 例例2 設(shè)連續(xù)型隨機變量設(shè)連續(xù)型隨機變量),(YX的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為, 010,8),( 其它其它yxxyyxf求求),cov(YX和和).(YXD 解解 于是于是)(XE,15/8 )(YE, 5/4 )(XYE, 9/4 從而從而)()()(),cov(YEXEXYEYX ,225/4 又又)(2XE, 3/1 )(2YE, 3/2 所以所以22)()()(XEXEXD ,225/11 故故),cov(2

8、)()()(YXYDXDYXD . 9/1 ,75/2)()()(22 YEYEYD定義定義 設(shè)設(shè)),(YX為二維為二維隨機向量，隨機向量，, 0)( XD, 0)( YD稱稱)()(),cov(YDXDYXXY 為為隨機變量隨機變量X和和Y的的相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)， 有時也記有時也記XY 為為. 特別地，特別地，當當0 XY 時，時，稱稱X與與Y不不相關(guān)相關(guān).三、相關(guān)系數(shù)的定義三、相關(guān)系數(shù)的定義注注：相關(guān)系數(shù)刻畫了相關(guān)系數(shù)刻畫了X和和Y間間“線性相關(guān)線性相關(guān)”的的程度程度.XY 的值越的值越接近于接近于1，Y與與X線性相關(guān)程度越高；線性相關(guān)程度越高；XY 的值越的值越接近于接近于0，Y與與X線性

9、相關(guān)程度越弱；線性相關(guān)程度越弱；1 XY 時，時，Y與與X有有嚴格線性關(guān)系；嚴格線性關(guān)系；0 XY 時，時，Y與與X無線性關(guān)系；無線性關(guān)系；注意注意：只只說明說明Y與與X沒有線性沒有線性關(guān)系關(guān)系. 并不能說明并不能說明Y與與X之間沒有其它函數(shù)關(guān)系之間沒有其它函數(shù)關(guān)系.與與從而不能推出從而不能推出YX獨立獨立.0 XY 時，時，當當四、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)四、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)1.; 1 XY 2. 若若X和和Y相互獨立，相互獨立，; 0 XY 則則例例3 設(shè)設(shè)),(YX的分布律為的分布律為14/14/14/14/12/14/1004/142/104/14/1012112iixYPyYPYX 易知易知,

10、0)( XE, 2/5)( YE, 0)( XYE于是于是, 0 XY YX,不相關(guān)不相關(guān). . 這表示這表示YX,不存不存在線性關(guān)系在線性關(guān)系, , 但但,1201, 2 YPXPYXP例例3 設(shè)設(shè)),(YX的分布律為的分布律為14/14/14/14/12/14/1004/142/104/14/1012112iixYPyYPYX 這表示這表示YX,不存在線性關(guān)系不存在線性關(guān)系, 但但,1201, 2 YPXPYXP知知YX,不是相互獨立的不是相互獨立的.事實上事實上, ,X和和Y具有關(guān)系具有關(guān)系: :,2XY Y的值完全可由的值完全可由X的值所確定的值所確定. .例例4 設(shè)設(shè) 服從服從, 上

11、的均勻分布上的均勻分布, , 且且,sin X cos Y判斷判斷X與與Y是否不相關(guān)是否不相關(guān), , 是否獨立是否獨立.解解 由于由于, 0sin21)( dXE, 0cos21)( dYE而而. 0cossin21)( dXYE因此因此),()()(YEXEXYE 從而從而X與與Y不相關(guān)不相關(guān). . 但由于但由于X與與Y滿足關(guān)系滿足關(guān)系: :122 YX所以所以X與與Y不獨立不獨立.例例6 設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量),(),(2121 NYX.)()(),cov( YDXDYXXY若若),(YX服從二維正態(tài)分布服從二維正態(tài)分布, , 則則X與與Y相互獨立相互獨立,當且僅當當且僅當X與與Y

12、不相關(guān)不相關(guān). .五、矩五、矩的的概念概念定義定義 設(shè)設(shè)X和和Y為為隨機變量，隨機變量，lk,為正整為正整數(shù)，數(shù)，)(kXE為為k階階原點矩原點矩 (簡稱簡稱k階階矩矩);)(kXEXE 為為k階階中心矩中心矩)(kXE為為k階階絕對原點矩絕對原點矩；)(kXEXE 為為k階階絕對中心矩絕對中心矩；稱稱)(lkYXE為為X和和Y的的lk 階階混合矩混合矩;)()(lkYEYXEXE 為為X和和Y的的lk 階混合中心矩階混合中心矩.六、協(xié)方差矩陣六、協(xié)方差矩陣將二維將二維隨機變量隨機變量),(21XX的四個二階的四個二階中心矩中心矩,)(21111XEXEc ,)(22222XEXEc ),()

13、(221112XEXXEXEc ).()(112221XEXXEXEc 排成排成矩陣的形式：矩陣的形式： 22211211cccc對稱矩陣對稱矩陣稱此稱此矩陣為矩陣為),(21XX的的協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣.類似定義類似定義n維維隨機變量隨機變量),(21nXXX的協(xié)方差的協(xié)方差矩陣矩陣. 若若),cov(jiijXXc njiXEXXEXEjjii, 2 , 1,)()( 都都存在，存在， nnnnnncccccccccC212222111211為為),(21nXXX的的協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣.稱稱4.4 大數(shù)定理與中心極限定理大數(shù)定理與中心極限定理1. 在大量隨機現(xiàn)象的平均結(jié)果是一個與個別隨機

14、現(xiàn)象在大量隨機現(xiàn)象的平均結(jié)果是一個與個別隨機現(xiàn)象的特征無關(guān)的結(jié)果的特征無關(guān)的結(jié)果, 并且?guī)缀鯖]有隨機性特征；并且?guī)缀鯖]有隨機性特征；2. 大數(shù)定律以確定的形式表達了這種規(guī)律性大數(shù)定律以確定的形式表達了這種規(guī)律性,并論證了并論證了其成立的其成立的, 即從理論上闡述了這種大量的、在一定條即從理論上闡述了這種大量的、在一定條件下的、重復(fù)的隨機現(xiàn)象呈現(xiàn)的規(guī)律性件下的、重復(fù)的隨機現(xiàn)象呈現(xiàn)的規(guī)律性, 揭示了在事揭示了在事物表象后面的本質(zhì)特征。物表象后面的本質(zhì)特征。大數(shù)定律從理論上解決下面兩個問題大數(shù)定律從理論上解決下面兩個問題: (1)用頻率近似代替概率問題用頻率近似代替概率問題P(A)=m/n; (2)

15、討論討論n個隨機變量的平均值的穩(wěn)定性。個隨機變量的平均值的穩(wěn)定性。一、切比雪夫一、切比雪夫(Chebyshev)不等式不等式定理定理1 隨機變量隨機變量 滿足滿足E = ,D = 2, 則對任給則對任給 0有有.122 XP.22 XP)( xfxy O ,111. 09322 XP如如取取,3 則有則有例例1 是擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)是擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù),給定給定 =1,2, 計算計算P(| -E |),并驗證切比雪夫不等式。并驗證切比雪夫不等式。解解: 123456p1/61/61/61/61/61/6E =3.5, D =35/12,P| -3.5| 1=P4.5+P2.5=2/3 35

16、/12=D /12;P| -3.5| 2=P5.5+P1.5=1/3 35/48=D /42.例例2 已知正常男性成人每毫升血液中白細胞數(shù)平均是已知正常男性成人每毫升血液中白細胞數(shù)平均是7300, 均方差是均方差是700, 利用切比雪夫不等式估計每毫升利用切比雪夫不等式估計每毫升血液中白細胞數(shù)在血液中白細胞數(shù)在52009400之間的概率。之間的概率。解解: 設(shè)每毫升血液中白細胞數(shù)為設(shè)每毫升血液中白細胞數(shù)為 , 則則 =7300, =700,所求概率為所求概率為52009400P5200730094007300P 21002100P2100P2281.(2100)9 例例3 有有1000盞電燈盞

17、電燈,夜晚每盞燈開燈的概率均為夜晚每盞燈開燈的概率均為0.85,各各電燈開和關(guān)相互獨立。估計同時開著的燈的數(shù)量在電燈開和關(guān)相互獨立。估計同時開著的燈的數(shù)量在800至至900之間的概率。之間的概率。解解: 設(shè)設(shè) 表示同時開著的燈的數(shù)量表示同時開著的燈的數(shù)量, 則則 B(1000, 0.85), E =np=850, D =npq=1000 0.85 0.15=127.5,P(800 900)=P(| -850|0, 有有11lim1.niniPn證明證明由由,/)(,)(2nYDYEnn 根據(jù)切比雪夫根據(jù)切比雪夫等式即得等式即得221 nYPn 令令, n再再注意到概率不可能大于注意到概率不可能

18、大于1， 即證即證得結(jié)果得結(jié)果.注注： 定理表明：定理表明：對對任意任意, 0 事件事件 nY發(fā)生的概率很大，發(fā)生的概率很大，從從概率意義上指出了，概率意義上指出了，時，時，nY逼近逼近 的的確切含義確切含義.在在概率論中，概率論中，當當n很大很大收斂于收斂于, 記為記為 PnY把把 (*)式式表示的收斂性稱為隨機變量序列表示的收斂性稱為隨機變量序列nY依概率依概率11lim1.niniPn推論推論 設(shè)設(shè)An是是n重伯努重伯努試驗中事件試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，發(fā)生的次數(shù)，p是是事件事件A在在每次試驗中發(fā)生的概率，每次試驗中發(fā)生的概率，則對則對任意的任意的, 0 有有. 1lim pnnPAn(*)證明證明因為因為),(pnbnA所以所以,21nAXXXn 其中其中nXXX,21相互獨立，相互獨立， 且都且都服從以服從以p為參數(shù)為參數(shù)10 分布，分布，的的因而因而nippXDpXEi