第1章矢量分析3

1、本章內容本章內容1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)1.2 三種常用的正交曲線坐標系三種常用的正交曲線坐標系1.3 標量場的梯度標量場的梯度1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度1.5 矢量場的環(huán)流與旋度矢量場的環(huán)流與旋度1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場1.7 拉普拉斯運算與格林定理拉普拉斯運算與格林定理1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理1. 1. 標量和矢量標量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：AA矢量的單位矢量矢量的單位矢量：標量標量：一個只用大小描述的物理量。一個只用大小描述的物理量。AAAeaAae，（現(xiàn)在文獻中用 來表示單位矢量）矢量的代數(shù)表示矢量的代數(shù)表示：AAAe AeA1.1 矢

2、量代數(shù)矢量代數(shù)矢量矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用斜體加一個既有大小又有方向特性的物理量，常用斜體加黑字母或帶箭頭的字母表示。黑字母或帶箭頭的字母表示。 矢量的幾何表示矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示一個矢量可用一條有方向的線段來表示 注意注意：單位矢量不一定是常矢量。：單位矢量不一定是常矢量。 A矢量的幾何表示矢量的幾何表示常矢量常矢量：大小和方向均不變的矢量。大小和方向均不變的矢量。 xxyyzzxyzAe Ae Ae AAxAyAzA也可以表示為cosxcoscosxxyzAAAAAAAA，表 示在方 向 的 投 影 ， 是 一 個 標 量，(coscosc

3、os )xyzAA eee矢量用坐標分量表示矢量用坐標分量表示coscoscoscoscoscoscoscoscosAxyzAAxyzeeeeaxyz或其中、分別表示矢量與 、 、 軸正向間的夾角余弦，稱為矢量 的方向余弦。zAxAAyAzxyO（1）矢量的加減法）矢量的加減法 有兩種方法計算，一種是用三角形法則有兩種方法計算，一種是用三角形法則計算兩矢量的加減計算兩矢量的加減, ,一般用于常矢量的計算，一般用于常矢量的計算，如圖所示。如圖所示。加法。以一個矢量的終點為起點畫出另外一加法。以一個矢量的終點為起點畫出另外一個矢量，新矢量的終點即為加法結果。個矢量，新矢量的終點即為加法結果。2.

4、矢量的代數(shù)運算矢量的代數(shù)運算 減法。以減矢量的終點為起點，被減矢量的減法。以減矢量的終點為起點，被減矢量的終點為終點的矢量即為減法結果。終點為終點的矢量即為減法結果。 ()()()xxxyyyzzzABe ABeABe AB矢量的加減符合交換律和結合律矢量的加減符合交換律和結合律 另一種是代數(shù)計算：在直角坐標系中兩矢量的加法和減法，對另一種是代數(shù)計算：在直角坐標系中兩矢量的加法和減法，對應分量相加減：應分量相加減：結合律結合律()()ABCABCABBA交換律交換律（2 2）標量乘矢量）標量乘矢量（3）矢量的標積（點積）矢量的標積（點積）xxyyzzkAe kAe kAe kAxxyyzzA

5、BA BA BA B 數(shù)學計算：對應分量相乘的和A BB A矢量的標積符合交換律矢量的標積符合交換律1xxyyzzeeeeee0 xyyzzxeeeeeeABq矢量矢量 與與 的夾角的夾角ABAB0A B /A BA BAB 定義：定義：cosABA BABq （4）矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積）ABsinnABe ABq()()()xyzzyyzxxzzxyyxABeA BA BeA BA Be A BA BxyzxyzxyzeeeA BAAABBBA BBA qsinABqBABA矢量矢量 與與 的叉積的叉積AB用坐標分量表示為用坐標分量表示為寫成行列式形式為寫成行列式形式為不滿足交

6、換律不滿足交換律不滿足結合律不滿足結合律0,0,0,xxyyzzxyzyzxzxyeeeeeeeeeeeeeee若若 ，則，則ABABAB/AB0AB若若 ，則，則叉積：123(12 15)(6 12)(58)456( 3)6( 3)xyzxyzxyzeeeABeeeeee解(14)(25)(36)579xyzxyzABeeeeee點積：(1 4)(25)(36)32A B123,456xyzxyzAeeeBeee例：求的和、點積與叉積. 和：（5 5）矢量的混合運算）矢量的混合運算()ABCA CB C ()ABCA CB C()()()AB CBCACA B()()()ABCA C BA

7、B C 分配律分配律 分配律分配律 標量三重積標量三重積 矢量三重積矢量三重積yzxyxzxyzyzxyxzBBBBBBAeeeCCCCCCxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzAAABBBBBBBBBAAACCCBCACCCCCCAAA yzxyxzxyzyzxyxzBBBBBBAAACCCCCC證證:xyzxyzxyzeeeAB CA BBBCCC()()()AB CBCACA B()()()ABCA C BA B C ()xyzxxyyzzxyzxyzyzxyxzxyzyzxyxzxyzxyzxyzxyzyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxeeeAB Ce A

8、e Ae ABBBCCCBBBBBBAeeeCCCCCCeeeAAAAAAeeeBBBBBBBBBBBBCCCCCCCCCCCC 證：證：xyzxyzyzxyzxyzxyzxAAAAB CeeeBBBBBBCCCCCC xyyzxyyzzxzxyzxzxyxyzxyyzxyyzzxzxBBBBBBBBBBBBeeAeeAeeACCCCCCCCCCCC yxzyxyyzzxxzyzxzxyxyzyxzyxyyzzxxzBBBBBBBBBBBBeeAeeAeeACCCCCCCCCCCCyxzxyzyxzBBBBBBBA BAAACCCCCCCA C yyzzxzzxxyxxyyzxyzyyzzxz

9、zxxyxxyyze Be BBe Be BBe Be BBAAAe Ce CCe Ce CCe Ce CC CBABCACBA有：三重矢量積有：三重矢量積 三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交曲線的交點來三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交曲線的交點來確定。確定。1.2 三種常用的正交曲線坐標系三種常用的正交曲線坐標系 在電磁場與波理論中，在電磁場與波理論中，三種常用的正交曲線坐標系為：三種常用的正交曲線坐標系為：直角直角坐坐標系、圓柱坐標系和球坐標系標系、圓柱坐標系和球坐標系。用來求解規(guī)則形狀的電磁問題。用來求解規(guī)則形狀的電磁問題。 三條正交曲線組成的確定三維空間任意點位置的體系，

10、稱為三條正交曲線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為正交曲線坐標系正交曲線坐標系；三條正交曲線稱為；三條正交曲線稱為坐標軸坐標軸；描述坐標軸的量稱；描述坐標軸的量稱為為坐標變量坐標變量。 描繪物理狀態(tài)空間分布的標量函數(shù)描繪物理狀態(tài)空間分布的標量函數(shù) 和矢量函和矢量函數(shù)數(shù) ，在時間一定的情況下，它們是唯一的，在時間一定的情況下，它們是唯一的，其大小或方向與所選擇的坐標系無關，即對于坐標其大小或方向與所選擇的坐標系無關，即對于坐標系的變換，系的變換， 和和 的大小與方向保持不變。的大小與方向保持不變。( )r( )F r( )r( )F r( )( , , )( , , )( , , )F r

11、F x y zFzF r q xyzx,y,z,e ,e ,e 在正交坐標系：直角坐標在正交坐標系：直角坐標z, ,z,e ,e ,e 柱面坐標柱面坐標rr, ,e ,e ,e 球面坐標球面坐標1. 直角坐標系直角坐標系 xyzre xe ye z位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量線元矢量線元矢量ddddxyzle xe ye zdd dd dxxyzxSe lle y zdd dd dzzxyzSe lle x y體積元體積元dd d dVx y zdd dd dyyxzySellex z坐標變量坐標變量, ,x y z坐標單位矢量坐標單位矢量,xyze e e 點點P(x0,y0,z0)0y

12、y（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐標系直角坐標系 xezeyex yz直角坐標系的長度元、面積元、體積元直角坐標系的長度元、面積元、體積元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd18( , , ), , , M x y zMxoyPzM設為空間內一點，并設點在面上的投影的極坐標為，則這樣的三個數(shù)就叫點的柱面坐標2. 柱面坐標系柱面坐標系0, ,20. zxyzo),(zyxM( , )P 規(guī)定：簡單地說，柱面坐標就是xoy 面上的極坐標 + z 坐標, ,ze e e 坐標單位矢量坐標單位矢量19cos ,s

13、in ,. xyzz為常數(shù)xyzoz),(zyxM( , )P xyzo柱面坐標與直角坐標的柱面坐標與直角坐標的關系為關系為為常數(shù)為為常常數(shù)數(shù)z如圖，三坐標面分別為如圖，三坐標面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平平 面面22,arctan,. xyyxzz20單位矢量變換xyzo),(zyxM( , )P ezeesincosyeeecossinxeeecossinyxeeecossinxyeeezzee寫成矩陣形式cossin0sincos0001xyzzeeeeeecossin0sincos0001xyzzeeeeee 轉換矩陣都是正交矩陣，正交矩陣定義：AAA AI（*表示共軛轉置

14、，實數(shù)矩陣只需要轉置）上式兩邊同時左乘轉換矩陣的轉置矩陣， 轉換矩陣矢量的變換若矢量是用柱坐標表示的，將它投影到直角坐標系下x、y、z軸上，則可得該矢量在直角坐標系下的表達式sincosyyAA eAAcossinxxzzxAA eA eA eA eeAAzzAA寫成矩陣形式cossin0sincos0001xyzzAAAAAAcossin0sincos0001xyzzAAAAAA 柱坐標系下的兩個矢量當值不相等時不能直接相加，要轉換到直角坐標系后再相加，為什么？dd dd ddd dd ddd dd dzzzzzSellezSe llezSe lle ddddzleee z 線元矢量線元矢量

15、dd d dVz 體積元體積元面元矢量面元矢量圓柱坐標系中的線元、面元和體積元圓柱坐標系中的線元、面元和體積元zree z位置矢量位置矢量253.球面坐標系( , , ) M x y zMrrOMOMzzxOPPMxoyrMqqq設為空間內一點，則點可用三個有次序的數(shù) ， ，來確定，其中 為原點與點間的距離，為有向線段與軸正向所夾的角，為從正軸來看自 軸按逆時針方向轉到有向線段的角，這里為點在面上的投影，這樣的三個數(shù) ， ，就叫做點的球面坐標0,r .20,0q規(guī)定：規(guī)定：Pxyzo),(zyxMrqzyxA,re e eq 坐標單位矢量坐標單位矢量26r 為常數(shù)為常數(shù)q為常數(shù)如圖，三坐標面分

16、別為如圖，三坐標面分別為圓錐面；圓錐面；球球 面；面；半平面半平面sincos ,sin sin ,cos .xryrzrqqq球面坐標與直角坐標的關系為球面坐標與直角坐標的關系為Pxyzo),(zyxMrqzyxAxyzorq22222,arctan,arctanrxyzxyzyxq27單位矢量變換sincossinsincosrxyzeeeeqqqcos coscos sinsinxyzeeeeqqqqcossinyxeeesincoscos cossinxreeeeqqqsinsincos sincosyreeeeqqqcossinzreeeqqqxyzorqeree寫成矩陣形式sinc

17、ossin sincoscos coscos sinsinsincos0rxyzeeeeeeqqqqqqqsincoscos cossinsinsincos sincoscossin0 xryzeeeeeeqqqqqqq轉換矩陣都是正交矩陣：上式兩邊同時右乘轉換矩陣的轉置矩陣 矢量的變換sincoscoscossinxxrrxrAA eA eA eA eeAAAqq qqqsinsincos sincosyyrryrAA eA eA eA eeAAAqq qqqcossinzzrrzrAA eA eA eA eeAAqq qqq寫成矩陣形式sincoscoscossinsinsincos si

18、ncoscossin0 xryzAAAAAAqqqqqqqsincossin sincoscos coscos sinsinsincos0rxyzAAAAAAqqqqqqq2dddsinddrrrSelle rqqqdd dsind drSelle rrqqqqdd dd drSelle r rqqrre r位置矢量位置矢量dddsin drle re re rqqq 線元矢量線元矢量2dsin d d dVrrqq 體積元體積元面元矢量面元矢量球坐標系中的線元、面元和體積元球坐標系中的線元、面元和體積元4. 坐標單位矢量之間的關系坐標單位矢量之間的關系 xeyezeeezecossin0co

19、ssin0001直角坐標直角坐標與與圓柱坐標系圓柱坐標系eezereqeeqsin0qcosqsinqcos0001圓柱坐標圓柱坐標與與球坐標系球坐標系直角坐標直角坐標與與球坐標系球坐標系zereqeeqcossinqcosqsinqsincos0 xeyeqsinsinqsincoscossinoxy單位圓單位圓 直角坐標系與柱坐標系之間直角坐標系與柱坐標系之間坐標單位矢量的關系坐標單位矢量的關系xeyeeeoqz單位圓單位圓 柱坐標系與球坐標系之間柱坐標系與球坐標系之間坐標單位矢量的關系坐標單位矢量的關系qqzeereqe1.3 標量場的梯度標量場的梯度q 如果物理量是標量，稱該場為如果物

20、理量是標量，稱該場為標量場標量場。 例如：溫度場、電位場、高度場等。例如：溫度場、電位場、高度場等。q 如果物理量是矢量，稱該場為如果物理量是矢量，稱該場為矢量場矢量場。 例如：流速場、重力場、電場、磁場等。例如：流速場、重力場、電場、磁場等。q 如果場與時間無關，稱為如果場與時間無關，稱為靜態(tài)場靜態(tài)場，反之為，反之為時變場時變場。時變標量場和矢量場可分別表示為：時變標量場和矢量場可分別表示為： ( , , , )u x y z t 、( , , , )F x y z t 確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應，稱在確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應，稱在該區(qū)域上定義了一個該區(qū)

21、域上定義了一個場場。場是物理量數(shù)值的無窮集合場是物理量數(shù)值的無窮集合從數(shù)學上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：從數(shù)學上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標量場和矢量場標量場和矢量場( , , )u x y z 、( , , )F x y z靜態(tài)標量場和矢量場可分別表示為：靜態(tài)標量場和矢量場可分別表示為： 標量場的等值面標量場的等值面等值面等值面: : 標量場取得同一數(shù)值的點在空標量場取得同一數(shù)值的點在空 間形成的曲面。間形成的曲面。( , )u x y zC等值面方程等值面方程：常數(shù)常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等

22、值面族；標量場的等值面充滿場所在的整個空間；標量場的等值面充滿場所在的整個空間； 標量場用等值面來描述標量場用等值面來描述標量場的等值面互不相交。（如果相交則標量場的等值面互不相交。（如果相交則交點處的函數(shù)值無法確定）交點處的函數(shù)值無法確定） 等值面的特點等值面的特點：意義意義: : 形象直觀地描述了物理量在空間形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。的分布狀態(tài)。標量場的等值線標量場的等值線( (面面) )35討論函數(shù)討論函數(shù) z = f (x, y) 在一點在一點 P沿某一方向的變化率問題沿某一方向的變化率問題2、方向導數(shù)的定義),(),(lim0yxfyyxxflf定義定義: 函數(shù)的增量

23、函數(shù)的增量 與與 PP 兩兩點間的距離之比值點間的距離之比值 ，當，當 P 沿著沿著 l 趨于趨于 P 時，如果此比值的極限存在，則稱這極限為函數(shù)在點時，如果此比值的極限存在，則稱這極限為函數(shù)在點 P 沿方向沿方向 l 的方向導數(shù)。的方向導數(shù)。oyxlP x y P(,)( , )f xx yyf x y22()()xy 360000(,)( , )limlimlimlimcoscoscoscosff xx yyf x ylffxyxyfxfyxyffxyffxy oyxlP x y P全微分全微分37對對于于三三元元函函數(shù)數(shù)),(zyxfu ，它它在在空空間間一一點點 ),(zyxP沿沿著著

24、方方向向 L的的方方向向導導數(shù)數(shù) ，可可定定義義為為 ,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 推廣可得三元函數(shù)方向導數(shù)的定義推廣可得三元函數(shù)方向導數(shù)的定義（ 其中其中222)()()(zyx ） 同同理理：當當函函數(shù)數(shù)在在此此點點可可微微時時，那那末末函函數(shù)數(shù)在在該該點點沿沿 任任意意方方向向 L的的方方向向導導數(shù)數(shù)都都存存在在，且且有有 .coscoscos zfyfxflf 設設方方向向 L 的的方方向向角角為為 , ,. . u(M)沿沿 方向增加；方向增加； l0ul意義意義：方向導數(shù)表示場沿某方向的空間變化率：方向導數(shù)表示場沿某方向的空間變化率。0000()coscosc

25、os|limlimMllu Mu Muuuuulllxyz 概念概念： l0ul u(M)沿沿 方向減??；方向減小； l0ul u(M)沿沿 方向無變化。方向無變化。 M0lMl方向導數(shù)的概念方向導數(shù)的概念 l特點特點：方向導數(shù)既與點：方向導數(shù)既與點M0有關，也與有關，也與 方向有關方向有關。 的方向余弦。的方向余弦。 l式中式中： coscoscos、兩個相鄰很近的等值面，由于1l2l3l和的長度不同，必然導致方向導數(shù)的不同。3. 標量場的梯度標量場的梯度（ 或或 ）graduu概念概念：標量場標量場u在點在點M處的梯度是一個矢量，它的方向沿場量處的梯度是一個矢量，它的方向沿場量u變化率最大

26、的方向，大小等于其最大變化率，并記作變化率最大的方向，大小等于其最大變化率，并記作gradu， 其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向max|luuel luelmaxu|ul 的最大變化率梯度的計算式梯度的計算式： xyzuuugrad ueeexyz引入哈密頓算子，xyzeeexyz 即可縮寫為 grad uu 梯度的表達式梯度的表達式：1zuuuueeez 圓柱坐標系圓柱坐標系 11sinruuuueeerrrqqq 球坐標系球坐標系xyzuuuueeexyz 直角坐標系直角坐標系 42oyxlP x y Pcoscoscoscoscoscosxyzfffflxyzfeeefl 梯度

27、與方向導數(shù)的關系標量場的梯度是矢量場，它在空間某標量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場變化最大（增大）點的方向表示該點場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。場的空間變化率。標量場在某個方向上的方向導數(shù)，是標量場在某個方向上的方向導數(shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度在該方向上的投影。梯度的性質梯度的性質：00max3limlimlluuull 0013limlimcoscoslluuullqq 梯度運算的基本公式梯度運算的基本公式：0()()()( )( )CCuCuuvuvuvuvvufufuu 標量場的梯度垂直于通過該點的

28、等值面（或等值面的切平面）標量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或等值面的切平面）0,-luln 對于等位面上的位移矢量始終有故梯度垂直于等位面與等位面的法向矢量 一致。 例例1.3.1 設一標量函數(shù)設一標量函數(shù) ( x, y, z ) = x2y2z 描述了空間標量描述了空間標量場。試求：場。試求： (1) 該函數(shù)該函數(shù) 在點在點 P(1,1,1) 處的梯度，以及表示該梯度方向處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。的單位矢量。 (2) 求該函數(shù)求該函數(shù) 沿單位矢量沿單位矢量方向的方向導數(shù)，并以點方向的方向導數(shù)，并以點 P(1,1,1) 處的方向導數(shù)值與該點的梯度處的方向導數(shù)值與該點的梯度值作

29、以比較，得出相應結論。值作以比較，得出相應結論。ooocos60cos45cos60lxyzeeee 解解 (1)由梯度計算公式，可求得由梯度計算公式，可求得P點的梯度為點的梯度為22()()PxyzPeeexyzxyz(1,1,1)(22)22xyzxyzexeyeeee表征其方向的單位矢量表征其方向的單位矢量 222(1,1,1)22221333(2 )(2 )( 1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy (2) 由方向導數(shù)與梯度之間的關系式可知，沿由方向導數(shù)與梯度之間的關系式可知，沿el 方向的方向方向的方向導數(shù)為導數(shù)為對于給定的對于給定的P P 點，上述方向導數(shù)在該點取值為點，上述

30、方向導數(shù)在該點取值為(1,1,1)1221222Pxyl121(22) ()222lxyzxyzeexeyeeeel 122xy而該點的梯度值為而該點的梯度值為 222(1,1,1)(2 )(2 )( 1)3Pxy 顯然，梯度顯然，梯度 描述了描述了P P點處標量函數(shù)點處標量函數(shù) 的最大變化率，的最大變化率，即最大的方向導數(shù)，故即最大的方向導數(shù)，故 恒成立。恒成立。PPPl例1.3.2已知,xyzRexxeyyezzRR證明 31(1)(2)(3)RRRf Rf RRRR 解：222222(1)xyzxyzRxxyyzzRRRReeexyzexxeyyezzRRxxyyzz2223322211

31、(2)1111xyzxyzRxxyyzzeeeRxRyRzRexxeyyezzRRxxyyzz 222(3)xyzxyzxyzf Rf Rf Rf Reeexyzdf Rdf Rdf RRRReeedRxdRydRzdf Rdf R RRdRdRRdf Rf RRdRexxeyyezzdf RdRxxyyzzdf R RdRRf Rf R 1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度 1. 矢量線矢量線導出：導出：標量場是場中各點的標量值的集合，因此有等位面可以直觀地表示；而矢量場是場中各點的矢量值的集合，矢量包含兩方面，數(shù)值量和方向，相比來說方向量更為重要。因此，用一些有向曲線來表示矢量場。

32、 意義意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分布狀態(tài)。形象直觀地描述了矢量場的空間分布狀態(tài)。概念：概念：矢量線又稱為力線或流線，它們是一些帶方向的曲線。矢量線又稱為力線或流線，它們是一些帶方向的曲線。場的大?。◤娙酰┯迷擖c附近矢量線的疏密來表示，即該處垂場的大小（強弱）用該點附近矢量線的疏密來表示，即該處垂直于矢量線的單位面積上通過的矢量線數(shù)正比于此處場矢量的直于矢量線的單位面積上通過的矢量線數(shù)正比于此處場矢量的大?。欢€上每點處的切線方向即為該點處矢量場的方向。大??；而線上每點處的切線方向即為該點處矢量場的方向。ddd( , , )( , , )( , , )xyzxyzF x y zF x y

33、 zF x y z矢量線方程矢量線方程：矢量線矢量線OM Frdl表示矢量在空間分布的有向線段。 力線上任意點切線方向必然與矢量方向相同。特點特點：由于在場域中的某點矢量場有確定的大小和方向，因此所有由于在場域中的某點矢量場有確定的大小和方向，因此所有矢量線互不相交。（但在產(chǎn)生矢量場的源處，多根矢量線在該處發(fā)矢量線互不相交。（但在產(chǎn)生矢量場的源處，多根矢量線在該處發(fā)出或匯聚矢量線相交的情況除外）出或匯聚矢量線相交的情況除外）0FdlxxyyzzxyzFe Fe Fe Fdle dxe dye dz而因此：0 xyzxyzeeeFdlFFFdxdydz同理，在圓柱坐標系中，若zzFe Fe Fe

34、 FdddzzFFF 圓柱坐標系中的力線方程為球坐標系中的力線方程為在球坐標系中，若rrFe Fe Fe Fqqddrsin drrrFFFqqq 穿過面積元穿過面積元 的通量。的通量。dSnddF e S2. 矢量場的通量矢量場的通量 問題問題：如何定量描述矢量場的大??？引入通量的概念。如何定量描述矢量場的大小？引入通量的概念。通量通量簡單理解：通過一個面的矢量線數(shù)量簡單理解：通過一個面的矢量線數(shù)量 ndddSSFSF eS通量的概念：矢量對開曲面的通量為通量的概念：矢量對開曲面的通量為nddSe S其中：其中：面積元矢量；面積元矢量；ne面積元的法向單位矢量；面積元的法向單位矢量； ds是

35、曲面是曲面S上的面元上的面元 ，如果曲面如果曲面S是開表面，則是開表面，則en為右手螺為右手螺旋方向。如果曲面旋方向。如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內指向外，矢量場對閉合曲面的通量是曲面內指向外，矢量場對閉合曲面的通量是),(zyxFSdne面積元矢量面積元矢量nddSSFSF eS0通過閉合曲面有通過閉合曲面有凈的矢量線穿出凈的矢量線穿出0有凈的矢有凈的矢量線進入量線進入0進入與穿出閉合曲進入與穿出閉合曲面的矢量線相等面的矢量線相等矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結果矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結果 閉合曲面的通量從閉合曲面的通

36、量從宏觀上宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內產(chǎn)生矢量場的源的關系。量與曲面內產(chǎn)生矢量場的源的關系。通量的物理意義通量的物理意義有正源有負源無源3. 矢量場的散度矢量場的散度 為了定量研究場與源之間的關系，需建立場空間任意點（小為了定量研究場與源之間的關系，需建立場空間任意點（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關系。利體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關系。利用極限方法得到這一關系：用極限方法得到這一關系：稱為矢量場的稱為矢量場的散度散度。 散度是矢量通過包含該點的任意閉合小曲面的通量與曲面元散度是矢量通過包含該點的任意閉合小曲

37、面的通量與曲面元所圍的體積之比的極限。所圍的體積之比的極限。F0( , , ) d( , , )limSVF x y zSF x y zV 通量：是一個積分量，范圍比較大，無法反映每一點的性質。散度：是一個微分值，比較小，能夠反映每一點的性質。 當分子部分不為0時，如果兩個源都用相同的閉合曲面取包含，則起決定性作用的將為分子部分，正如我們前面所說，通量表示的是通過閉合曲面的電力線數(shù)目，數(shù)目越多，散度越大；數(shù)目越少，散度越??；數(shù)目的多少又反映了源的強弱，因此散度通常反映的是源的性質。源的性質包括：a)有沒有源；b)正源還是負源；c)源的強度 圓柱坐標系圓柱坐標系22111()(sin)()sin

38、sinrFr FFFrrrrqqqqq()zFFFFz 球坐標系球坐標系yxzFFFFxyz 直角坐標系直角坐標系散度的表達式散度的表達式：散度的有關公式散度的有關公式：0 ()()()()()CCCkFkF kf FfFFfFGFG 為常矢量為常數(shù)直角坐標系下散度表達式的推導直角坐標系下散度表達式的推導 000000000,(,),22xxxx y zxx FF xy zF x y zx 000000000,(,),22xxxx y zxx FF xy zF x y zx 000000(,)(,)22xxxxxFF xyzF xyzy zx y zx 由此可知，穿出前、后兩側面的凈通量值為由

39、此可知，穿出前、后兩側面的凈通量值為不失一般性，令包圍不失一般性，令包圍P點的微體積點的微體積 V 為一直平行六面體，如圖所為一直平行六面體，如圖所示。則示。則oxy在直角坐標系中計算在直角坐標系中計算zzxyPF 23440000001111.1!2!3!4!y xxy xy xxyxxyxxyxx 根據(jù)定義，則得到直角坐標系中的散度表達式為根據(jù)定義，則得到直角坐標系中的散度表達式為 同理，分析穿出另兩組側面的凈通量，并合成之，即得由點同理，分析穿出另兩組側面的凈通量，并合成之，即得由點P 穿出該六面體的凈通量為穿出該六面體的凈通量為0dlimSyxzVFSFFFFVxyzdyxzSFFFF

40、Sx y zx y zx y zxyz 4. 散度定理散度定理ddSVFSF V 體積的剖分體積的剖分VS1S2en2en1S 從散度的定義出發(fā)，可從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即度的體積分，即 散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關系，散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關系，在電磁理論中有著廣泛的應用。在電磁理論中有著廣泛的應用。6211inniiSSiiFdSFdSFdFd將上面所有體積相加，并注意到相鄰面的流出剛好是另一面的流

41、入，最后成為體積的表面即：( )( )sF rdS rF12d,.,ndd證明：將閉合面包圍的體積 切分為一系列的小體積對每個小體積 根據(jù)散度的定義式S1S2( )( )1,iisF rdS rFdin sFdFdS高斯散度定理：均有：1.5 矢量場的環(huán)流與旋度矢量場的環(huán)流與旋度 矢量場的環(huán)流與旋渦源矢量場的環(huán)流與旋渦源 例如：流速場。例如：流速場。 不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空

42、間中閉合路徑的積何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。分不為零。先來看簡單的二維場的例子q 如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無無旋場旋場，又稱為，又稱為保守場保守場。( , ) dCF x y zl 環(huán)流的概念環(huán)流的概念 矢量場對于閉合曲線矢量場對于閉合曲線C 的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線C 的線積分，即的線積分，即q 如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為，能

43、夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源旋渦源。電流是。電流是磁場的旋渦源。磁場的旋渦源。 矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內旋渦源矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內旋渦源宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關系，引入宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關系，引入矢量場的旋度。矢量場的旋度。 SCMFn2. 矢量場的旋度矢量場的旋度（ ） F （1）環(huán)流面密度）環(huán)流面密度n01rotlimdCSFFlS 稱為矢量場在點稱為矢量場在點M 處沿方向處沿方向 的的環(huán)流面密度環(huán)流面密度。n特點特點：其值與點：其值與點M 處的方向處的方向 有關。有關。n 過點過點M 作一微小曲

44、面作一微小曲面 S ，它的邊界曲線記為，它的邊界曲線記為C，曲面的法，曲面的法線方向線方向 與曲線的繞向成右手螺旋法則。當與曲線的繞向成右手螺旋法則。當 S0 時，極限時，極限n而而 推導推導 的示意圖如圖所示的示意圖如圖所示。rotxFoyz yCMzx1234計算計算 的示意圖的示意圖 rotxF 直角坐標系中直角坐標系中 、 、 的表達式的表達式rotxFrotyFrotzF12134dddddCllllFlFlFlFlFl1234( )( )yzyzFyFzFyFz2,()22zzzMyFyFFx yzF My3, ,()22yyyMFzzFFx y zFMz1, ,()22yyyMF

45、zzFFx y zFMz4,()22zzzMyFyFFx yzF My于是于是 同理可得同理可得故得故得概念概念：矢量場在矢量場在 M 點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M 點的環(huán)流點的環(huán)流 面密度最大值，其方向為取得環(huán)流密度最大值時面積元面密度最大值，其方向為取得環(huán)流密度最大值時面積元 的法線方向，即的法線方向，即物理意義物理意義：旋渦源密度矢量。旋渦源密度矢量。性質性質：（2）矢量場的旋度）矢量場的旋度d()yzCFFFly zyz 0drotlimCyzxSFlFFFSyz nnmaxrotFeF nnrot FeF rotxzyFFFzxrotyxzFFFxyyy

46、zxzxxyzFFFFFFFeeeyzzxxy旋度的計算公式旋度的計算公式: :1zzeeeFzFFF2sin1sinsinrrerereFrrFrFrFqqqqqq 直角坐標系直角坐標系 圓柱坐標系圓柱坐標系 球坐標系球坐標系xyzxyzeeexyzFFF旋度的有關公式旋度的有關公式：矢量場的旋度矢量場的旋度的散度恒為零的散度恒為零標量場的梯度標量場的梯度的旋度恒為零的旋度恒為零()fFfFfF 0C()FGFG ()FGGFFG()0F ()0u 73任意矢量旋度的散度恒為零0zyxzyxzyxzyxAAAzyxzyxAAAzyxeeezeyexeA由此可知：對于任何一個散度為零的矢量場由

47、此可知：對于任何一個散度為零的矢量場B，必然，必然可以表示為某個矢量場的旋度。即可以表示為某個矢量場的旋度。即 ：AArotBBdivB0則：如果：74梯度的旋度恒為零0)()(uugradrot0)(uzyxzyxeeezuyuxuzyxeeezueyuexueuzyxzyxzyx證明：ddCSFlFS3. 斯托克斯定理斯托克斯定理 斯托克斯斯托克斯定理是閉合曲線定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變積分與曲面積分之間的一個變換關系式，也在電磁理論中有換關系式，也在電磁理論中有廣泛的應用。廣泛的應用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等結果抵消相等結果抵消 從旋度的定義出發(fā)，可

48、以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即76斯托克斯定理1. 矢量對閉合回路的線積分等于該回路所張成的任意表面對該矢量旋度的面積分。CSA dlrotA dS即：定義寫為：都可運用旋度顯然對于任意小面元小面元切分成一系列意表面我們可將曲線所張的任iiSSSSCniinniCnSdArotl dASdArotl dAi即：故：11limlimiCniSdArotl dA, 14. 散度和旋度的區(qū)別散度和旋度的區(qū)別 0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF無源

49、區(qū)域發(fā)散源漩渦源發(fā)散源漩渦源dd dd ddd dd ddd dd dzzzzzSellezSe llezSe lle ddddzleee z 線元矢量線元矢量dd d dVz 體積元體積元面元矢量面元矢量圓柱坐標系中的線元、面元和體積元圓柱坐標系中的線元、面元和體積元zree z位置矢量位置矢量2dddsinddrrrSelle rqqqdd dsind drSelle rrqqqqdd dd drSelle r rqqrre r位置矢量位置矢量dddsin drle re re rqqq 線元矢量線元矢量2dsin d d dVrrqq 體積元體積元面元矢量面元矢量球坐標系中的線元、面元和

50、體積元球坐標系中的線元、面元和體積元1. 矢量場的源矢量場的源散度源散度源：是標量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量是標量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量 等于（或正比于）該封閉面內所包圍的源的總和，等于（或正比于）該封閉面內所包圍的源的總和， 源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量 場在該點的散度；場在該點的散度； 旋度源旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質，穿過一曲面是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質，穿過一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回 路的環(huán)量，在給定點上，這種

51、源的（面）密度等于路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于 （或正比于）矢量場在該點的旋度。（或正比于）矢量場在該點的旋度。1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場2. 矢量場按源的分類矢量場按源的分類（1）無旋場）無旋場d0CFl性質性質： ，線積分與路徑無關，是保守場。，線積分與路徑無關，是保守場。僅有散度源而無旋度源的矢量場，僅有散度源而無旋度源的矢量場，0F無旋場無旋場可以用標量場的梯度表示為可以用標量場的梯度表示為例如：靜電場例如：靜電場0EE Fu ()0Fu （2）無散場）無散場 僅有旋度源而無散度源的矢量場僅有旋度源而無散度源的矢量場，即，即性質性質：d0SFS0F無散場可以表

52、示為另一個矢量場的旋度無散場可以表示為另一個矢量場的旋度例如，恒定磁場例如，恒定磁場BA 0BFA ()0FA （3）無旋、無散場無旋、無散場（源在所討論的區(qū)域之外）（源在所討論的區(qū)域之外）0F （4）有散、有旋場）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分( )( )( )( )( )lCF rF rFru rA r 無旋場部分無旋場部分無散場部分無散場部分()0u Fu 20u0F 1.7 拉普拉斯運算與格林定理拉普拉斯運算與格林定理 1. 拉普拉斯運算拉普拉斯運算 標量拉普拉斯運算標量拉普拉斯運算2u概念概念：2 拉普拉斯算符

53、拉普拉斯算符2222222uuuuxyz直角坐標系直角坐標系計算公式計算公式：22222211()uuuuz22222222111()(sin)sinsinuuuurrrrrrqq qqq 圓柱坐標系圓柱坐標系球坐標系球坐標系2()uu 矢量拉普拉斯運算矢量拉普拉斯運算2F概念概念：2222xxyyzzFeFeFeF即即22()iiFF注意注意：對于非直角分量，對于非直角分量，22()iiFF直角坐標系中：直角坐標系中：如：如：22()FF (, , )ix y z2()()FFF 2. 格林定理格林定理 根據(jù)散度定理根據(jù)散度定理nVSFdVF e dS 令令設設 及及為任意兩個標量場，在區(qū)域

54、任意兩個標量場，在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏導數(shù)。中具有連續(xù)的二階偏導數(shù)。則有則有F VSdVdS 由于2nen 2 ()ddVSVSn 將兩個標量函數(shù)位置對調，有將兩個標量函數(shù)位置對調，有以上兩式稱為以上兩式稱為標量第一格林定理標量第一格林定理。SV , ne2 ()dVSVdSn 式中式中S 為包圍為包圍V 的閉合曲面，的閉合曲面， 為標為標量場量場 在在 S 表面的外法線表面的外法線 方向上方向上的偏導數(shù)。的偏導數(shù)。nne基于上式還可獲得下式：基于上式還可獲得下式：上式稱為上式稱為標量第二格林定理標量第二格林定理。 格林定理說明了區(qū)域格林定理說明了區(qū)域 V 中的場與邊界中的場與邊界 S

55、 上的場之間的關系。上的場之間的關系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉變?yōu)檫吔缟弦虼耍酶窳侄ɡ砜梢詫^(qū)域中場的求解問題轉變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。場的求解問題。 此外，格林定理反映了兩種標量場之間滿足的關系。因此，此外，格林定理反映了兩種標量場之間滿足的關系。因此，如果已知其中一種場的分布，即可利用格林定理求解另一種場如果已知其中一種場的分布，即可利用格林定理求解另一種場的分布。的分布。 格林定理廣泛地用于電磁理論。格林定理廣泛地用于電磁理論。22 ()d()dVSVSnn 我們對矢量場的散度和旋度的意義進行一下歸納和總結：我們對矢量場的散度和旋度的意義進行一下歸納和總結：1.8

56、 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理矢量場的散度是一個標量函數(shù)，而矢量場的旋度是一個矢量函數(shù)。散度表示場中某點的通量體密度，它是通量源強度的量度；旋度表示場中某點的最大環(huán)量面密度，它是漩渦源強度的量度。散度取決于場矢量的各個分量沿各自方向上的變化率；旋度由場矢量的各個分量在與之正交方向上的變化率來決定。 散度表示矢量場在各點處的通量源，旋度表示矢量場在各點處的旋渦源。場是由源激發(fā)的，通量源和旋渦源的確定意味著場就確定了。亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理: : 若矢量場在無限空間中處處單值，且其導數(shù)連續(xù)有界，源分若矢量場在無限空間中處處單值，且其導數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域中，則當矢量場的散度及旋度給定后，該矢量場可布在有限區(qū)域中，則當矢量場的散度及旋度給定后，該矢量場可