數(shù)論專題典型結(jié)論匯總

1、數(shù)論專題典型結(jié)論匯總整除一、常見數(shù)字的整除判定方法1. 一個數(shù)的末位能被2或5整除，這個數(shù)就能被2或5整除；一個數(shù)的末兩位能被4或25整除，這個數(shù)就能被4或25整除；一個數(shù)的末三位能被8或125整除，這個數(shù)就能被8或125整除；2. 一個位數(shù)數(shù)字和能被3整除，這個數(shù)就能被3整除；一個數(shù)各位數(shù)數(shù)字和能被9整除，這個數(shù)就能被9整除；3. 如果一個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差能被11整除，那么這個數(shù)能被11整除.4. 如果一個整數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被7、11或13整除，那么這個數(shù)能被7、11或13整除.5.如果一個數(shù)能被99整除，這個數(shù)從后兩位開始兩位一截所

2、得的所有數(shù)（如果有偶數(shù)位則拆出的數(shù)都有兩個數(shù)字，如果是奇數(shù)位則拆出的數(shù)中若干個有兩個數(shù)字還有一個是一位數(shù)）的和是99的倍數(shù)，這個數(shù)一定是99的倍數(shù)?！緜渥ⅰ浚ㄒ陨弦?guī)律僅在十進(jìn)制數(shù)中成立.）二、整除性質(zhì)性質(zhì)1 如果數(shù)a和數(shù)b都能被數(shù)c整除，那么它們的和或差也能被c整除即如果ca，cb，那么c(a±b)性質(zhì)2 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，b又能被數(shù)c整除，那么a也能被c整除即如果ba，cb，那么ca用同樣的方法，我們還可以得出：性質(zhì)3 如果數(shù)a能被數(shù)b與數(shù)c的積整除，那么a也能被b或c整除即如果bca，那么ba，ca性質(zhì)4 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，也能被數(shù)c整除，且數(shù)b和數(shù)c互質(zhì)，那么a一定能被

3、b與c的乘積整除即如果ba，ca，且(b，c)=1，那么bca 例如：如果312，412，且(3，4)=1，那么(3×4) 12性質(zhì)5 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，那么am也能被bm整除如果 ba，那么bmam（m為非0整數(shù)）；性質(zhì)6 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，且數(shù)c能被數(shù)d整除，那么ac也能被bd整除如果 ba ，且dc ，那么bdac；質(zhì)數(shù)合數(shù)一、判斷一個數(shù)是否為質(zhì)數(shù)的方法根據(jù)定義如果能夠找到一個小于p的質(zhì)數(shù)q(均為整數(shù))，使得q能夠整除p，那么p就不是質(zhì)數(shù)，所以我們只要拿所有小于p的質(zhì)數(shù)去除p就可以了；但是這樣的計(jì)算量很大，對于不太大的p，我們可以先找一個大于且接近p的平方數(shù)，再列出所有

4、不大于K的質(zhì)數(shù)，用這些質(zhì)數(shù)去除p，如沒有能夠除盡的那么p就為質(zhì)數(shù).例如：149很接近，根據(jù)整除的性質(zhì)149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是質(zhì)數(shù).二、唯一分解定理任何一個大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即：其中為質(zhì)數(shù)，為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的.該式稱為n的質(zhì)因子分解式.例如：三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是210，求這三個數(shù).分析：210=2×3×5×7，可知這三個數(shù)是5、6和7.三、部分特殊數(shù)的分解；.約數(shù)倍數(shù)一、求最大公約數(shù)的方法分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來例如：，所以；短除法：先找出所有共有的約數(shù)，然后相乘例如：，所以；

5、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個數(shù)除大的一個數(shù)，得第一個余數(shù)；再用第一個余數(shù)除小的一個數(shù)，得第二個余數(shù)；又用第二個余數(shù)除第一個余數(shù)，得第三個余數(shù)；這樣逐次用后一個余數(shù)去除前一個余數(shù)，直到余數(shù)是0為止那么，最后一個除數(shù)就是所求的最大公約數(shù)(如果最后的除數(shù)是1，那么原來的兩個數(shù)是互質(zhì)的)例如，求600和1515的最大公約數(shù)：；所以1515和600的最大公約數(shù)是15二、最大公約數(shù)的性質(zhì)幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)；幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)；幾個數(shù)都乘以一個

6、自然數(shù)，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以三、求一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，其他分?jǐn)?shù)不變；求出各個分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)a；求出各個分?jǐn)?shù)的分子的最大公約數(shù)b；即為所求四 、約數(shù)、公約數(shù)最大公約數(shù)的關(guān)系（1）約數(shù)是對一個數(shù)說的；（2）公約數(shù)是最大公約數(shù)的約數(shù)，最大公約數(shù)是公約數(shù)的倍數(shù)五、求最小公倍數(shù)的方法分解質(zhì)因數(shù)的方法；例如：，所以；短除法求最小公倍數(shù)；例如： ，所以；六、 最小公倍數(shù)的性質(zhì)兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)兩個互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的乘積兩個數(shù)具有倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公約數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)七、求一組分?jǐn)?shù)的最小公

7、倍數(shù)方法步驟先將各個分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)；求出各個分?jǐn)?shù)分子的最小公倍數(shù)；求出各個分?jǐn)?shù)分母的最大公約數(shù)；即為所求例如： 注意：兩個最簡分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)不能是整數(shù)，最小公倍數(shù)可以是整數(shù).例如：八、倍數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)的關(guān)系（1）倍數(shù)是對一個數(shù)說的；（2）最小公倍數(shù)是公倍數(shù)的約數(shù)，公倍數(shù)是最小公倍數(shù)的倍數(shù)九、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的常用性質(zhì)1 兩個自然數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商互質(zhì)。如果為、的最大公約數(shù)，且，那么互質(zhì)，所以、的最小公倍數(shù)為，所以最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)有如下一些基本關(guān)系：，即兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之積等于這兩個數(shù)的積；最大公約數(shù)是、及最小公倍數(shù)的約數(shù)2 兩個數(shù)的最大公約

8、和最小公倍的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。即，此性質(zhì)比較簡單，學(xué)生比較容易掌握。3 對于任意3個連續(xù)的自然數(shù)，如果三個連續(xù)數(shù)的奇偶性為a)奇偶奇，那么這三個數(shù)的乘積等于這三個數(shù)的最小公倍數(shù)例如：，210就是567的最小公倍數(shù)b)偶奇偶，那么這三個數(shù)的乘積等于這三個數(shù)最小公倍數(shù)的2倍例如：，而6,7,8的最小公倍數(shù)為性質(zhì)（3）不是一個常見考點(diǎn)，但是也比較有助于學(xué)生理解最小公倍數(shù)與數(shù)字乘積之間的大小關(guān)系，即“幾個數(shù)最小公倍數(shù)一定不會比他們的乘積大”。十、求約數(shù)個數(shù)與所有約數(shù)的和1 求任一整數(shù)約數(shù)的個數(shù)一個整數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是在對其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將每個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)(次數(shù))加1后所得的乘積。如:1400嚴(yán)

9、格分解質(zhì)因數(shù)之后為，所以它的約數(shù)有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24個。(包括1和1400本身)約數(shù)個數(shù)的計(jì)算公式是本講的一個重點(diǎn)和難點(diǎn)，授課時應(yīng)重點(diǎn)講解，公式的推導(dǎo)過程是建立在開篇講過的數(shù)字“唯一分解定理”形式基礎(chǔ)之上，結(jié)合乘法原理推導(dǎo)出來的，不是很復(fù)雜，建議給學(xué)生推導(dǎo)并要求其掌握。難點(diǎn)在于公式的逆推，有相當(dāng)一部分?？嫉钠y題型考察的就是對這個公式的逆用，即先告訴一個數(shù)有多少個約數(shù)，然后再結(jié)合其他幾個條件將原數(shù)“還原構(gòu)造”出來，或者是“構(gòu)造出可能的最值”。2 求任一整數(shù)的所有約數(shù)的和一個整數(shù)的所有約數(shù)的和是在對其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將

10、它的每個質(zhì)因數(shù)依次從1加至這個質(zhì)因數(shù)的最高次冪求和，然后再將這些得到的和相乘，乘積便是這個合數(shù)的所有約數(shù)的和。如：，所以21000所有約數(shù)的和為此公式?jīng)]有第一個公式常用，推導(dǎo)過程相對復(fù)雜，需要許多步提取公因式，建議幫助學(xué)生找規(guī)律性的記憶即可。十一、完全平方數(shù)常用性質(zhì)1.主要性質(zhì)1.完全平方數(shù)的尾數(shù)只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。2.在兩個連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)之間不存在完全平方數(shù)。3.完全平方數(shù)的約數(shù)個數(shù)是奇數(shù)，約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)是完全平方數(shù)。4.若質(zhì)數(shù)p整除完全平方數(shù)，則p能被整除。2.性質(zhì)性質(zhì)1：完全平方數(shù)的末位數(shù)字只可能是0，1，4，5，6，9性質(zhì)2：完全平方數(shù)被

11、3，4，5，8，16除的余數(shù)一定是完全平方數(shù)性質(zhì)3：自然數(shù)N為完全平方數(shù)自然數(shù)N約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)因?yàn)橥耆椒綌?shù)的質(zhì)因數(shù)分解中每個質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)都是偶數(shù)次，所以，如果p是質(zhì)數(shù)，n是自然數(shù)，N是完全平方數(shù)，且，則性質(zhì)4：完全平方數(shù)的個位是6它的十位是奇數(shù)性質(zhì)5：如果一個完全平方數(shù)的個位是0，則它后面連續(xù)的0的個數(shù)一定是偶數(shù)如果一個完全平方數(shù)的個位是5，則其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一個性質(zhì)6：如果一個自然數(shù)介于兩個連續(xù)的完全平方數(shù)之間，則它不是完全平方數(shù)3.一些重要的推論1.任何偶數(shù)的平方一定能被4整除；任何奇數(shù)的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。2

12、.一個完全平方數(shù)被3除的余數(shù)是0或1.即被3除余2的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。3.自然數(shù)的平方末兩位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。4.完全平方數(shù)個位數(shù)字是奇數(shù)（1，5，9）時，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。5.完全平方數(shù)個位數(shù)字是偶數(shù)（0，4）時，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。6.完全平方數(shù)的個位數(shù)字為6時，其十位數(shù)字必為奇數(shù)。7.凡個位數(shù)字是5但末兩位數(shù)字不是25的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；末尾只有奇數(shù)個“0”的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；個位數(shù)字為1，4，9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)不是完全平方數(shù)。3.重點(diǎn)公式

13、回顧：平方差公式：余數(shù)一、三大余數(shù)定理：1.余數(shù)的加法定理a與b的和除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之和，或這個和除以c的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23+1639除以5的余數(shù)等于4，即兩個余數(shù)的和3+1.當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以23+1942除以5的余數(shù)等于3+4=7除以5的余數(shù)為22.余數(shù)的減法定理a與b的差除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之差。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23167除以5的余數(shù)等于2，兩個余數(shù)差312.當(dāng)余數(shù)的差不夠減時時，補(bǔ)上除數(shù)再

14、減。例如：23，14除以5的余數(shù)分別是3和4，23149除以5的余數(shù)等于4，兩個余數(shù)差為35443.余數(shù)的乘法定理a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)的積，或者這個積除以c所得的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23×16除以5的余數(shù)等于3×13。當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以23×19除以5的余數(shù)等于3×4除以5的余數(shù)，即2.乘方：如果a與b除以m的余數(shù)相同，那么與除以m的余數(shù)也相同二、同余定理1、定義：若兩個整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)

15、，那么稱a、b對于模m同余，用式子表示為：ab ( mod m )，左邊的式子叫做同余式。同余式讀作：a同余于b，模m。2、重要性質(zhì)及推論：（1）若兩個數(shù)a，b除以同一個數(shù)m得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被m整除例如：與除以的余數(shù)都是，所以能被整除（2）用式子表示為：如果有ab ( mod m )，那么一定有abmk,k是整數(shù)，即m|(ab)3、余數(shù)判別法當(dāng)一個數(shù)不能被另一個數(shù)整除時，雖然可以用長除法去求得余數(shù)，但當(dāng)被除位數(shù)較多時，計(jì)算是很麻煩的建立余數(shù)判別法的基本思想是：為了求出“N被m除的余數(shù)”，我們希望找到一個較簡單的數(shù)R，使得：N與R對于除數(shù)m同余由于R是一個較簡單的數(shù)，所以可以通

16、過計(jì)算R被m除的余數(shù)來求得N被m除的余數(shù) 整數(shù)N被2或5除的余數(shù)等于N的個位數(shù)被2或5除的余數(shù)； 整數(shù)N被4或25除的余數(shù)等于N的末兩位數(shù)被4或25除的余數(shù)； 整數(shù)N被8或125除的余數(shù)等于N的末三位數(shù)被8或125除的余數(shù)； 整數(shù)N被3或9除的余數(shù)等于其各位數(shù)字之和被3或9除的余數(shù)； 整數(shù)N被11除的余數(shù)等于N的奇數(shù)位數(shù)之和與偶數(shù)位數(shù)之和的差被11除的余數(shù)；（不夠減的話先適當(dāng)加11的倍數(shù)再減）； 整數(shù)N被7，11或13除的余數(shù)等于先將整數(shù)N從個位起從右往左每三位分一節(jié)，奇數(shù)節(jié)的數(shù)之和與偶數(shù)節(jié)的數(shù)之和的差被7，11或13除的余數(shù)就是原數(shù)被7，11或13除的余數(shù)奇偶一、奇數(shù)與偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)1：

17、偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù) 性質(zhì)2：偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)性質(zhì)3：偶數(shù)個奇數(shù)的和或差是偶數(shù)性質(zhì)4：奇數(shù)個奇數(shù)的和或差是奇數(shù)性質(zhì)5：偶數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)二、兩個實(shí)用的推論推論1：在加減法中偶數(shù)不改變運(yùn)算結(jié)果奇偶性，奇數(shù)改變運(yùn)算結(jié)果的奇偶性。推論2：對于任意2個整數(shù)a,b ,有a+b與a-b同奇或同偶位值原理一、位值原理的定義：同一個數(shù)字，由于它在所寫的數(shù)里的位置不同，所表示的數(shù)值也不同。也就是說，每一個數(shù)字除了有自身的一個值外，還有一個“位置值”。例如“2”,寫在個位上，就表示2個一，寫在百位上，就表示

18、2個百，這種數(shù)字和數(shù)位結(jié)合起來表示數(shù)的原則，稱為寫數(shù)的位值原理。二、位值原理的表達(dá)形式：以六位數(shù)為例：a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。三、解位值一共有三大法寶：（1）最簡單的應(yīng)用解數(shù)字謎的方法列豎式（2）利用十進(jìn)制的展開形式，列等式解答（3）把整個數(shù)字整體的考慮設(shè)為x，列方程解答進(jìn)制1.十進(jìn)制：我們常用的進(jìn)制為十進(jìn)制，特點(diǎn)是“逢十進(jìn)一”。在實(shí)際生活中，除了十進(jìn)制計(jì)數(shù)法外，還有其他的大于1的自然數(shù)進(jìn)位制。比如二進(jìn)制，八進(jìn)制，十六進(jìn)制等。2.二進(jìn)制：在計(jì)算機(jī)中，所采用的計(jì)數(shù)法是二進(jìn)制，即“逢二進(jìn)一”。因此，二進(jìn)制中只用兩個數(shù)字0和1。二進(jìn)制的計(jì)數(shù)單位分別是1、21、22、23、，二進(jìn)制數(shù)也可以寫做展開式的形式，例如100110在二進(jìn)制中表示為：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。二進(jìn)制的運(yùn)算法則：“滿二進(jìn)一”、“借一當(dāng)二”，乘法口訣是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。注意：對于任意自然數(shù)n,我們有n0=1。3.進(jìn)制：一般地，對于k進(jìn)位制，每個數(shù)是由0，1，2，共k個數(shù)碼組成，且“