數(shù)學(xué)建模減肥模型

1、 摘要 隨著社會的進(jìn)步和發(fā)展，人們的生活水平不斷提高。由于飲食營養(yǎng)攝入量的不斷改善和提高，“肥胖”已經(jīng)成為全社會關(guān)注的一個重要的問題。減肥的方法也有很多。如何正確對待減肥是我們必須考慮的問題。于是了解減肥的機(jī)理成為關(guān)鍵。背景材料: 根據(jù)中國生理科學(xué)會修訂并建議的我國人民的每日膳食指南可知：（1）每日膳食中，營養(yǎng)素的供給量是作為保證正常人身體健康而提出的膳食質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)。如果人們在飲食中攝入營養(yǎng)素的數(shù)量低于這個數(shù)量，將對身體產(chǎn)生不利的影響。（2）人體的體重是評定膳食能量攝入適當(dāng)與否的重要標(biāo)志。（3）人們熱能需要量的多少，主要決定于三個方面：維持人體基本代謝所需的能量、從事勞動和其它活動所消耗的能量以

2、及食物的特殊動力作用（將食物轉(zhuǎn)化為人體所需的能量）所消耗的能量。（4）一般情況下，成年男子每一千克體重每小時平均消耗熱量為4200焦耳。（5）一般情況下，食用普通的混合膳食，食物的特殊動力作用所需要的額外的能量消耗相當(dāng)于基礎(chǔ)代謝的10%。關(guān)鍵字 微分方程   轉(zhuǎn)化   能量轉(zhuǎn)換系數(shù)1. 問題重述隨著人們的生活水平的日漸提高,飲食營養(yǎng)攝入的不斷改善和提高“,肥胖”已成為全社會關(guān)注的一個重要問題,肥胖無論從審美或健康的角度,都嚴(yán)重地威脅到人們,各種減肥食品、藥物或是健美中心如雨后春筍般出現(xiàn),現(xiàn)在我們也利用減肥的基本原理以及在減肥過程中應(yīng)注意的問題利用科學(xué)的原

3、理,組建一個減肥的數(shù)學(xué)模型,從數(shù)學(xué)的角度對有關(guān)的規(guī)律做進(jìn)一步的探討和分析。所以我們可以通過引入人的體重與時間的函數(shù)關(guān)系,建立了一個微分方程模型,采用離散化方法,以天為單位,從數(shù)學(xué)的角度解決了每天的飲食攝入量、運(yùn)動強(qiáng)度與體重的關(guān)系,以探索減肥的科學(xué)方法。現(xiàn)有五個人，身高、體重和BMI指數(shù)分別入下表一所示，體重長期不變，試為他們按照以下方式制定減肥計劃，使其體重減至自己的理想目標(biāo)，并維持下去：表一人數(shù)12345身高1.71.681.641.721.71體重100112113114124BMI34.633.535.234.835.6理想目標(biāo)7580808590題目要求如下：（1）在基本不運(yùn)動的情況下

4、安排計劃，每天吸收的熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo)；（2）若是加快進(jìn)程，增加運(yùn)動，重新安排計劃，經(jīng)過調(diào)差資料得到以下各項運(yùn)動每小時每kg體重的消耗的熱量入下表二所示：表二運(yùn)動跑步跳舞乒乓自行車(中速)游泳（50m/min）熱量消耗/k7.03.04.42.57.9（3）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案。2. 模型假設(shè)(1) 人體的脂肪是存儲和提供能量的主要方式，而且也是減肥的主要目標(biāo)。對于一個成年人來說體重主要由四部分組成：骨骼、肌肉、水和脂肪。骨骼、肌肉和水大體上可以認(rèn)為是不變的，我們不妨以人體脂肪的重量作為體重的標(biāo)志。已知脂肪的能量轉(zhuǎn)換率為100%，每千克脂肪可以轉(zhuǎn)換為4.2×107焦耳

5、的能量。記=4.2×107焦耳/千克，稱為脂肪的能量轉(zhuǎn)換系數(shù)。（2） 人體的體重僅僅看成是時間的函數(shù)，而與其他因素?zé)o關(guān)，這意味著在研究減肥的過程中，我們忽略了個體間的差異（年齡、性別、健康狀況等）對減肥的影響。（3） 體重隨時間是連續(xù)變化的，即是連續(xù)函數(shù)且充分光滑，因此可以認(rèn)為能量的攝取和消耗是隨時發(fā)生的。（4） 不同的活動對能量的消耗是不同的，例如：體重分別為50千克和100千克的人都跑1000米，所消耗的能量顯然是不同的?？梢姡顒訉δ芰康南囊膊皇且粋€簡單的問題，但考慮到減肥的人會為自己制訂一個合理且相對穩(wěn)定的活動計劃，我們可以假設(shè)在單位時間（1日）內(nèi)人體活動所消耗的能量與其體

6、重成正比，記為每1千克體重每天因活動所消耗的能量。（5） 單位時間內(nèi)人體用于基礎(chǔ)代謝和食物特殊動力作用所消耗的能量正比于人的體重。記C為1千克體重每天消耗的能量為。（6） 減肥者一般對自己的飲食有相對嚴(yán)格的控制，在本問題中，為簡單計，我們可以假設(shè)人體每天攝入的能量是一定的，記為A，為了安全和健康，每天吸收熱量不要小于6000 焦耳。3.分析與建立模型建模過程中，我們以“天”為時間單位。根據(jù)假設(shè)(3)，我們可以在任何一個時間段內(nèi)考慮能量的攝入和消耗所引起的體重的變化。根據(jù)能量的平衡原理，任何時間段內(nèi)由于體重的改變所引起的人體內(nèi)能量的變化應(yīng)該等于這段時間內(nèi)攝入的能量與消耗的能量的差?？紤]時間區(qū)間t

7、,t+t內(nèi)能量的改變，根據(jù)能量平衡原理，有 由積分中值定理有, 其中，, 兩邊同時除以t.并令t0取極限得這就是在一定簡化層次上的減肥的數(shù)學(xué)模型。我們知道模型的某些假設(shè)不十分合理，但我們希望求解模型，看看能否說明一些問題。4.模型的求解設(shè)t=0為模型的初始時刻，這時人的體重為w（0）=w0。在模型的兩邊同時乘以ebt得即從0到t積分，并利用初值得.對于問題一，減肥計劃在基本不運(yùn)動的情況下安排，所以上述假設(shè)（1）每1千克體重每天因活動所消耗的能量。根據(jù)上式計算得出五個人要達(dá)到自己的理想體重時的天數(shù)，如下表所示 表三人12345天數(shù)401392400317312對于問題二，為加快進(jìn)程，增加運(yùn)動，結(jié)

8、合調(diào)查資料得到以下各項運(yùn)動每小時每kg體重消耗的熱量表： 運(yùn)動跑步跳舞乒乓自行車(中速)游泳（50m/min）熱量消耗/k7.03.04.42.57.9為了加快減肥進(jìn)程，增加運(yùn)動，假設(shè)當(dāng)每天運(yùn)動小時，每1千克體重每天因活動所消耗的能量，時計算得出五個人要達(dá)到自己的理想體重時的天數(shù)，如下表所示表四運(yùn)動跑步跳舞乒乓自行車游泳時間/天201281247295189215289258302203220295263309208180239214249171185241218251176從表四可以得出，每天一小時的不同運(yùn)動似的要達(dá)到自己的理想體重時的天數(shù)也不同，其中游泳是最快能達(dá)到自己理想體重的運(yùn)動。對于

9、問題三，由上面的模型可得,記, 也就是說模型的解漸近穩(wěn)定于也就是達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案，根據(jù)每個人要維持的理想體重可以得出的值組成的減肥維持體重方案。假設(shè)每天維持一小時的運(yùn)動，則每天需要攝入的能量如下表所示表五運(yùn)動跑步跳舞乒乓自行車游泳每天需要攝入的能量 975660085014008940720834450010039020104070409068160953676889008001070828810407040906816095367688900800107082881105748096349201013281694571001137755611707920102016801072886

10、410013400120468245.模型推廣 1） 是模型中的一個重要參數(shù)。是每天由于能量的攝入而增加的體重。是每天由于能量的消耗而失去的體重。 2） 假設(shè)a=0，即停止進(jìn)食，無任何能量攝入，體重的變化（減少）完全是脂肪的消耗而產(chǎn)生。此時，.（1）不進(jìn)食的節(jié)食減肥法是危險的。因為, 即體重（脂肪）都消耗盡了，如何能活命！ （2）當(dāng)a=0時，有, 這表明在內(nèi)體重減少的百分率為，稱之為內(nèi)體重消耗率，特別地，是單位時間內(nèi)的體重的消耗率，事實上， 所以. 自然為0，t內(nèi)的體重保存率，它表明t時刻體重占初始體重的百分率?；谏厦娴姆治觯瑫r刻的體重由兩部分構(gòu)成：一部分是初始體重中由于能量消耗而被保存下來

11、的部分，另一部分是攝取能量而獲得的補(bǔ)充量，這一解釋從直觀上理解也是合理的。3）由上面的模型可得,記, 也就是說模型的解漸近穩(wěn)定于，它給出了減肥的最終結(jié)果，稱 為減肥效果指標(biāo)。因為衰減很快，在有限時間內(nèi)， 就很小，可以忽略，當(dāng)t充分大時，這表明任何人都不必為自己的體重?fù)?dān)心（肥胖、瘦?。瑥睦碚撋现v，體重要多重就有多重，只要適當(dāng)調(diào)節(jié)A（進(jìn)食）、B（活動）、C（新陳代謝）。同時也說明了，任何減肥方法都是考慮和調(diào)節(jié)上述三個要素：節(jié)食是調(diào)節(jié)A、活動是調(diào)節(jié)B、減肥藥是調(diào)節(jié)C。由于C是基礎(chǔ)代謝和食物特殊動力的消耗，它不可能作為減肥的 措施隨著每個人的意愿進(jìn)行改變，對于每個人而言可以認(rèn)為是一個常數(shù)，有大量事實

12、表明，通過調(diào)整新陳代謝的方法來減肥是值得推敲的。于是我們有如下結(jié)論，減肥的效果主要由兩個因素控制：進(jìn)食攝取能量和活動消耗能量，從而減肥的兩個重要措施是控制飲食和增加活動量。這也是熟知的常識。容易證明，當(dāng)且僅當(dāng)時有, 這表明只有當(dāng)時才有可能產(chǎn)生減肥的效果。4） 進(jìn)一步討論能量的攝取量A與活動消耗量B對減肥效果的影響。由有在AB坐標(biāo)系內(nèi)表示一條過點(diǎn)（C，0）斜率為w*的直線。根據(jù)背景知識，任何人通過飲食攝取的能量不能低于用于維持正常生理功能所需要的能量。因此作為人體體重極限值的減肥效果指標(biāo)一定存在一個下限w1，當(dāng)時表明能量的攝入過低，無法滿足維持人體正常的生理功能所需要的能量。這時減肥所得到的結(jié)果

13、不能認(rèn)為是有效的，它將危及人體的健康，因而稱w1為減肥的臨界指標(biāo)。此外，人們?yōu)闇p肥所采用的各種體力活動對能量的消耗也有一個人體所能承受的范圍，即存在B1使得, 于是在平面上由B=0、B=B1和A=0所界出的上半帶形區(qū)域被直線和分割成三個區(qū)域：、和，這表明減肥的效果是控制進(jìn)食和增加消耗綜合作用、相互協(xié)調(diào)的結(jié)果。在區(qū)域中，能量的攝取量A大于體重為w0（初始體重）時的消耗量w0（B+C），這時體重將在w0基礎(chǔ)上繼續(xù)增加，故稱之為非減肥區(qū)；而在區(qū)域中，能量的攝取量A低于體w1 時的消耗量w1（B+C），體重將減 少到臨界減肥指標(biāo)以下，這將危及人的身體健康，故稱為減肥危險區(qū)。只有區(qū)域所表示的A

14、和B的組合才能實現(xiàn)有效的減肥，故稱為有效減肥區(qū)。如圖綜上分析,認(rèn)為本模型得出結(jié)果是比較科學(xué)和合理的。而且，本模型避免了做強(qiáng)度過大的運(yùn)動和靠藥物來達(dá)到增加能量消耗、抑制食欲的不科學(xué)的方法。6.參考文獻(xiàn)1 張興永.數(shù)學(xué)建模簡明教程.徐州: 中國礦業(yè)大學(xué)出版社, 2001.60-62 2  姜啟源,謝金星數(shù)學(xué)模型(第三版) 高等教育出版社面2003. 8 P207 -210  3  王安利,另眼看減肥(上)健康2006 第一期,P26 -29  4 謝兆鴻.數(shù)學(xué)建模技術(shù). 北京:中國水利水電出版社,2003,138-139附錄：matalb%A，假設(shè)人體每天攝入的能量%B，每天運(yùn)動消耗的能量%C，每天基本的新陳代謝消耗的能量%D，脂肪的能量轉(zhuǎn)換系數(shù)A=6000*1000;%每天吸收熱量的下限%B=0;B=7.0 3.04.42.57.9 *1000*4.