數(shù)列典型習(xí)題及解題方法

1、高中數(shù)學(xué)數(shù)列基本題型及解法這部分內(nèi)容需要掌握的題型主要有以下三個方面；（1）數(shù)列本身的有關(guān)知識，其中有等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及求和公式。（2）數(shù)列與其它知識的結(jié)合，其中有數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的結(jié)合。（3）數(shù)列的應(yīng)用問題，其中主要是以增長率問題為主。試題的難度有三個層次，小題大都以基礎(chǔ)題為主，解答題大都以基礎(chǔ)題和中檔題為主，只有個別地方用數(shù)列與幾何的綜合與函數(shù)、不等式的綜合作為最后一題難度較大。一、知識整合1在掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)掌握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律，深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實(shí)踐中的指導(dǎo)作用，靈活

2、地運(yùn)用數(shù)列知識和方法解決數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中的有關(guān)問題；2在解決綜合題和探索性問題實(shí)踐中加深對基礎(chǔ)知識、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識，溝通各類知識的聯(lián)系，形成更完整的知識網(wǎng)絡(luò)，提高分析問題和解決問題的能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題與解決問題的能力3培養(yǎng)學(xué)生善于分析題意，富于聯(lián)想，以適應(yīng)新的背景，新的設(shè)問方式，提高學(xué)生用函數(shù)的思想、方程的思想研究數(shù)列問題的自覺性、培養(yǎng)學(xué)生主動探索的精神和科學(xué)理性的思維方法二、方法技巧1判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法：對于n2的任意自然數(shù),驗(yàn)證為同一常數(shù)。(2)通項(xiàng)公式法：若  =

3、0;+（n-1）d= +（n-k）d ，則為等差數(shù)列；若  ，則為等比數(shù)列。(3)中項(xiàng)公式法：驗(yàn)證中項(xiàng)公式成立。2. 在等差數(shù)列中,有關(guān)的最值問題常用鄰項(xiàng)變號法求解：  (1)當(dāng)>0,d<0時，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最大值.(2)當(dāng)<0,d>0時，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最小值。在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。3.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯位相減法、倒序相加法等。三、注意事項(xiàng)1證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列常用定義，即通過證明或而得。2在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時，“基本量法”是常用的方法，但有時靈活地運(yùn)

4、用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡便，而一般數(shù)列的問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。3注意與之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化。如：=， =4數(shù)列極限的綜合題形式多樣，解題思路靈活，但萬變不離其宗，就是離不開數(shù)列極限的概念和性質(zhì)，離不開數(shù)學(xué)思想方法，只要能把握這兩方面，就會迅速打通解題思路5解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質(zhì)，揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略四、例題解析例1已知數(shù)列a是公差d0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S(2)過點(diǎn)Q(1，a)，Q(2，a)作直線12，設(shè)l與l的夾角為，證明：(1)因?yàn)榈炔顢?shù)列a的公差d0，所以Kpp是常數(shù)(k=2，3，n)(2)直線l

5、的方程為y-a=d(x-1)，直線l的斜率為d例2已知數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，并且，設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和。分析：由于b和c中的項(xiàng)都和a中的項(xiàng)有關(guān)，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入點(diǎn)探索解題的途徑解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根據(jù)b的構(gòu)造，如何把該式表示成b與b的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強(qiáng)恒等變形能力的訓(xùn)練)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，數(shù)列b是首項(xiàng)為3，公比為2的等比

6、數(shù)列，故b=3·2當(dāng)n2時，S=4a+2=2(3n-4)+2；當(dāng)n=1時，S=a=1也適合上式綜上可知，所求的求和公式為S=2(3n-4)+2說明：1本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和。解決本題的關(guān)鍵在于由條件得出遞推公式。2解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時應(yīng)用例3設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)的和Sn=（an-1） (n+),（1）求a1;a2; (2)求證數(shù)列an為等比數(shù)列。解: ()由,得 又,即,得. ()當(dāng)n>1時, 得所以是首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列.例4、設(shè)a1=1,a2=,a

7、n+2=an+1-an(n=1,2,-),令bn=an+1-an(n=1,2-)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式，(2)求數(shù)列nan的前n項(xiàng)的和Sn。解：（I）因故bn是公比為的等比數(shù)列，且（II）由注意到可得記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，則例5在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列，對一切正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列。求點(diǎn)的坐標(biāo)；設(shè)拋物線列中的每一條的對稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點(diǎn)為，且過點(diǎn)，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：。設(shè)，等差數(shù)列的任一項(xiàng)，其中是中的最大數(shù)，求的通項(xiàng)公式。解：（1）（2）的對稱軸垂直于軸，且頂點(diǎn)為.設(shè)的方程為：把代入上式，得，的方程為：。，=（3），T

8、中最大數(shù).設(shè)公差為，則，由此得說明：本例為數(shù)列與解析幾何的綜合題，難度較大（1）、（2）兩問運(yùn)用幾何知識算出，解決（3）的關(guān)鍵在于算出及求數(shù)列的公差。例6數(shù)列中，且滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)，求；設(shè)=，是否存在最大的整數(shù)，使得對任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。解：（1）由題意，為等差數(shù)列，設(shè)公差為，由題意得，.（2）若，時，故（3）若對任意成立，即對任意成立，的最小值是，的最大整數(shù)值是7。即存在最大整數(shù)使對任意，均有說明：本例復(fù)習(xí)數(shù)列通項(xiàng)，數(shù)列求和以及有關(guān)數(shù)列與不等式的綜合問題。.常用方法一 觀察法例1：根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出它的一個通項(xiàng)公式：（1）9，99，999，99

9、99，（2）（3）（4）解：（1）變形為：1011，1021，1031，1041，通項(xiàng)公式為： （2） （3） （4）.觀察各項(xiàng)的特點(diǎn)，關(guān)鍵是找出各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系。 二、定義法例2： 已知數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列bn是公比為q的(qR且q1)的等比數(shù)列，若函數(shù)f (x) = (x1)2，且a1 = f (d1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q1)，(1)求數(shù)列 a n 和 b n 的通項(xiàng)公式；解：(1)a 1=f (d1) = (d2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，a3a1=d2(d2)2=2d，d=2，an=a1+(n1)d =

10、 2(n1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q1)=(q2)2，=q2，由qR，且q1，得q=2，bn=b·qn1=4·(2)n1當(dāng)已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，只需求得首項(xiàng)及公差公比。三、      疊加法例3：已知數(shù)列6，9，14，21，30，求此數(shù)列的一個通項(xiàng)。解 易知各式相加得一般地，對于型如類的通項(xiàng)公式，只要能進(jìn)行求和，則宜采用此方法求解。四、疊乘法例4：在數(shù)列中，=1, (n+1)·=n·，求的表達(dá)式。解：由(n+1)·=

11、n·得，=··=所以一般地，對于型如=(n)·類的通項(xiàng)公式，當(dāng)?shù)闹悼梢郧蟮脮r，宜采用此方法。五、公式法若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式 求解。例5：已知下列兩數(shù)列的前n項(xiàng)和sn的公式，求的通項(xiàng)公式。（1）。 （2）解： （1）=3此時，。=3為所求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（2），當(dāng)時 由于不適合于此等式 。 注意要先分n=1和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一。例6. 設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為a1=1，前n項(xiàng)和Sn滿足關(guān)系求證：數(shù)列是等比數(shù)列。 解析：因?yàn)?所以所以，數(shù)列是等比數(shù)列。六、階差法例7.已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系是 ，其中b是與n無關(guān)的常數(shù)，

12、且。求出用n和b表示的an的關(guān)系式。解析：首先由公式：得：利用階差法要注意：遞推公式中某一項(xiàng)的下標(biāo)與其系數(shù)的指數(shù)的關(guān)系，即其和為。七、待定系數(shù)法例8：設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通項(xiàng)公式cn解：設(shè)點(diǎn)評：用待定系數(shù)法解題時，常先假定通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式為某一多項(xiàng)式，一般地，若數(shù)列為等差數(shù)列：則，（b、為常數(shù)），若數(shù)列為等比數(shù)列，則，。八、 輔助數(shù)列法有些數(shù)列本身并不是等差或等比數(shù)列，但可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?，?gòu)造出一個新的數(shù)列為等差或等比數(shù)列，從而利用這個數(shù)列求其通項(xiàng)公式。例9.在數(shù)列中，求。解析：在兩邊減去，得是以為首項(xiàng)，以為

13、公比的等比數(shù)列，由累加法得= = = 例10.（2003年全國高考題）設(shè)為常數(shù)，且（），證明：對任意n1，證明：設(shè)， 用代入可得是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，（），即：型如an+1=pan+f(n) (p為常數(shù)且p0, p1)可用轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列等.(1)f(n)= q (q為常數(shù))，可轉(zhuǎn)化為an+1+k=p(an+k)，得 an+k 是以a1+k為首項(xiàng)，p為公比的等比數(shù)列。例11：已知數(shù)的遞推關(guān)系為，且求通項(xiàng)。解：令則輔助數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列即例12： 已知數(shù)列中且（），求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：， 設(shè)，則故是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列例13.（07全國卷理21）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)（1）求的通項(xiàng)公式

14、；解：（1）由整理得又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，得注：一般地，對遞推關(guān)系式an+1=pan+q(p、q為常數(shù)且，p0，p1)可等價(jià)地改寫成 則成等比數(shù)列，實(shí)際上，這里的是特征方程x=px+q的根。(2) f(n)為等比數(shù)列，如f(n)= qn (q為常數(shù)) ，兩邊同除以qn，得，令bn=，可轉(zhuǎn)化為bn+1=pbn+q的形式。例14.已知數(shù)列an中，a1=， an+1=an+（）n+1，求an的通項(xiàng)公式。解：an+1=an+（）n+1 乘以2n+1 得 2n+1an+1=(2nan)+1 令bn=2nan 則 bn+1=bn+1 易得 bn= 即 2nan=an=(3) f(n)為等差數(shù)

15、列例15.已知已知數(shù)列an中，a1=1，an+1+an=3+2 n，求an的通項(xiàng)公式。解：an+1+an=3+2 n，an+2+an+1=3+2(n+1)，兩式相減得an+2-an=2因此得，a2n+1=1+2(n-1), a2n=4+2(n-1), an=。注：一般地，這類數(shù)列是遞推數(shù)列的重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容，要理解掌握。(4) f(n)為非等差數(shù)列，非等比數(shù)列例16.（07天津卷理）在數(shù)列中，其中（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解：由，可得，所以為等差數(shù)列，其公差為1，首項(xiàng)為0，故，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為這種方法類似于換元法, 主要用于已知遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式。九、歸納、猜想如果給出了數(shù)列的前幾項(xiàng)或能求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，我們可以根據(jù)前幾項(xiàng)的規(guī)律，歸納猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。例17.（2002年北京春季高考）已知點(diǎn)的序列，其中，是線