探索勾股數(shù)的規(guī)律

1、探索勾股數(shù)的規(guī)律初中數(shù)學(xué)講到直角三角形就離不開(kāi)它的三邊關(guān)系的一個(gè)重要定理：勾股定理。如果直角三角形的三邊a、b、c（abc），由勾股定理可知：，其中a為勾，b為股，c為弦。若它們都為整數(shù)時(shí)，則它們稱為一組數(shù)。如何求得一組勾股數(shù)呢？勾股數(shù)有多少組呢？為此我們可以在以下四個(gè)方面來(lái)研究這些問(wèn)題。一、當(dāng)勾為奇數(shù)時(shí)，探求勾股數(shù)的規(guī)律1、 列表，觀察表中每組勾股數(shù)名稱組別a（勾）b（股）c（弦）第1組345第2組51213第3組72425第4組94041第5組116061第n組2n+12n2+2n2n2+2n+12、歸納規(guī)律：（1）每組中a都是奇數(shù)；（2），；（3）c = b+1，.由此可得第n組當(dāng)a=2

2、n+1時(shí)于是有第n組勾股數(shù)為2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1（n為正整數(shù)）。3、證明： 2n+1、（n為正整數(shù)）是一組勾股數(shù)。4、此種形式勾股數(shù)的另一種規(guī)律表現(xiàn)形式：（1）列表觀察名稱組別a（勾）b（股）c（弦）第1組221=4第2組232=12第3組243=24第4組254=40第5組265=60第n組（2）歸納規(guī)律：略。當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，勾股數(shù)為： 化簡(jiǎn)后即為：a、b、c分別為2n+1、。（3）證明過(guò)程：同前面的證明。二、當(dāng)勾為偶數(shù)是，探求勾股數(shù)的規(guī)律1、列表觀察表中每組勾股數(shù)名稱組別a（勾）b（股）c（弦）第1組435第2組6810第3組81517第4組102426第5組12353

3、7第n組2、 歸納規(guī)律：（1）、每組中a（勾）是偶數(shù)（第一組較特殊：勾比股大）；（2）、（3）、由此可得第n組中的時(shí)，則：或，于是有第n組勾股數(shù)為、（n為正整數(shù)）。3、 證明： 2（n+1）、n2+2n+2（n為正整數(shù)）是一組勾股數(shù)。 三、運(yùn)用配方法探求勾股數(shù)的規(guī)律1、a（勾）、b（股）、c（弦）用含有m、n（兩個(gè)不同的正整數(shù)且mn）的代數(shù)式表示：此時(shí)，它們也是一組勾股數(shù)。2、證明： 、（m、n表示兩個(gè)不同的正整數(shù)且mn）是一組勾股數(shù)。四、運(yùn)用已知勾股數(shù)探求勾股數(shù)的規(guī)律1、如果a、b、c是一組勾股數(shù)，那么na、nb、nc（n為正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)。例如一組勾股數(shù)是3、4、5，當(dāng)n=2時(shí)那么得到另一組勾股數(shù)為6、8、10。2、證明： 如果a、b、c是一組勾股數(shù)，那么na、nb、nc（n為正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)。說(shuō)明：在等腰直角三角形中因?yàn)閍=b，因此得，所以a、b、c不可能都為整數(shù)。即等腰直角三角形三邊長(zhǎng)組成的不是一組勾股數(shù)。綜上所述得以下勾股數(shù)的四種表現(xiàn)形式： 2n+1、（n為正整數(shù)）是一組勾股數(shù)。 2（n+1）、n2+2n、n2+2n+2（n為正整數(shù)）是一組勾股數(shù)。 、（m、n表示兩個(gè)不同的正整數(shù)且mn）是一組勾股數(shù)。 如果a、b、c是一組勾股數(shù)，那么na、nb、nc（n為正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)。我們從中任取一