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1、探索勾股數(shù)的規(guī)律初中數(shù)學(xué)講到直角三角形就離不開(kāi)它的三邊關(guān)系的一個(gè)重要定理:勾股定理。如果直角三角形的三邊a、b、c(abc),由勾股定理可知:,其中a為勾,b為股,c為弦。若它們都為整數(shù)時(shí),則它們稱為一組數(shù)。如何求得一組勾股數(shù)呢?勾股數(shù)有多少組呢?為此我們可以在以下四個(gè)方面來(lái)研究這些問(wèn)題。一、當(dāng)勾為奇數(shù)時(shí),探求勾股數(shù)的規(guī)律1、 列表,觀察表中每組勾股數(shù)名稱組別a(勾)b(股)c(弦)第1組345第2組51213第3組72425第4組94041第5組116061第n組2n+12n2+2n2n2+2n+12、歸納規(guī)律:(1)每組中a都是奇數(shù);(2),;(3)c = b+1,.由此可得第n組當(dāng)a=2
2、n+1時(shí)于是有第n組勾股數(shù)為2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1(n為正整數(shù))。3、證明: 2n+1、(n為正整數(shù))是一組勾股數(shù)。4、此種形式勾股數(shù)的另一種規(guī)律表現(xiàn)形式:(1)列表觀察名稱組別a(勾)b(股)c(弦)第1組221=4第2組232=12第3組243=24第4組254=40第5組265=60第n組(2)歸納規(guī)律:略。當(dāng)n為正整數(shù)時(shí),勾股數(shù)為: 化簡(jiǎn)后即為:a、b、c分別為2n+1、。(3)證明過(guò)程:同前面的證明。二、當(dāng)勾為偶數(shù)是,探求勾股數(shù)的規(guī)律1、列表觀察表中每組勾股數(shù)名稱組別a(勾)b(股)c(弦)第1組435第2組6810第3組81517第4組102426第5組12353
3、7第n組2、 歸納規(guī)律:(1)、每組中a(勾)是偶數(shù)(第一組較特殊:勾比股大);(2)、(3)、由此可得第n組中的時(shí),則:或,于是有第n組勾股數(shù)為、(n為正整數(shù))。3、 證明: 2(n+1)、n2+2n+2(n為正整數(shù))是一組勾股數(shù)。 三、運(yùn)用配方法探求勾股數(shù)的規(guī)律1、a(勾)、b(股)、c(弦)用含有m、n(兩個(gè)不同的正整數(shù)且mn)的代數(shù)式表示:此時(shí),它們也是一組勾股數(shù)。2、證明: 、(m、n表示兩個(gè)不同的正整數(shù)且mn)是一組勾股數(shù)。四、運(yùn)用已知勾股數(shù)探求勾股數(shù)的規(guī)律1、如果a、b、c是一組勾股數(shù),那么na、nb、nc(n為正整數(shù))也是一組勾股數(shù)。例如一組勾股數(shù)是3、4、5,當(dāng)n=2時(shí)那么得到另一組勾股數(shù)為6、8、10。2、證明: 如果a、b、c是一組勾股數(shù),那么na、nb、nc(n為正整數(shù))也是一組勾股數(shù)。說(shuō)明:在等腰直角三角形中因?yàn)閍=b,因此得,所以a、b、c不可能都為整數(shù)。即等腰直角三角形三邊長(zhǎng)組成的不是一組勾股數(shù)。綜上所述得以下勾股數(shù)的四種表現(xiàn)形式: 2n+1、(n為正整數(shù))是一組勾股數(shù)。 2(n+1)、n2+2n、n2+2n+2(n為正整數(shù))是一組勾股數(shù)。 、(m、n表示兩個(gè)不同的正整數(shù)且mn)是一組勾股數(shù)。 如果a、b、c是一組勾股數(shù),那么na、nb、nc(n為正整數(shù))也是一組勾股數(shù)。我們從中任取一
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