不完全性與形式語(yǔ)言

1、不完全性與形式語(yǔ)言    一、引言談到哥德?tīng)柌煌耆远ɡ?，有人說(shuō)它動(dòng)搖了邏輯基礎(chǔ)，也有人說(shuō)它揭示了邏輯的局限性（Dawson），甚至有人認(rèn)為它表明數(shù)學(xué)的一致性不能證明（克萊因，第263270頁(yè)）。這些說(shuō)法是否有充分的根據(jù)？本文仔細(xì)考察了哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼暮x，試圖對(duì)這些說(shuō)法進(jìn)行辯駁。哥德?tīng)柌煌耆远ɡ砩婕靶问秸Z(yǔ)言的一些術(shù)語(yǔ)，因此要正確理解該定理的內(nèi)涵，首先要了解形式語(yǔ)言的基本特點(diǎn)以及一些相關(guān)的重要概念。一階邏輯和形式算術(shù)都屬于一階語(yǔ)言。形式語(yǔ)言是一種有結(jié)構(gòu)的形式化的語(yǔ)言：它必須明確說(shuō)明所有初始詞，其中一些初始詞稱(chēng)為“常項(xiàng)”（Tarski,1983,p.

2、168）；明確給出形成規(guī)則來(lái)引入新的詞；表達(dá)式要么是初始詞，要么是由已引入的詞通過(guò)形成規(guī)則引入的；每一個(gè)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)都是唯一的，僅由表達(dá)式的結(jié)構(gòu)就可以確定其中哪些是句子；明確指出所有公理，即不需證明可以直接斷定的句子；有明確的純形式的推理規(guī)則，即一種結(jié)構(gòu)演算，將一些已經(jīng)斷定的句子進(jìn)行結(jié)構(gòu)上的轉(zhuǎn)換，得到另一些新斷定句子。在形式化的語(yǔ)言中，“可證”、“證明”這樣的句法概念獲得了精確性和簡(jiǎn)明性?！翱勺C”的句子是由公理經(jīng)推理規(guī)則得到的句子。具體地說(shuō)，如果有這樣一個(gè)有限序列：初始句子是公理，接下來(lái)的句子要么是公理要么是對(duì)它前面的句子（即已斷定的句子）用推理規(guī)則得到的，那么這個(gè)序列的最后一個(gè)句子就是“可證

3、”的，或稱(chēng)為“定理”，該序列就被稱(chēng)為一個(gè)“證明”。如果初始句還可以是一些規(guī)定下來(lái)的句子，稱(chēng)為前提，那么這個(gè)序列的最后一個(gè)句子就是由該前提“可演繹的”。這樣，“證明”或“演繹”就是一個(gè)能行的過(guò)程：每一步都是有根據(jù)的，毫不含糊，不能憑空想象，并且這個(gè)過(guò)程可以在有限步驟內(nèi)結(jié)束。一種純粹形式的、沒(méi)有賦予任何意義的語(yǔ)言并不是我們感興趣的。建立一個(gè)形式化的學(xué)科或理論，常常是為了刻畫(huà)某個(gè)具體的對(duì)象。例如形式算術(shù)就是為了刻畫(huà)自然數(shù)模型而建立的。因此，形式語(yǔ)言不僅包括以上描述的形式化的公理系統(tǒng)，還應(yīng)包括語(yǔ)義說(shuō)明。對(duì)于一個(gè)具體的形式語(yǔ)言，應(yīng)賦予初始詞以合適的意義；表達(dá)式的涵義根據(jù)其結(jié)構(gòu)和初始詞的意義就能唯一地確定

4、；給出標(biāo)準(zhǔn)來(lái)唯一地確定一個(gè)句子的真假；所選擇的公理是真句子；所選擇的推理規(guī)則要保證：將其應(yīng)用于真句子所得的仍是真句子。一般地，我們可以通過(guò)模型將語(yǔ)言中的每一個(gè)句子映射到真假上。例如，一階語(yǔ)言的模型是一個(gè)賦值結(jié)構(gòu)，它由非空個(gè)體域、對(duì)常項(xiàng)的解釋和對(duì)變?cè)馁x值構(gòu)成。其中，由個(gè)體域、對(duì)常項(xiàng)的解釋所構(gòu)成的二元組稱(chēng)為一階結(jié)構(gòu)。自然數(shù)模型是一種一階結(jié)構(gòu)，其個(gè)體域是自然數(shù)集合，所解釋的是“加”、“乘”、“后繼”、“零”等常項(xiàng)。一階邏輯的公理在所有賦值結(jié)構(gòu)中都是真的，即是恒真的或者說(shuō)是有效的；形式算術(shù)的公理在自然數(shù)模型中為真。如果對(duì)任意模型，當(dāng)一些句子在其中為真時(shí)，另一些句子在該模型中也是真的，則稱(chēng)后者為前者的

5、“語(yǔ)義推論”，或稱(chēng)前者邏輯蘊(yùn)涵后者。二、兩個(gè)哥德?tīng)柖ɡ碇械摹巴耆浴北疚恼J(rèn)為，說(shuō)哥德?tīng)柖ɡ韯?dòng)搖了邏輯基礎(chǔ)，這大概是混淆了哥德?tīng)柕膬蓚€(gè)著名定理哥德?tīng)柾耆远ɡ砗透绲聽(tīng)柌煌耆远ɡ碇械耐耆?。這兩個(gè)定理中的完全性是兩回事。哥德?tīng)柌煌耆远ɡ硎钦f(shuō)足夠強(qiáng)的一階理論是不完全的，這里說(shuō)的“完全性”是指一階理論的性質(zhì)；而哥德?tīng)柾耆远ɡ碜C明了一階邏輯具有完全性，該“完全性”是指一階邏輯的性質(zhì)。一階理論可以看作是在一階邏輯的基礎(chǔ)上增加一組用一階語(yǔ)言陳述的非邏輯公理得到的。形式算術(shù)就是一種一階理論，它所增加的非邏輯公理就是用一階語(yǔ)言陳述的關(guān)于算術(shù)的皮亞諾公理。首先，一階邏輯的完全性要求恒真的句子可證，而一階理論

6、的完全性要求偶然真的句子（在某個(gè)特定的模型 中是真的句子）可證。（張清宇、郭世銘、李小五，第402403頁(yè)）恒真的和偶然真的句子所刻畫(huà)的常項(xiàng)是不同的。形式語(yǔ)言中有兩種常項(xiàng)（參見(jiàn)王路，2003年，第245頁(yè)），第一種常項(xiàng)是某門(mén)科學(xué)特有的詞語(yǔ)；第二種是在一切科學(xué)領(lǐng)域都要遇到的詞語(yǔ)。例如，算術(shù)的“加”和“乘”等是第一種常項(xiàng)，它們是算術(shù)中特有的詞，在算術(shù)中有固定意思；“不”、“與”、“或者”等邏輯聯(lián)結(jié)詞和“對(duì)所有的”這樣的量詞是第二種常項(xiàng)，它們是具有一般邏輯特征的詞，具有普遍的性質(zhì)。恒真的句子刻畫(huà)第二種常項(xiàng)的性質(zhì)，表達(dá)一種普遍的規(guī)律。偶然真的句子刻畫(huà)第一種常項(xiàng)的性質(zhì)，表達(dá)某門(mén)科學(xué)特有的規(guī)律。一階邏輯作

7、為各門(mén)科學(xué)的基礎(chǔ)，要刻畫(huà)第二種常項(xiàng)的性質(zhì)。一階理論研究某門(mén)科學(xué)中特有的規(guī)律，要刻畫(huà)第一種常項(xiàng)的性質(zhì)。研究恒真還是研究偶然真，是邏輯與理論的重要區(qū)別?！翱勺C”概念所要抓住的真是“恒真”還是“偶然真”，是邏輯完全性和理論完全性的最根本區(qū)別。其次，一階邏輯的完全性考察一階邏輯對(duì)推理的刻畫(huà)，一階理論的完全性考察其所增加的那組非邏輯公理的性質(zhì)。一階邏輯的完全性要求“可演繹”這個(gè)句法概念和“語(yǔ)義推論”這個(gè)語(yǔ)義概念是重合的；特別地，要求一階邏輯的“可證”的句子集合和“有效”句子集合是相同的，要求任何在一階邏輯的基礎(chǔ)上增加一組非邏輯公理所得的理論的“可證”句子集合就是這組非邏輯公理的“語(yǔ)義推論”集合。一般認(rèn)為

8、邏輯是研究推理的。一階邏輯通過(guò)清晰地區(qū)分出句法和語(yǔ)義兩個(gè)方面來(lái)研究推理。對(duì)推理的句法研究，即研究表達(dá)式之間的“可證”或“可演繹”關(guān)系，所依據(jù)的是表達(dá)式的句法結(jié)構(gòu)，或者說(shuō)是表達(dá)式本身的形式，把表達(dá)式僅僅看作符號(hào)串，意義都被抽掉了。對(duì)推理的語(yǔ)義研究，即研究在推理過(guò)程中的表達(dá)式之間是否有“語(yǔ)義推論”關(guān)系：前提是真的，結(jié)論一定是真的。對(duì)推理語(yǔ)義的研究圍繞“真”展開(kāi)，句子經(jīng)語(yǔ)義解釋獲得唯一確定的涵義和真值。一階邏輯的完全性是探討對(duì)推理的句法刻畫(huà)和語(yǔ)義刻畫(huà)之間的關(guān)系的元邏輯研究，使我們能夠從二者之間的相互聯(lián)系來(lái)認(rèn)識(shí)推理的特征，從而考察一階邏輯的特征，而并不考察某個(gè)特定的前提集，不涉及某個(gè)特定的模型的性質(zhì)。

9、一階理論的完全性考察該理論所選擇的一組非邏輯公理（或公理模式）的性質(zhì)而不是推理的性質(zhì)，它要求這組非邏輯公理的演繹封閉集合是極大和諧的，要求在一階邏輯的基礎(chǔ)上增加這組非邏輯公理得到的理論的“可證”句子集，就是在該理論要刻畫(huà)的模型上為真的所有句子的集合。最后，一階邏輯的完全性要求在其基礎(chǔ)上增加有限條公理而得到的所有和諧的（即無(wú)矛盾的）一階理論，都有模型。一階邏輯一定具有完全性，這是哥德?tīng)柾耆远ɡ砀嬖V我們的。一階理論的完全性要求該理論的模型有某些特殊的性質(zhì)：這些模型都是初等等價(jià)的。簡(jiǎn)單地說(shuō)，用一階語(yǔ)言不能分辨這些模型；該理論不可能恰有兩個(gè)可數(shù)模型。一階理論的模型不一定有這樣的性質(zhì)，例如形式算術(shù)存在

10、一個(gè)與自然數(shù)模型并不初等等價(jià)的可數(shù)模型。哥德?tīng)柌煌耆远ɡ碇械摹巴耆浴笔且浑A理論的性質(zhì)，與以研究推理和關(guān)心普遍性為特征的邏輯的性質(zhì)無(wú)關(guān)。哥德?tīng)柕牧硪粋€(gè)定理哥德?tīng)柾耆远ɡ硪呀?jīng)證明了一階邏輯是完全的，所有恒真的句子在一階邏輯中都是可證的，一階邏輯對(duì)推理的句法刻畫(huà)和語(yǔ)義刻畫(huà)是重合的：一方面一階邏輯是可靠的，它的“可證”的句子一定是有效的，能行的“演繹”過(guò)程能保證從真的前提一定得出真的結(jié)論；另一方面，一階邏輯有強(qiáng)大的推理能力，能夠用“證明”這種能行的方式得到所有的有效式。因此，我們可以把一階邏輯看作研究推理的有力工具，看作邏輯的典范。哥德?tīng)柾耆远ɡ順?biāo)志著一階邏輯的成熟，從此人們可以放心地用一階邏

11、輯作為各門(mén)科學(xué)研究的基礎(chǔ)。因此，哥德?tīng)柖ɡ聿](méi)有動(dòng)搖邏輯的基礎(chǔ)。三、哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼暮x本文認(rèn)為，哥德?tīng)柌煌耆远ɡ斫沂镜氖切问较到y(tǒng)的根本局限性，而不是邏輯的局限性。哥德?tīng)柌煌耆远ɡ肀硎鰹椋喝绻问剿阈g(shù)是和諧的，那么存在一個(gè)一階句子是在形式算術(shù)中不可判定的，即該句子和其否定式在形式算術(shù)中都不可證。這也等于說(shuō)，存在一個(gè)在自然數(shù)模型中真的句子在形式算術(shù)中不可證。進(jìn)一步，即使我們把不可判定句子作為一條新公理加入形式算術(shù)中，使得該句子在新系統(tǒng)中可證，但只要新系統(tǒng)的公理集仍是“合理的”，就可以在這個(gè)新系統(tǒng)中構(gòu)造另一個(gè)不可判定句子，從而這個(gè)新系統(tǒng)仍然是不完全的。 形式語(yǔ)言要求公理集是“合理的”，即要

12、求公理集是有窮的，或者至少有能行的方法來(lái)確定一個(gè)給定的表達(dá)式是不是公理。不完全性定理并不是說(shuō)形式算術(shù)不能有一個(gè)完全的和諧的擴(kuò)張，而是說(shuō)形式算術(shù)增加合理的新公理并不能抓住自然數(shù)模型中的所有真命題。把所有在自然數(shù)模型中為真的句子都增加到形式算術(shù)的公理集所得到的當(dāng)然是形式算術(shù)的完全擴(kuò)張。但是這樣的完全擴(kuò)張是平凡的，該“理論”的“證明”不是一個(gè)能行的過(guò)程，因此不是數(shù)學(xué)家感興趣的。不完全性的結(jié)論還可以應(yīng)用于包括形式算術(shù)的數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)，即任何包括形式算術(shù)的數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)都存在不可判定句子。又由于形式算術(shù)不可避免地成為任何一個(gè)數(shù)學(xué)分支的形式系統(tǒng)的核心部分，因而不能把整個(gè)數(shù)學(xué)理論壓縮在某個(gè)單一的形式系統(tǒng)中，“任

13、何形式系統(tǒng)都無(wú)法包羅全部數(shù)學(xué)”。哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼呢暙I(xiàn)在于揭示了足夠強(qiáng)的數(shù)學(xué)子系統(tǒng)是不可完全的。哥德?tīng)柊l(fā)現(xiàn)“可證”是一個(gè)能用加法和乘法借助量詞來(lái)表達(dá)的謂詞，因此能在既含加法又含乘法的數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)中仿造說(shuō)謊者悖論構(gòu)造一個(gè)句子，說(shuō)自身在該系統(tǒng)中不可證。該句子在形式算術(shù)中不可判定?？梢?jiàn)，形式算術(shù)的不完全性的原因在于它的形式系統(tǒng)足夠豐富，能把“可證”等句法概念在系統(tǒng)自身中表達(dá)出來(lái)，而不在于一階邏輯。所以說(shuō)，哥德?tīng)柌煌耆远ɡ斫沂镜氖切问交椒ǖ木窒扌?，不是邏輯的局限性。哥德?tīng)栕C明不完全性定理時(shí)已認(rèn)識(shí)到“真”在形式算術(shù)中不可定義，（王浩，第114頁(yè)）或者說(shuō)受了真這個(gè)概念的直覺(jué)的指引。（Tarski,1

14、944,p.373）然而在哥德?tīng)栒撐牡淖C明中沒(méi)有明確出現(xiàn)“真”這個(gè)概念，大概是因?yàn)楫?dāng)時(shí)“真”的定義還不清楚，很多數(shù)學(xué)家都避免使用這樣的概念。與之同時(shí)期的塔爾斯基的工作提供了構(gòu)造了真這個(gè)概念的正確的定義的方法，也讓我們從另一個(gè)角度理解不完全現(xiàn)象。首先，塔爾斯基指出，只有在形式語(yǔ)言這樣嚴(yán)格地說(shuō)明了結(jié)構(gòu)的語(yǔ)言中，才有可能得到嚴(yán)格精確的真之定義。接著，為了避免跟“真”這個(gè)詞的使用有關(guān)的語(yǔ)義悖論，塔爾斯基區(qū)分出對(duì)象語(yǔ)言和元語(yǔ)言。在一門(mén)演繹科學(xué)的基礎(chǔ)上建立形式語(yǔ)言作為我們研究的語(yǔ)言，即對(duì)象語(yǔ)言，真這個(gè)概念的外延是對(duì)象語(yǔ)言中的句子。真之定義不能在所研究的語(yǔ)言本身中構(gòu)造，而應(yīng)在元語(yǔ)言中構(gòu)造。元語(yǔ)言包括一般邏輯

15、詞，對(duì)象語(yǔ)言表達(dá)式的名字和對(duì)象語(yǔ)言表達(dá)式本身（或與對(duì)象語(yǔ)言表達(dá)式有相同意思的表達(dá)式），用這幾類(lèi)詞可以構(gòu)造正確的真之定義，即符合以下的模式：x是真的，當(dāng)且僅當(dāng)p，其中x是句子的名字，p是句子本身。最后，塔爾斯基得出重要結(jié)論：當(dāng)元語(yǔ)言比對(duì)象語(yǔ)言“本質(zhì)豐富” 的時(shí)候，可以在元語(yǔ)言中構(gòu)造真句子的正確定義；如果元語(yǔ)言不比對(duì)象語(yǔ)言本質(zhì)豐富，這樣的真之定義就不能構(gòu)造。因?yàn)?，如果元語(yǔ)言不比對(duì)象語(yǔ)言本質(zhì)豐富，元語(yǔ)言就可以解釋到對(duì)象語(yǔ)言中，元語(yǔ)言的每個(gè)句子都對(duì)應(yīng)于一個(gè)對(duì)象語(yǔ)言的句子并與之等價(jià)，這樣，對(duì)于元語(yǔ)言的每一個(gè)句子，與之等價(jià)的句子的名字都包含在元語(yǔ)言中。此時(shí)，可以得到真之不可定義定理：無(wú)論真句子類(lèi)以何種方式

16、在元理論中定義，我們都可以從這個(gè)定義得到滿(mǎn)足以下條件的一個(gè)句子x：x不是真的，當(dāng)且僅當(dāng)p，其中p是對(duì)象語(yǔ)言的一個(gè)句子，x是該句子的名字。（Tarski,1983,pp.247250）或者說(shuō)，在元語(yǔ)言和對(duì)象語(yǔ)言同樣豐富時(shí)，如果真可以在元語(yǔ)言中定義，就能找到對(duì)象語(yǔ)言的一個(gè)句子x，x在元語(yǔ)言中對(duì)應(yīng)的句子恰斷定x不是真的，從而在元語(yǔ)言中重新構(gòu)造一個(gè)類(lèi)似于說(shuō)謊者的悖論。根據(jù)真之不可定義定理，我們可以直接得到哥德?tīng)柌煌耆远ɡ?。可以?gòu)造一個(gè)與形式算術(shù)同樣豐富的元語(yǔ)言，并將這樣的元語(yǔ)言解釋到形式算術(shù)中，在該元語(yǔ)言中不能定義“真”，但能定義“可證”，因此可以構(gòu)造出一個(gè)句子x，滿(mǎn)足以下條件：x不可證，當(dāng)且僅當(dāng)p

17、，其中x是句子的名字，p是句子本身。進(jìn)一步，在比形式算術(shù)本質(zhì)豐富的元語(yǔ)言中，可以構(gòu)造真之定義，因此對(duì)于該句子x，我們得到：x是真的，當(dāng)且僅當(dāng)p。根據(jù)以上兩個(gè)事實(shí)，易知x不可證，當(dāng)且僅當(dāng)x是真的。再由真之定義得到的定理，可以得出x是真的，但x不可證，并且，x的否定也不可證，這樣，x就是一個(gè)不可判定的句子。（ibid,pp.275276）由塔爾斯基和哥德?tīng)柕姆謩e獨(dú)立 的工作可知，“真”和“可證”這兩個(gè)概念決不是重合的，“可證”這個(gè)句法概念不能抓住復(fù)雜得多的“真”這個(gè)語(yǔ)義概念?！翱勺C”在元語(yǔ)言中有純結(jié)構(gòu)的定義：可證的句子要么有如此這般的形式，要么是從有如此這般結(jié)構(gòu)的表達(dá)式經(jīng)一次或多次的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換得到的

18、。但是對(duì)于許多形式語(yǔ)言而言，除了一階邏輯等個(gè)別形式語(yǔ)言外，“真”并沒(méi)有與之等價(jià)的純結(jié)構(gòu)的定義，因?yàn)橛小罢妗本渥硬豢勺C，真句子類(lèi)和可證句子類(lèi)不能重合。用哥德?tīng)柕姆椒?，我們可以為足夠?qiáng)的形式系統(tǒng)構(gòu)造出不可判定的句子x，假設(shè)該形式系統(tǒng)是一致的（即無(wú)矛盾）。但這并不等于說(shuō)該句子在任何理論中都不可判定。由塔爾斯基的真之定義的成果，在比該形式系統(tǒng)更高階的因而具有真之定義的元理論的基礎(chǔ)上，能確定該不可判定句子x是真的，并能證明該句子。進(jìn)一步，塔爾斯基還指出，如果把比原形式系統(tǒng)中的所有變?cè)唠A的變?cè)朐撔问较到y(tǒng)中，那么在原形式系統(tǒng)中不可判定的句子x，在豐富了的形式系統(tǒng)中變得可判定。（Tarski,1983

19、,p.276）哥德?tīng)栠€有一個(gè)相關(guān)的否定性結(jié)果：哥德?tīng)柕诙煌耆远ɡ?，它表明如果足夠?qiáng)的形式系統(tǒng)是一致的（即無(wú)矛盾的），那么這種一致性不能在形式系統(tǒng)自身中證明。但這不等于說(shuō)該形式系統(tǒng)的一致性不能在其他形式系統(tǒng)中證明。根據(jù)塔爾斯基的真之定義，該形式系統(tǒng)的一致性能在比該系統(tǒng)更高階的元理論的基礎(chǔ)上證明。（ibid,p.274）四、結(jié)論哥德?tīng)柌煌耆远ɡ碇械摹巴耆浴笔且浑A理論的完全性，不是邏輯的完全性。一階理論可以看作是在一階邏輯的基礎(chǔ)上“合理地”增加一組非邏輯公理得到的，是為了刻畫(huà)某個(gè)特定的模型而建立的，這組非邏輯公理是從該模型的真句子中挑選出來(lái)的，可以看作描述該模型的事實(shí)。一階理論的完全性要求該

20、理論所要描述的模型的所有真句子都是“可證的”。哥德?tīng)柌煌耆远ɡ肀砻鳎涸谛问剿阈g(shù)等足夠強(qiáng)的數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)中存在真句子不可證。這個(gè)結(jié)論不僅可以應(yīng)用于數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)，也可以應(yīng)用于物理、生物形式系統(tǒng)：“合理地”增加一組用一階語(yǔ)言描述某個(gè)物理或生物模型的事實(shí)的非邏輯公理得到的系統(tǒng)。只要這些系統(tǒng)足夠豐富，能把“可證”等句法概念在系統(tǒng)自身中表達(dá)出來(lái)，它們就都是不完全的一階理論。當(dāng)然，在某些貧乏的形式語(yǔ)言中，例如一階邏輯和無(wú)乘法的算術(shù)中，“真”是可以被“可證”刻畫(huà)的，或者說(shuō)“真”有一個(gè)等價(jià)的純結(jié)構(gòu)定義，但這依賴(lài)于這些科學(xué)本身的特性。所以說(shuō)哥德?tīng)柌煌耆远ɡ斫沂镜氖切问较到y(tǒng)的局限性而不是邏輯的局限性，并未動(dòng)搖邏輯

21、的基礎(chǔ)。哥德?tīng)柕姆穸ㄐ越Y(jié)果并沒(méi)有否定形式語(yǔ)言，它也是應(yīng)用形式語(yǔ)言得到的結(jié)果。它通過(guò)分析某種具體的形式語(yǔ)言形式算術(shù)而獲得“可證”這個(gè)元數(shù)學(xué)概念的一個(gè)重要性質(zhì)，獲得對(duì)“真”與“可證”之間的關(guān)系的認(rèn)識(shí)，而這樣一種認(rèn)識(shí)是用思辨的方法所得不到的。我們不能因?yàn)樾问秸Z(yǔ)言有局限性就否定它。首先，只有建立一門(mén)演繹科學(xué)的形式語(yǔ)言，“證明”這一元數(shù)學(xué)概念才得到精確嚴(yán)格的定義，“完全性”問(wèn)題才得到明確的表述，才能對(duì)這門(mén)科學(xué)進(jìn)行元理論的研究，包括對(duì)“完全性”和“可證”概念的研究。其次，形式語(yǔ)言對(duì)語(yǔ)義學(xué)的科學(xué)基礎(chǔ)的建立有重要作用。塔爾斯基的語(yǔ)義學(xué)是在關(guān)于形式語(yǔ)言的真之語(yǔ)義定義基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，這一成果也展示了形式語(yǔ)言的優(yōu)

22、點(diǎn)。塔爾斯基通過(guò)對(duì)自然語(yǔ)言中“真”這個(gè)概念的分析，指出自然語(yǔ)言是語(yǔ)義封閉的，具有“普遍性”，它包括它自身的表達(dá)式的名字和“真”這樣的語(yǔ)義詞，因此在自然語(yǔ)言中可以構(gòu)造出悖論。為了避免語(yǔ)義悖論，塔爾斯基區(qū)分了對(duì)象語(yǔ)言和元語(yǔ)言?xún)蓚€(gè)不同的層次：對(duì)象語(yǔ)言是我們所研究的語(yǔ)言，我們所要定義的真句子是對(duì)象語(yǔ)言的句子，而真句子的定義要用元語(yǔ)言來(lái)表述。塔爾斯基以形式語(yǔ)言作為我們所研究的語(yǔ)言，為形式語(yǔ)言構(gòu)造真之定義。因?yàn)樾问秸Z(yǔ)言精確無(wú)歧義，并且具有結(jié)構(gòu)，意義能夠通過(guò)它的結(jié)構(gòu)反映出來(lái)，只有在形式語(yǔ)言中“真”這樣的語(yǔ)義概念的嚴(yán)格說(shuō)明才有可能：根據(jù)形式語(yǔ)言的表達(dá)式的結(jié)構(gòu)，可以遞歸地定義“滿(mǎn)足”這個(gè)語(yǔ)義概念，再借助“滿(mǎn)足”

23、在元語(yǔ)言中構(gòu)造真這個(gè)概念的正確定義，只要元語(yǔ)言比對(duì)象語(yǔ)言本質(zhì)豐富。因此，雖然對(duì)于許多形式語(yǔ)言，我們都不能給出真的純結(jié)構(gòu)定義，但是可以根據(jù)塔爾斯基提供的方法，在比該語(yǔ)言本質(zhì)豐富的元語(yǔ)言中構(gòu)造一個(gè)形式正確、實(shí)質(zhì)恰當(dāng)?shù)恼嬷Z(yǔ)義定義。根據(jù)真之定義，塔爾斯基得出一系列定理，表明真句子集是一致的且完全的，這為與“真”相關(guān)的語(yǔ)義悖論的解決提供了新的思路。有了塔爾斯基的真之理論，謹(jǐn)慎的哲學(xué)家也“終于敢談?wù)媪恕薄＃ㄍ趼罚?999年，第417418頁(yè)）進(jìn)一步，塔爾斯基還得到一系列重要結(jié)果：如果元語(yǔ)言比對(duì)象語(yǔ)言本質(zhì)豐富，則可以在元語(yǔ)言中構(gòu)造真這個(gè)概念的定義；如果元語(yǔ)言跟對(duì)象語(yǔ)言同樣豐富，則不能在該元語(yǔ)言中構(gòu)造真這個(gè)

24、概念的定義。根據(jù)塔爾斯基的重要結(jié)果，我們可以直接得到哥德?tīng)柌煌耆远ɡ?，并且得出：?duì)于包含算術(shù)的演繹科學(xué)，有些直覺(jué)概念不能在該科學(xué)中定義，但如果該科學(xué)可以通過(guò)引入更高階變?cè)姆绞截S富起來(lái)，則這些概念可以在豐富了的語(yǔ)言中定義；對(duì)于足夠強(qiáng)的形式系統(tǒng)（假設(shè)該系統(tǒng)是一致的），只要能通過(guò)引入更高階變?cè)姆绞絹?lái)豐富它，用哥德?tīng)柼峁┑姆椒?gòu)造的在原系統(tǒng)中不可判定的句子，在豐富了的形式系統(tǒng)中就變得可判定了；原系統(tǒng)的一致性在系統(tǒng)本身中不能證明，而在豐富了的形式系統(tǒng)中也可以證明了。塔爾斯基的真之定義展示了語(yǔ)言層次的區(qū)分，使人們對(duì)語(yǔ)言有了進(jìn)一步認(rèn)識(shí)：要精確地研究語(yǔ)言，有必要把語(yǔ)言區(qū)分出一系列層次，每一層跟上一層的關(guān)

25、系正如對(duì)象語(yǔ)言和元語(yǔ)言之間的關(guān)系。因此，我們可以把塔爾斯基的真之理論看作是展示用形式語(yǔ)言進(jìn)行哲學(xué)探索的一個(gè)正面例子，它體現(xiàn)了形式語(yǔ)言的精確無(wú)歧義、有結(jié)構(gòu)、能區(qū)分出一系列層次等特點(diǎn)對(duì)進(jìn)行精確的語(yǔ)義研究所起的重要作用，也為認(rèn)識(shí)論和自然語(yǔ)言的精確研究提供了基礎(chǔ)。因此，如果認(rèn)為形式語(yǔ)言有局限性，因而不能為我們提供可靠的知識(shí)基礎(chǔ)，這種看法是錯(cuò)誤的?！咀⑨尅?尹傳紅在智慧巨人·隱夫子·偏執(zhí)狂中說(shuō)：“愛(ài)因斯坦對(duì)哥德?tīng)枒延刑厥獾木匆猓潛P(yáng)哥德?tīng)柺亲詠喞锸慷嗟乱詠?lái)比任何人都有力地動(dòng)搖了邏輯基礎(chǔ)的人物” 這里的形式語(yǔ)言參照塔爾斯基的說(shuō)明，不僅包括符號(hào)、公理系統(tǒng)，還包括語(yǔ)義。塔爾斯基所說(shuō)的常項(xiàng)

26、不是通常說(shuō)的常元，而是邏輯聯(lián)結(jié)詞、量詞以及有固定意思的詞。 一個(gè)理論可以有許多模型，但我們關(guān)注的是其中的某一個(gè)，因?yàn)樵S多理論都是為了刻畫(huà)某個(gè)數(shù)學(xué)模型而建立的。 根據(jù)哥德?tīng)柫_塞爾定理（Gdel-Rosser Theorem）（形式算術(shù)的任何遞歸無(wú)矛盾的擴(kuò)張都不完全，擴(kuò)張中全部公理的哥德?tīng)枖?shù)集是遞歸集則稱(chēng)擴(kuò)張是遞歸的），對(duì)于通過(guò)添加公理得到的PA的任何和諧的擴(kuò)張PA*，只要PA*公理集有算法可以識(shí)別，都是不完全的。 此結(jié)論從康托的對(duì)角線(xiàn)法已可以得出，但它并未排除某些相當(dāng)強(qiáng)的子系統(tǒng)具有完全性的可能。（王浩，第114頁(yè)） 嚴(yán)格地說(shuō)是元語(yǔ)言的階高于對(duì)象語(yǔ)言的階。表達(dá)式的階是塔爾斯基真之理論的重要概念，類(lèi)似于邏輯類(lèi)型。 塔爾斯基對(duì)其工作的獨(dú)立性做了說(shuō)明。（cf.Tarski,1983,p.277）哥德?tīng)柌煌耆远ɡ硎?930年9月正式宣布的，它的正式發(fā)表時(shí)間是1931年。塔爾斯基提出構(gòu)造真之定義的方法的論文形式語(yǔ)言中的真這個(gè)概念雖發(fā)表于1933年，但其于1931年3月已經(jīng)被提交。并且，塔爾斯基于1930年11月發(fā)表的一篇論文中已經(jīng)提出該構(gòu)造方法，雖然當(dāng)時(shí)該方法不是用于真之定義而是用于其它目的。可見(jiàn)，塔爾斯基并不是在得知哥德?tīng)柌煌?/p>