二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與例題講解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上1、定義：一般地，如果是常數(shù)，那么叫做的二次函數(shù)。自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。2、二次函數(shù)的性質(zhì)：（1）拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是軸；（2）函數(shù)的圖像與的符號(hào)關(guān)系： 當(dāng)時(shí)拋物線開口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng)時(shí)拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)。（3）頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是軸的拋物線的解析式形式為。（P21-12）3、二次函數(shù) 的圖像是對(duì)稱軸平行于（包括重合）軸的拋物線。4、二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中。5、二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：；。6、拋物線的三要素：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)。 的符號(hào)決定拋物線的開口方向：當(dāng)時(shí)，開口向上；當(dāng)時(shí)，開口向下；相等，

2、拋物線的開口大小、形狀相同。 平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線。（P23-9,10）7、頂點(diǎn)決定拋物線的位置。幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同。8、求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法 （1）公式法：，頂點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線。（P26-9） （2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(,)，對(duì)稱軸是直線。 （3）運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn)。 注意：用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，

3、才能做到萬無一失。9、拋物線中，的作用（P29-例2,1,10） （1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣。 （2）和共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置。由于拋物線的對(duì)稱軸是直線。，故：時(shí)，對(duì)稱軸為軸；（即、同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸左側(cè)；（即、異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸右側(cè)。 （3）的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置。 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）： ，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)； ,與軸交于正半軸；,與軸交于負(fù)半軸。 以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)，則 。10、幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)開口向上當(dāng)時(shí)開口向下（軸）（0,0）（軸）(

4、0, )(,0)(,)()11、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（P32-12、P34-7,8、P37-2,4、P42-1,2、P51-例、P54-16） （1）一般式：。已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式。 （2）頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式。 （3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：。261 （1. 如果拋物線與x軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，那么當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值是0，因此就是方程的一個(gè)根。 2. 二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒有公共點(diǎn)，有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)。這對(duì)應(yīng)著一元二次方程根的三種情況：沒有實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)不等

5、的實(shí)數(shù)根。262在日常生活、生產(chǎn)和科研中，求使材料最省、時(shí)間最少、效率最高等問題，有些可歸結(jié)為求二次函數(shù)的最大值或最小值。例題講解：一、選擇題1由二次函數(shù)，可知（ ）A其圖象的開口向下 B其圖象的對(duì)稱軸為直線C其最小值為 D當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大2、拋物線的圖象過原點(diǎn)，則為（ ）A、0 B、1 C、1 D、±13.已知二次函數(shù)，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）A.（-2,3） B.（-2，-3） C.（2，-3） D.（2,3）4.對(duì)于二次函數(shù)，和，下列說法正確的是（ ）A.開口都向上，且都關(guān)于y軸對(duì)稱 B. 開口都向上，且都關(guān)于x軸對(duì)稱 C.頂點(diǎn)都是原點(diǎn)，且都關(guān)于y軸對(duì)稱 D. 頂點(diǎn)都是原點(diǎn)，且

6、都關(guān)于x軸對(duì)稱 5拋物線（ ）A與軸只有一個(gè)交點(diǎn) B與軸有兩個(gè)交點(diǎn) C在軸上方 D在軸下方6.無論m取何值，代數(shù)式一定是（ ）A.正數(shù) B.負(fù)數(shù) C.非正數(shù) D.非負(fù)數(shù)二、填空題1.寫出一個(gè)開口向下，頂點(diǎn)在y軸的二次函數(shù)解析式_.2.已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于的一元二次方程的解為 3.-13.已知拋物線與與直線的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，則到直線的距離為_.4將拋物線向上平移2個(gè)單位后，得到的拋物線的解析式是 5、將二次函數(shù)的圖象向下平移一個(gè)單位，則平移后的的解析式為 6、已知，的對(duì)稱軸是，則的值是 17.已知二次函數(shù)，當(dāng)x=_時(shí)，y的值是 .0.3O1第8題圖8如圖是拋物線的一部分，其對(duì)

7、稱軸為直線，與軸一交點(diǎn)為B（3，0），則由圖象可知，不等式的解集是 x3或x-19若二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，則的取值范圍是 m110、已知拋物線yax2bxc的圖象如圖所示， 則 y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍是 方程ax2bxc=0的兩個(gè)根是 三、解答題1、（已知，二次函數(shù)的頂點(diǎn)是（4，-8），且過點(diǎn)（6,0）求此二次函數(shù)的解析式2、畫二次函數(shù)的圖象3、已知點(diǎn)（，）在拋物線（）上，求當(dāng)時(shí)的值。解：4、已知拋物線過三點(diǎn)：（-1，-1）、（0，-2）、（1,1）.求拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式.5. （本題滿分9分）拋物線上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)值如下表： （1）根據(jù)上表

8、填空： 拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 和 ； 拋物線經(jīng)過點(diǎn)（， ）； 在對(duì)稱軸右側(cè)，隨增大而 ；（2）試確定拋物線的解析式。解：6、(8分) 已知，二次函數(shù)（1） 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。（1.0）（2,0）（2）命題“函數(shù)的圖象一定與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)”是否正確，若正確請(qǐng)證明 ，若不正確，請(qǐng)舉反例說明.7.拋物線與y軸交于點(diǎn)（0,5） （1）求拋物線的解析式；（2）求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）畫出這條拋物線（描五點(diǎn)即可）；（4）根據(jù)圖像回答：當(dāng)x取什么值時(shí)，y的值隨x的增大而減??？當(dāng)x取什么值時(shí)，y>0？ （9分）8（本題滿分12分） 已知關(guān)于的方程 .（1）求證：不論為任何實(shí)數(shù)，此方程總有

9、實(shí)數(shù)根；（2）若拋物線與軸交于兩個(gè)不同的整數(shù)點(diǎn)，且為正整數(shù)，試確定此拋物線的解析式；m=1（3）若點(diǎn)，與，在（2）中拋物線上（點(diǎn)、不重合)， 且求代數(shù)式的值. 解：9、（11分）如果一條拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以該拋物線的頂點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”（1）若拋物線的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，求的值；2（2）若是拋物線的“拋物線三角形”，是否存在以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的矩形？若存在，求出過三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；若不存在，請(qǐng)說明理由10.如圖10，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（0,3），它與X軸相交于A,B兩點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為直線l交x軸于點(diǎn)E，D為對(duì)稱軸l上異于E的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)； （2分A(-1,0 ) B（3,0）（2）求ADC的周長(zhǎng)的最小值，并求此時(shí)D的坐標(biāo)； （5分）D（1,2）AyOCxBEl圖1011、（10分）26 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，二次函數(shù)的圖象記為拋物線（1）平移拋物線，使平移后的拋物線過點(diǎn)，但不過點(diǎn)，寫出平移后的一個(gè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式：